디멘의 블로그 이데아를 여행하는 히치하이커

초한귀납과 초한재귀

05 Dec 2024
수학
집합론

1. 초한귀납법

정리. $P$가 서수 위에서 정의된 속성이고 임의의 $\alpha \in \mathrm{Ord}$에 대해

\[[ \forall \beta < \alpha : P(\beta)] → P(\alpha)\]

가 성립할 때, $P$는 모든 서수에 대해 참이다.

Remark. $P$의 정의역인 $\mathrm{Ord}$는 집합이 아닌 진모임(proper class)이므로 “술어” 대신 “속성”이란 표현을 사용한다.

증명. 서수가 정렬 순서라는 사실과 귀류법을 사용한다.

$\lnot P(\lambda)$인 $\lambda$가 존재한다고 하자. $\Omega = \lbrace \alpha \in \lambda : \lnot P(\alpha) \rbrace$는 공집합이 아닌 정렬 집합이므로 최소 원소 $\alpha_0$가 존재한다. 이때 $\forall \beta < \alpha_0 : P(\beta)$이므로 가정에 의해 $P(\alpha_0)$가 되어 모순이다. ■

응용. 폰 노인만 계층에서 $V_\alpha$는 추이적이다. 따라서 $V_{\alpha + 1} = V_\alpha \cup \mathcal{P}(V_\alpha)$ 대신 $V_{\alpha + 1} = \mathcal{P}(V_\alpha)$로 정의할 수 있다.

2. 초한재귀적 정의

Motivation. 자연수의 재귀적 정의를 생각해 보자. $n$개의 집합 $x_1, \dots , x_n$이 주어졌을 때 집합을 출력하는 함수 $g$가 존재한다면 다음과 같이 $f: \mathbb{N} → V$을 정의할 수 있을 것이다.

\[f(n) = g(f(0), \dots, f(n - 1))\]

문제는 $g$가 고정된 수의 매개변수만을 가질 수 있다는 것이다. 따라서 다음과 같이 $g$의 매개변수를 순서쌍으로 묶는다.

\[f(n) = g(\langle f(0), \dots, f(n - 1) \rangle)\]

이 순서쌍은 $\lbrace (0, f(0)), \dots, (n - 1, f(n - 1)) \rbrace = f \upharpoonright n$과 같이 표현할 수 있다. 즉,

\[f(n) = g(f \upharpoonright n).\]

이를 서수에 대해서 일반화하면 다음과 같다.

정리. $G: V → V$가 모임함수(class function)이라고 하자. 다음을 만족하는 모임함수 $F: \mathrm{Ord} → V$가 존재한다.

\[F(\alpha) = G(F \upharpoonright \alpha)\]

증명. 초한귀납법을 겁나게 쓰면 된다. (불친절해서 ㅈㅅ)

콤팩트성과 그물

01 Dec 2024
수학
위상수학

콤팩트성

정의. $X$가 위상공간이라고 하자.

  1. 임의의 열린 덮개가 유한한 부분덮개를 가질 때 $X$를 콤팩트하다고 한다.
  2. 임의의 점렬 $\lbrace x_n \in X \rbrace$가 수렴하는 부분점렬을 가질 때 $X$를 점렬 콤팩트하다고 한다.
  3. 임의의 무한집합 $S \subset X$가 극점을 가질 때 $X$를 극점 콤팩트하다고 한다.

정리.

  1. 콤팩트 $\rightarrow$ 극점 콤팩트
  2. 점렬 콤팩트 $\rightarrow$ 극점 콤팩트
  3. 극점 콤팩트 $\not\rightarrow$ 콤팩트
  4. 극점 콤팩트 $\not\rightarrow$ 점렬 콤팩트

증명.

  1. $S \subset X$가 극점이 없는 무한집합이라고 하자. $\overline{S} = S \cup S’ = S$이므로 $S$는 닫힌 집합이며, $X \setminus S$는 열린 집합이다. 임의의 $s \in S$에 대해, $s$가 극점이 아니므로 $U_s \cap S = \lbrace s \rbrace$인 $s$의 근방 $U_s$가 존재한다. 따라서 다음 $X$의 열린 덮개는 유한한 부분덮개를 가지지 않는다.
\[\mathcal{C} = \lbrace X \setminus S \rbrace \cup \bigcup_{s \in S} \lbrace U_s \rbrace\]
  1. $S \subset X$가 무한집합이라고 하자. $S$의 원소들을 임의로 추출하여 점렬 $\lbrace s_n \rbrace \;(n \neq m \implies s_n \neq s_m)$을 만든다. $X$가 점렬 콤팩트하므로 $\lbrace s_n \rbrace → s$이며, $s$는 $S$의 극점이다.
  2. 순서 토폴로지가 주어진 $\omega_1$은 극점 콤팩트하지만 콤팩트하지 않다.
  3. $X = \mathbb{N} \times \lbrace 0, 1 \rbrace$, $\mathbb{N}$에는 이산 토폴로지가 주어지고 $\lbrace 0, 1\rbrace$에는 자명한 토폴로지가 주어짐.

Remark. 4의 올바르지 못한 “증명”

$X$가 극점 콤팩트하다고 하자. 점렬 $(x_n)$이 주어졌을 때, $S = \lbrace x_n : n \in \mathbb{N}\rbrace$이 유한집합이라면 $(x_n)$은 수렴하는 부분점렬을 자명하게 가진다. $S$가 무한집합이라면 $X$의 극점 콤팩트성에 의해 $x \in S’$가 존재한다. 이제 다음 조건을 만족하는 $x$의 근방들의 가산 모임 $\mathcal{U} = \lbrace U_n \rbrace$을 정의한다.

  1. $n < m \implies U_n \supset U_m$
  2. $V$가 $x$의 근방일 때, $\exists U \in \mathcal{U} : U \subset V$

이로부터 다음 두 조건을 만족하는 함수 $k: \mathbb{N} → \mathbb{N}$을 정의할 수 있다.

  1. $x_{k(n)} \in U_n$
  2. $n < m \implies k(n) < k(m)$

2가 가능한 이유는 $k(i)$가 $i \leq n$까지 정의되었을 때 $T = S \setminus \lbrace x_i : i \leq k(n) \rbrace$가 여전히 $x$를 극점으로 가지기 때문이다. 즉, $(x_n)$은 수렴하는 부분점렬 $(x_{k(n)})$을 가진다.

위 증명이 올바르지 않은 이유는 볼드체 부분이 일반적으로 가능하지 않기 때문이다. 대신 다음이 성립한다.

정리. 1차 가산 T₁ 공간에서 극점 콤팩트성과 점렬 콤팩트성은 동치이다.

그물과 점렬

정의. $(J, \leq)$가 전순서라고 하자. 임의의 $x, y \in J$에 대해 $x, y \leq z$인 $z \in J$가 존재한다면 $(J, \leq)$를 방향 집합(directed set)이라고 한다.

정의. $K$가 $(J, \leq)$의 부분집합이라고 하자. 임의의 $x \in J$에 대해 $x \leq y$인 $y \in K$가 존재한다면 $K$를 공종(cofinal)이라고 한다.

Remark. $(J, \leq)$가 방향 집합이고 $K \subset J$가 공종이라면 $(K, \leq)$ 또한 방향 집합이다.

정의. $(J, \leq)$가 방향 집합이라고 하자. 위상공간 $X$에 대해 $J$에서 $X$로 가는 함수 $f: J → X$를 그물(net)이라고 한다. 특히, $\alpha \in J$에 대해 $f(\alpha)$를 $x_\alpha$와 같이 표기한다.

정의. 그물 $(x_\alpha)$가 $x$로 수렴한다는 것은, 임의의 $x$의 근방 $U$에 대해 어떤 $\alpha \in J$가 존재하여

\(\alpha \leq \beta \implies x_\beta \in U\) 인 것이다.

일반 위상 공간에서의 그물의 수렴은 1차 가산 공간에서 점렬의 수렴과 대응된다. 즉,

정리. $X$가 1차 가산 공간이라고 하자.

  1. $A \subset X$에 대해, $x \in \bar{A}$일 필요충분조건은 $x$로 수렴하는 점렬 $(x_n)$이 존재하는 것이다.
  2. $f: X → Y$에 대해, $f$가 연속일 필요충분조건은 임의의 점렬 $(x_n)$에 대해 $x_n → x$라면 $f(x_n) → f(x)$인 것이다.

정리. $X$가 위상 공간이라고 하자.

  1. $A \subset X$에 대해, $x \in \bar{A}$일 필요충분조건은 $x$로 수렴하는 그물 $(x_\alpha)$가 존재하는 것이다.
  2. $f: X → Y$에 대해, $f$가 연속일 필요충분조건은 임의의 그물 $(x_\alpha)$에 대해 $x_\alpha → x$라면 $f(x_\alpha) → f(x)$인 것이다.

증명.

  1. $\mathcal{U}_x$를 $x$의 근방들의 집합이라고 하자. 역포함관계로 $\mathcal{U}_x$에 순서 $\leq$를 준다. $x \in \bar{A}$라면 임의의 $U_\alpha \in \mathcal{U}_x$에 대해 $x_\alpha \in U_\alpha \cap A, x_\alpha \neq x$인 $x_\alpha$가 존재한다. $x_\alpha → x$임을 확인하라.

정의. $(x_\alpha)_{\alpha \in J}$가 그물이라고 하자. $(I, \preceq)$가 방향 집합이고, $g: (I, \preceq) → (J, \leq)$가 순서 보존이며, $\operatorname{im}g$가 공종일 때, $(x_{g(\beta)})_{\beta \in I}$를 $(x_\alpha)$의 부분그물이라고 한다.

정리. $X$가 콤팩트할 필요충분조건은 임의의 그물이 수렴하는 부분그물을 가지는 것이다.

Remark. ”수렴하는 점렬이 존재한다“는 ”수렴하는 그물이 존재한다“보다 강한 조건이지만, ”임의의 점렬이 수렴하는 부분점렬을 가진다”는 “임의의 그물이 수렴하는 부분그물을 가진다”보다 강하지도, 약하지도 않은 조건임에 유의하라. 주어는 후자가 더 강하고, 술어는 전자가 더 강하다. 따라서 콤팩트성과 점렬 콤팩트성은 일반적으로 시사 관계가 없다. 구체적으로,

정리.

  1. 콤팩트 $\not\rightarrow$ 점렬 콤팩트
  2. 점렬 콤팩트 $\not\rightarrow$ 콤팩트

증명.

  1. $[0, 1]^{[0, 1]}$은 티호노프 정리에 의해 콤팩트하지만 점렬 콤팩트하지 않다.
  2. Long line과 $\omega_1$은 점렬 콤팩트하지만 콤팩트하지 않다.

베르 범주 정리

01 Dec 2024
수학
위상수학

1. 베르 공간

정리. $S$가 위상공간 $X$의 부분집합일 때, 다음은 동치이다.

  • $\left( \operatorname{cl}S \right)^\circ$가 공집합이다.
  • $(\operatorname{cl}S)^c$가 조밀하다.
  • $S$는 어떠한 $X$의 열린 집합에서도 조밀하지 않다.

이때, $S$를 희박(rare)하다고 한다.

정의. 희박한 닫힌 집합들의 가산 합집합 $\bigcup F_n$이 희박한 공간 $X$를 베르 공간이라고 한다.

Remark. TFAE:

  • $X$가 베르 공간이다.
  • $X$의 열린 조밀 집합들의 가산 교집합은 조밀하다.

예시. $\mathbb{Q}$는 베르 공간이 아니다.

  • $\lbrace q \rbrace$는 닫힌 희박 집합이지만 $\bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \lbrace q\rbrace = \mathbb{Q}$는 희박하지 않다.
  • $\mathbb{Q} \setminus \lbrace q \rbrace$는 열린 조밀 집합이지만 $\bigcap_{q \in \mathbb{Q}} \left( \mathbb{Q} \setminus \lbrace q \rbrace \right) = \varnothing$은 조밀하지 않다.

2. 베르 범주 정리

콤팩트 공간에서의 칸토어 축소 정리. 다음은 동치이다.

  1. $X$가 콤팩트하다.
  2. 임의의 유한 교집합 속성을 가진 닫힌 집합들의 모임 $\mathcal{C}$에 대해 $\bigcap_{C \in \mathcal{C}} C \neq \varnothing$이다.

완비 거리 공간에서의 칸토어 축소 정리. 다음은 동치이다.

  1. $X$가 완비 거리 공간이다.
  2. 임의의 공집합이 없는 닫힌 집합열 $C_1 \supset C_2 \supset \cdots$에 대해 $\bigcap C_n \neq \varnothing$이며, 특히 $\operatorname{diam}C_n \to 0$일 때 $\bigcap C_n$은 홑원소 집합이다.

Remark. 2는 4를 함의한다. 이로부터 콤팩트 거리 공간은 완비임을 보일 수 있다. 역은 성립하지 않는다.

정리. 완비 거리 공간과 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이다.

증명.

$X$가 완비 거리 공간 또는 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 희박한 닫힌 집합들의 가산 모임 $\lbrace F_n \rbrace$이 주어졌을 때, 임의의 열린 집합 $U$에 대해 $U \not\subset \bigcup F_n$임을 보이면 된다. 이를 위해 $\forall n : x \not\in F_n$인 $x \in U$를 찾을 것이다.

$F_1$이 희박하므로 $x_1 \in U \setminus F_1$이 존재한다. $X$는 정칙 공간이므로 $x_1 \in U_1$, $\overline{U_1} \cap F_1 = \varnothing$인 열린 집합 $U_1$이 존재한다. 귀납적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • $x_n \in U_n \setminus F_n$
  • $U_n \subset U_{n - 1}$
  • $\overline{U_n} \cap F_n = \varnothing$

칸토어 축소 정리에 의해 $x \in \bigcap \overline{U_n}$인 $x$가 존재한다.

3. 베르 범주 정리의 응용

연속함수열의 수렴은 거의 연속이다. $\lbrace f_n : X → (Y, d) \rbrace$가 $f$로 수렴하는 연속함수열일 때,

\[S = \lbrace x \in X : f\text{ is continuous at } x \rbrace\]

는 $X$에서 조밀하다.

KAIST POW2024-20. $f$가 연속함수이고,

\[\forall x \geq 0 : \lim_{n \to \infty} f(nx) = 0\]

라면 $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$이다.

병리적 함수의 존재성. $h : [0, 1] → \mathbb{R}$가 연속함수라고 하자. 임의의 $ε > 0$에 대해 다음을 만족하는 함수 $g : [0,1] → \mathbb{R}$가 존재한다.

  • $\lVert h − g\rVert < ε$이다.
  • $g$는 전 구간에서 연속이다.
  • $g$는 전 구간에서 미분 불가능하다.

정렬의 삼분성과 서수의 완전성

21 Nov 2024
수학
집합론

1. 기본 개념

정의. 다음을 만족하는 $(W, <)$를 정렬 집합(well-ordered set)이라고 한다.

  1. $(W, <)$은 전순서이다.
  2. $W$의 임의의 부분집합은 최소 원소를 가진다.

정의. $(W, <)$가 정렬 집합일 때, $a \in S$에 대해 $x < a \rightarrow x \in S$인 $W$의 부분집합 $S$를 초기단(initial segment)이라고 한다.

정리. $S$가 정렬 집합 $(W, <)$의 초기단일 때, 어떤 $a \in W$에 대해 다음이 성립한다.

\[S = W[a] := \lbrace x \in W : x < a \rbrace\]

증명. $a$를 $W \setminus S$의 최솟값으로 잡는다.

2. 정렬의 삼분성

정리.

  1. 정렬 집합은 자신의 초기단과 동형일 수 없다.
  2. 정렬 집합의 자기동형사상은 항등사상이다.
  3. 두 정렬 집합 간 동형사상은 유일하다.

증명.

보조정리.

$f: (W, <) → (W, <)$가 순서 보존이라면 $x \in W$에 대해 $x \leq f(x)$이다.

보조정리의 증명.

귀류법에 따라 $S = \lbrace x \in W : x > f(x) \rbrace$가 공집합이 아니라고 하자. $W$는 정렬 집합이므로 $c = \min S$가 존재한다. $c \in S$이므로 $c > f(c)$이며, $f$가 순서 보존이므로 $f(c) > f(f(c))$이다. 한편 $c = \min S$이므로 $f(c) \notin S$이며, $f(f(c)) \geq f(c)$이므로 모순이다. □

(1)의 증명.

$f: (W, <) → (W[a], <)$가 동형사상이라고 하자. 포함사상 $j: W[a] → W$에 대해 $jf: (W, <) → (W, <)$는 순서 보존이다. 따라서 $jf(a) \geq a$이다. 하지만 $a \notin \mathrm{im}f$이므로 모순이다. □

(2)의 증명.

$f: (W, <) → (W, <)$가 동형사상이라고 하자. $f^{-1}$ 또한 동형사상이므로 $x \in W$에 대해 $x \leq f(x)$, $f(x) \leq f^{-1}(f(x)) = x$이다. 따라서 $x = f(x)$이다. □

(3)의 증명.

$f, g: (W_1, <_1) → (W_2, <_2)$가 동형사상이라고 하자. $g^{-1}f: (W_1, <_1) → (W_1, <_1)$은 자기동형사상이므로 (2)에 의해 항등사상이다. 따라서 $f = g$이다. ■

정렬의 삼분성. $(W_1, <_1), (W_2, <_2)$가 정렬 집합일 때 다음 중 정확히 하나가 성립한다.

  1. $(W_1, <_1) \sim (W_2, <_2)$
  2. 어떤 $a$에 대해 $(W_1[a], <_1) \sim (W_2, <_2)$
  3. 어떤 $b$에 대해 $(W_1, <_1) \sim (W_2[b], <_2)$

각 경우 동형사상은 유일하며, 또한 2, 3의 경우 $a, b$는 유일하다.

증명.

앞선 정리는 1, 2, 3이 mutually exclusive함과, 유일성에 대한 주장을 보증한다. 따라서 임의의 $(W_1, <_1), (W_2, <_2)$가 위 세 경우에 속함을 보이면 충분하다.

다음과 같이 부분함수 $f: W_1 → W_2$를 정의한다.

\[f := \lbrace (x, y) \in (W_1, W_2) : (W_1[x], <_1) \sim (W_2[y], <_2) \rbrace\]

$f$가 단사이고 순서 보존임을 쉽게 확인할 수 있다. 이제 두 가지 경우를 고려한다.

Case 1. $\mathrm{dom} f = W_1$

정리의 3번 경우에 해당하여 증명이 끝난다.

Case 2. $\mathrm{dom} f \subsetneq W_1$

먼저 어떤 $a \in W$에 대해 $\mathrm{dom}f = W_1[a]$임을 보인다. $x \in \mathrm{dom}f$라면 $W_1[x] \sim W_2[f(x)]$이다. 해당 동형의 동형사상을 $\phi$라고 하면 $x’ < x$에 대해 $W_1[x’] = W_2[\phi(x’)]$이므로 $x’ \in \mathrm{dom}f$이다. 따라서 $\mathrm{dom} f$는 초기단이다.

두 번째로 $\mathrm{im} f = W_2$임을 보인다. $\mathrm{dom}f = W_1[a]$라고 하자. 앞선 문단과 비슷한 논증으로 $\mathrm{im}f$ 또한 $W_2$의 초기단임을 알 수 있다. $\mathrm{im}f = W_2[b]$라면, $(a, b) \in f$이므로 $a \in \mathrm{dom}f$이며 모순이다. ■

3. 서수의 완전성

서수의 완전성. 모든 정렬 집합은 어떤 서수와 순서 동형이다.

증명. $(W, <)$가 정렬 집합이라고 하자. 다음과 같이 $A, S$를 정의한다.

\[\begin{gather} A = \lbrace a \in W : W[a] \sim \alpha_a \text{ where $\alpha_a \in$Ord} \rbrace\\ S = \lbrace \alpha_a \in \mathrm{Ord} : a \in A\rbrace \end{gather}\]

$S$가 서수이고 $A$가 초기단임을 쉽게 보일 수 있다. $S = \beta$, $A = W[c]$라고 하자. $f: A → S; a \mapsto \alpha_a$는 $(A, <)$와 $(S, \in)$의 순서동형사상이다. 즉, $W[c] \simeq \beta$이므로 $c \in A$이며, 이는 모순이다. 따라서 $A = W \sim \beta$이다. ■

4. 치환 공리

위 증명에서 $S$의 존재성은 치환 공리꼴 없이 보장되지 않는다. 왜냐하면 부랄리포르티 역설에 의해 $\mathrm{Ord}$는 집합이 아니며, 이에 따라 분류 공리꼴로 $S$의 존재성을 보장할 수 없기 때문이다.

치환 공리의 필요성을 보여주는 다른 예시로, 치환 공리꼴 없이는 $\omega + \omega$의 존재성을 보장할 수 없다. 각 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $\omega + n$이 존재함은 짝 공리와 합집합 공리로 보일 수 있지만, $\omega + \omega := \cup_{n \in \mathbb{N}} (\omega + n)$가 존재함은 보일 수 없다. 그렇다고 임의의 집합들의 합집합을 허용하는 공리를 추가할 수는 없는데, 이는 $V$를 집합으로 만들기 때문이다.

위 두 경우에서 우리에게 필요한 것은, “잘 정의된 일대일 대응 관계 $R(x,y)$와 집합 $X$가 주어졌을 때 $\lbrace y : R(x, y), x \in X \rbrace$는 집합이다”라는 내용의 공리이다. 이 공리가 치환 공리이다. 치환 공리를 사용하면 $\omega = \lbrace 0, 1, 2, … \rbrace$와 관계 $R(x, y): y = \omega + x$에 대해 $\mathrm{im}R\vert_\omega = \lbrace \omega, \omega + 1, \omega + 2, … \rbrace$가 존재하며, $\omega \cup \mathrm{im}R\vert_\omega = \omega + \omega$가 존재함을 보일 수 있다.

유리수와 실수의 집합론적 정의

20 Nov 2024
수학
집합론

1. 칸토어의 동형성 정리

칸토어의 동형성 정리. 가산이고 양끝점이 없으며 조밀한 전순서 집합은 순서 동형에 대해 유일하다.

증명 1. (Back-and-Forth Argument)

$n$번째 단계에서 $\mathrm{argmin}_k a_k \in A \setminus \mathrm{dom} f_n$을 순서 동형성을 만족하게끔 $b \in B \setminus \mathrm{im} f_n$과 대응시키고, $\mathrm{argmin}_{l}b_l \in B \setminus (\mathrm{im} f_n \cup \lbrace b \rbrace)$ 을 순서 동형성을 만족하게끔 임의의 $a \in A \setminus (\mathrm{dom}f_n \cup \lbrace a_k\rbrace)$ 와 대응시킨다.

증명 2. (Only-Forth Argument)

$n$ 번째 단계에서 $\mathrm{argmin}_k a_k \in A \setminus \mathrm{dom} f_n$을 순서 동형성을 만족하게끔 $b \in B \setminus \mathrm{im}f_n$ 중에서 가장 인덱스가 작은 $b_l$과 대응시킨다.

잘못된 증명. (Incorrect Only-Forth Argument)

$n$번째 단계에서 $\mathrm{argmin}_k a_k \in A \setminus \mathrm{dom} f_n$을 순서 동형성을 만족하게끔 임의의 $b \in B \setminus \mathrm{im}f_n$와 대응시킨다.

잘못된 이유: $\mathrm{im} \left[ \bigcup f_n \right]$이 $B$ 전체를 소진한다는 보장이 없다. 일례로 모든 경우 선택된 $b$의 인덱스가 짝수인 경우가 가능하다.

2. 데데킨트 절단

정의. 전순서 집합 $(P, <)$에 대하여 $P$의 부분집합 $A, B$가 다음을 만족할 때 $(A, B)$를 절단이라고 한다.

  1. $A \sqcup B = P$
  2. 임의의 $a \in A, b \in B$에 대해 $a < b$이다.

추가로 다음을 만족할 때 데데킨트 절단이라고 한다.

  1. $A$는 최대 원소를 가지지 않는다.

추가로 다음까지 만족할 때 틈이라고 한다.

  1. $B$는 최소 원소를 가지지 않는다.

Remark 1. $P$가 완비이다 ⇔ $P$는 틈을 가지지 않는다. Remark 2. $P = \mathbb{Q}$일 때 틈은 무리수 집합을, 데데킨트 절단은 실수 집합을 나타낸다.

3. 완비화 정리

완비화 정리. $(P, <)$가 양끝점이 없는 조밀한 전순서라면 다음을 만족하는 완비 전순서 $(C, \prec)$가 순서 동형에 대해 유일하게 존재한다.

  1. $P \subseteq C$
  2. $\prec$는 $P$에서 $<$와 일치한다.
  3. $P$는 $C$에서 조밀하다. 즉, $c_1 < c_2 \in C$에 대해 $c_1 < p < c_2$를 만족하는 $p \in P$가 언제나 존재한다.
  4. $C$는 양끝점이 없다.

유일성 증명. $(C, \prec)$와 $(C^\ast, \prec^\ast)$가 조건을 만족하는 완비 전순서라고 하자. 다음과 같이 정의된 $\phi: C → C^\ast$는 순서 동형 사상이다.

  1. $c \in P$라면 $\phi(c)=c$
  2. $c \notin P$라면 $\phi(c) = \sup^\ast \lbrace p \in P : p \prec c \rbrace$

존재성 증명. 다음과 같이 정의한다.

\[\begin{gather} \mathcal{G} = \lbrace (A, B) : (A, B) \text{ is a gap of } P \rbrace \\ \mathcal{D} = \lbrace (A, B) : (A, B) \text{ is a Dedekind cut of } P \rbrace \\ \mathcal{P} = \mathcal{D} \setminus \mathcal{G} \end{gather}\]

라고 하자. 다음과 같이 $\mathcal{D}$에 순서를 준다.

\[(A_1, B_1) \prec (A_2, B_2) \iff A_1 \subset A_2\]

$(A, B) \in \mathcal{P}$라면 어떤 $p$에 대해 $B = \lbrace x \in P : x \geq p \rbrace$이며, 이때 $(A, B) = [p]$라고 적자. 즉,

\[\mathcal{P} = \lbrace [p] : p \in P \rbrace\]

$(\mathcal{P}, \prec) \sim (P, <)$임을 쉽게 확인할 수 있다. 이제 다음을 보인다.

Claim. $\mathcal{D}$는 $\mathcal{P}$에 대해 완비화 정리의 4가지 조건을 모두 만족하는 확장이다.

1, 2, 4는 자명하다. 3을 보인다.

$\mathfrak{d}_1 = (A_1, B_1), \mathfrak{d}_2 = (A_2, B_2) \in \mathcal{D}$에 대해 $\mathfrak{d_1} \prec \mathfrak{d}_2$, 즉 $A_1 \subset A_2$라고 하자. $p \in A_2 \setminus A_1$이며 $p$가 $B$의 최소 원소가 아닌 $p \in P$가 존재한다. 그러한 $p$에 대해 $\mathfrak{d}_1 \prec [p] \prec \mathfrak{d}_2$이다. □

마지막으로 다음을 보인다.

Claim. $(\mathcal{D}, \prec)$는 완비이다.

$\mathcal{S}$가 위로 유계인 $\mathcal{D}$의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 다음과 같이 정의한다.

\[\begin{gather} A_\mathcal{S} = \bigcup \lbrace A : (A, B) \in \mathcal{S} \rbrace\\ B_\mathcal{S} = \bigcap \lbrace B : (A, B) \in \mathcal{S} \rbrace \end{gather}\]

$(A_\mathcal{S}, B_\mathcal{S}) \in \mathcal{D}$이며, $\mathcal{S}$의 최소 상계임을 확인할 수 있다. ◾

집합론적 실수의 정의. 다음을 만족하는 집합 $(R, <)$은 순서 동형에 대해 유일하다.

  1. 완비 전순서 집합이다.
  2. 양끝점이 없다.
  3. 분리 가능하다(separable). 즉, $Q \subset R$이 존재하여 $Q$는 가산집합이고 $R$에서 조밀하다.

증명. 칸토어의 동형성 정리와 완비화 정리로부터 따라 나온다.