카라테오도리 정리를 이용한 측도의 구성

25 Feb 2025

필자는 카라테오도리 정리_{Carathéodory theorem}를 3가지로 구분해서 이해하는 방식을 선호하기 때문에, 이 글에서도 해당 방식을 따른다. 각각 다음과 같다.

1. 카라테오도리 구축 정리: 임의의 집합족과 양함수로부터 외측도_{outer measure} 를 정의할 수 있다.
2. 카라테오도리 제한 정리: 외측도의 정의역을 가측 집합으로 제한한 함수는 측도가 된다.
3. 카라테오도리 확장 정리: 대수 $\mathcal{A}_0$ 위의 예비측도_premeasure $\mu_0$를 확장하는 $\sigma(\mathcal{A}_0)$ 위의 측도는, 집합족을 $\mathcal{A}_0$, 양함수를 $\mu_0$로 잡은 뒤 구축 정리를 적용하여 얻은 외측도 $\mu^\ast$에, 제한 정리를 적용하여 얻은 측도가 유일하다.

도식적으로, 다음과 같이 이해할 수 있다.

	(1)	(2)	(3)
정의역	대수 $\mathcal{A}_0$	$\sigma$-대수 $\mathcal{A}$	멱집합 $\mathcal{P}(X)$
함수	예비측도 $\mu_0$	측도 $\mu$	외측도 $\mu^\ast$

구축 정리는 (1) → (3), 제한 정리는 (3) → (2), 확장 정리는 (1) → (2)의 방향을 가진다. 하나하나 살펴 보자.

정의. $X$ 위의 외측도 $\mu^\ast: \mathcal{P}(X) \to [0, \infty]$는 다음을 만족하는 함수이다.

1. $\mu^\ast(\varnothing) = 0$
2. $A \subset B \implies \mu^\ast(A) \leq \mu^\ast(B)$
3. $\mu^\ast\left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \right) \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu^\ast(A_n)$

카라테오도리 구축 정리. $X$의 부분집합으로 이루어진 임의의 집합족 $\mathcal{S}$와, $l(\varnothing) = 0$을 만족하는 임의의 함수 $l: \mathcal{S} \to [0, \infty]$가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의된 $\mu^\ast$은 외측도이다.

\[\mu^*(E) = \inf \left\{ \sum_{n \in \mathbb{N}} l(A_n) : \{ A_n \} \subset \mathcal{S} \text{ covers }E \right\}\]

즉, $\mu^\ast$은 덮개의 극한으로서 $E$의 ‘측도’ 비스무리한 것을 정의하는 함수이며, 구분구적법에서 상합_{upper sum}과 개념적으로 비슷하다.

증명. 1과 2는 자명하다. 3을 보인다.

$A = \bigcup A_n$이라고 하고, 임의의 $\epsilon > 0$이 주어졌다고 하자. $\mu^\ast$의 정의에 의해, 각 $n$에 대해 다음을 만족하는 $A_n$의 덮개 $\mathcal{C}_n = \lbrace A_{nm} \rbrace_{m \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{S}$가 존재한다.

\[\sum l(A_{nm}) \leq \mu^*(A_n) + \epsilon/2^n\]

따라서,

\[\sum_{n, m \in \mathbb{N}} l(A_{nm}) \leq \sum \mu^*(A_n) + \epsilon.\]

그리고 $\bigcup \mathcal{C}_n$이 $A$를 덮으므로, $\mu^\ast$의 정의에 의해 $\mu^\ast(A) \leq \sum_{n, m \in \mathbb{N}} l(A_{nm})$이다. ■

정의. $\mu^\ast$가 외측도라고 하자. 임의의 $E$에 대해 다음을 만족하는 집합 $A$를 $\mu^\ast$에 대해 가측_measurable이라고 한다.

\[\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^c)\]

정의. $\mu^\ast$가 외측도라고 하자. $\mu^\ast(N) = 0$인 $N$을 영집합_{null set}이라고 한다.

즉, 가측 집합은 $\mu^\ast$에 대해 임의의 집합을 ‘깔끔하게’ 분할하는 집합이다. 따라서 가측 집합으로만 이루어진 모임 위에서 $\mu^\ast$은 일반적인 측도와 같이 행동할 것으로 예측할 수 있다. 이 예측을 입증하는 것이 다음의 제한 정리이다.

카라테오도리 제한 정리. $\mu^\ast$가 외측도라고 하자. $\mu^\ast$에 대해 가측인 집합들의 모임을 $\mathcal{A}$라고 할 때, 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{A}$는 $\sigma$-대수이다.
2. $\mu^\ast |_\mathcal{A}$는 측도이다.
3. $\mathcal{A}$는 $\mu^\ast$의 모든 영집합을 포함한다.

증명.

1. $\mathcal{A}$는 대수이다.

여집합 닫힘은 자명하다. 유한 교집합 닫힘임을 보인다.

$A, B$가 가측이라고 하자. $A \cap B$가 가측임을 보이기 위해 다음을 보이면 충분하다.

\[\mu^*(E \cap (A \cap B)) + \mu^*(E \cap (A \cap B)^c) \leq \mu^*(E) \quad \cdots \quad (*)\]

$A, B$가 가측이므로 다음이 성립한다.

\[\begin{aligned} \mu^*(E) &= \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^c) \\ &= \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap A \cap B^c) \\ &+ \mu^*(E \cap A^c \cap B) + \mu^*(E \cap A^c \cap B^c) \end{aligned}\]

따라서 $(\ast)$은 다음과 동치이다.

\[\begin{aligned} \mu^*(E \cap (A^c \cup B^c)) &\leq \mu^*(E \cap A \cap B^c) \\ &+ \mu^*(E \cap A^c \cap B) \quad \cdots \quad (**) \\ &+ \mu^*(E \cap A^c \cap B^c) \end{aligned}\]

간단한 집합론으로부터 다음을 알 수 있다.

\[A^c \cup B^c = (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \cup (A^c \cap B^c)\]

따라서 $(\ast\ast)$가 성립한다. □

2. $\mathcal{A}$는 $\sigma$-대수이다.

$A_n \uparrow A$인 $\lbrace A_n \rbrace \subset \mathcal{A}$에 대해 $A \in \mathcal{A}$임을 보이면 충분하다. (why?)

외측도의 정의에 의해 $\mu^\ast(E \cap A_n) \leq \mu^\ast(E \cap A)$이다. $C_1 = A_1, C_n = A_n \setminus A_{n - 1}$이라고 하자. $\bigsqcup C_n = A$이다. 또한,

\[\begin{aligned} \mu^*(E \cap A_n) &= \mu^*(E \cap A_n \cap C_n) + \mu^*(E \cap A_n \cap C_n^c) \\ &= \mu^*(E \cap C_n) + \mu^*(E \cap A_{n - 1}) \\ &= \cdots \\ &= \sum^n_{k = 1} \mu^*(E \cap C_k) \end{aligned}\]

이다. 따라서 $\sum^\infty \mu^\ast(E \cap C_n) \leq \mu^\ast(E \cap A)$이다. 그런데 $\lbrace E \cap C_n \rbrace $이 $E \cap A$를 덮으므로, $\sum^\infty \mu^\ast(E \cap C_n) \geq \mu^\ast(E \cap A)$이다. 따라서 $\sum^\infty \mu^\ast(E \cap C_n) = \mu^\ast(E \cap A)$이다.

따라서 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, 충분히 큰 $N$이 존재하여 $\mu^\ast(E \cap A) - \epsilon \leq \mu^\ast(E \cap A_n)$이다. 따라서,

\[\begin{aligned} \mu^*(E \cap A_n^c) &= \mu^*(E) - \mu^*(E \cap A_n) \\ &\leq \mu^*(E) - \mu^*(E \cap A) + \epsilon \end{aligned}\]

이므로 다음을 얻는다.

\[\mu^*(E) \leq \mu^*(E \cap A_n) + \mu^*(E \cap A_n^c) \leq \mu^*(E) + \epsilon\]

$n \to \infty$로 보내면 $\mu^\ast(E \cap A) + \mu^\ast(E \cap A^c) = \mu^\ast(E)$이다. □

3. $\mu^\ast|_\mathcal{A}$는 측도이다, 4. $\mathcal{A}$는 모든 영집합을 포함한다.

Left as an exercise to the readers. (어렵지 않음) ■

정의. $\mathcal{A}_0$가 대수라고 하자. $\rho: \mathcal{A}_0 \to [0, \infty]$가 예비측도라는 것은 다음을 만족한다는 것이다.

1. $\rho(\varnothing) = 0$
2. 쌍으로 서로소인 가산 집합족 $\lbrace A_n \rbrace $에 대해, $\bigcup A_n \in \mathcal{A}_0$라면 $\rho\left( \bigcup A_n \right) = \sum \rho(A_n)$

카라테오도리 확장 정리. 대수 $\mathcal{A}_0$ 위의 예비측도 $\rho$에 대해, 다음과 같이 정의하자.

\[\mu^*(E) = \inf \left\{ \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu_0(A_n) : \{ A_n \} \subset \mathcal{A}_0 \text{ covers }E \right\}\]

이 때, 다음이 성립한다.

1. $A \in \mathcal{A}_0$라면 $\mu^\ast(A) = \rho(A)$이다.
2. $\sigma(\mathcal{A}_0)$는 $\mu^\ast$에 대해 가측이다.
3. $\rho$가 $\sigma$-유한이라면, $\rho$의 정의역을 $\sigma(\mathcal{A}_0)$로 확장하는 측도는 $\mu^\ast|_{\sigma(\mathcal{A}_0)}$가 유일하다.

증명.

1. $A \in \mathcal{A}_0$라면 $\mu^\ast(A) = \rho(A)$이다.

$A$가 $A$의 덮개이므로 $\mu^\ast(A) \leq \rho(A)$이다. 만약 $\mu^\ast(A) < \rho(A)$라면 어떤 $A$의 덮개 $\lbrace A_n \rbrace $이 존재하여 $\sum \rho(A_n) < \rho(A)$이다. 그런데 $\rho$가 예비측도이므로 이는 모순이다. □

2. $\sigma(\mathcal{A}_0)$는 $\mu^\ast$에 대해 가측이다.

먼저 $\mathcal{A}_0$가 가측임을 보인다. 임의의 $A \in \mathcal{A}_0$에 대해 $\mu^\ast(E \cap A) + \mu^\ast(E \cap A^c) \leq \mu^\ast(E)$임을 보이면 충분하다. $\mu^\ast$의 정의에 의해, 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 어떤 $E$의 덮개 $\mathcal{C}$가 존재하여 다음이 성립한다.

\[\sum^\infty_{n = 1} \rho(C_n) \leq \mu^*(E) + \epsilon\]

$\mathcal{A}_0$가 대수이므로, $A \cap C_n, A^c \cap C_n \in \mathcal{A}_0$이다. 따라서,

\[\begin{aligned} \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^c) &\leq \sum^\infty_{n = 1} \mu^*(A \cap C_n) + \sum^\infty_{n = 1} \mu^*(A^c \cap C_n) \\ &= \sum^\infty_{n = 1} \rho(A \cap C_n) + \sum^\infty_{n = 1} \rho(A^c \cap C_n) \\ &= \sum^\infty_{n = 1} \rho(C_n) \leq \mu^*(E) + \epsilon \end{aligned}\]

(엄밀히 따지자면 $\sum^n_{k=1}$을 고려한 다음에 $n \to \infty$ 극한을 취해야 한다) 따라서 $\mu^\ast(E \cap A) + \mu^\ast(E \cap A^c) \leq \mu^\ast(E)$이며, $\mathcal{A}_0$는 가측이다. 카라테오도리 제한 정리에 의해 가측 집합은 $\sigma$-대수를 이루므로, $\sigma(\mathcal{A}_0)$ 또한 가측이다. □

3. $\rho$가 $\sigma$-유한이라면, $\rho$의 정의역을 $\sigma(\mathcal{A}_0)$로 확장하는 측도는 $\mu^\ast|_{\sigma(\mathcal{A}_0)}$가 유일하다.

먼저 $\rho < \infty$를 가정하자. $\sigma(\mathcal{A}_0)$ 위에서 정의된 측도 $\nu$가 $\mathcal{A}_0$에서 $\rho$와 일치한다고 하자. 또한 $\mu = \mu^\ast|_{\sigma(\mathcal{A}_0)}$라고 하자. $\nu = \mu$임을 보인다.

$E \in \sigma(\mathcal{A}_0)$라고 하자. 어떤 $E$의 덮개 $\lbrace A_n \rbrace \subset \mathcal{A}_0$가 존재하여,

\[\sum \rho(A_n) \leq \mu(E) + \epsilon\]

이다. $\nu$가 $\mathcal{A}_0$에서 $\rho$와 일치하므로, $\sum \rho(A_n) = \sum \nu(A_n) \geq \nu(E)$이다. 따라서 $\nu \leq \mu$이다.

이제 $B_n = \bigcup^n_{k=1}A_k$로 정의하고, $A = \bigcup^\infty_{n = 1} A_n = \lim_{n \to \infty} B_n$이라고 하자. $\mu(B) = \sum \rho(A_n) \leq \mu(E) + \epsilon$이므로 $\mu(B \setminus E) \leq \epsilon$이다. $\nu$가 측도이므로,

\[\mu(A) = \lim \rho(B_n) = \lim \nu(B_n) = \nu(A)\]

따라서,

\[\begin{aligned} \mu(E) \leq \mu(B) &= \mu(B \setminus E) + \mu(E) \\ &\leq \epsilon + \nu(E) \end{aligned}\]

즉 $\mu \leq \nu$이다. 따라서 $\mu = \nu$이다.

이제 $\rho$가 $\sigma$-유한하다고 가정하자. 어떤 집합족 $\lbrace C_n \rbrace $이 존재하여 $C_n \uparrow X$이고, $\rho(C_n) < \infty$이다. 앞선 논의에 의해 $C_n$에서 $\mu$와 $\nu$는 일치한다. 따라서,

\[\mu(A) = \lim \mu(A \cap C_i) = \lim \nu (A \cap C_i) = \nu(A)\]

이므로 $\mu$와 $\nu$는 전체 공간에서 일치한다. ■

다음 글에서는 카라테오도리 정리를 이용하여 르베그 측도를 구성한 뒤, 모든 보렐 가측 집합은 르베그 가측 집합이지만 그 역은 성립하지 않음을 보인다.