르베그 가측 집합과 보렐 가측 집합

25 Feb 2025

1. 르베그 측도

카라테오도리 정리로부터 다음과 같이 측도 $m$을 정의할 수 있다.

1. $\mathcal{A}_0 = \lbrace \cup^n_{k=1} (a_k, b_k] : a_k, b_k \in \mathbb{R}^\infty \rbrace $는 대수임을 보인다.

2. $A \in \mathcal{A}_0$에 대해, $A = \sqcup^n_{k=1} (a_k, b_k]$로 표현하는 방법이 유일함을 보인다.

3. 함수 $\rho: \mathcal{A}_0 \to [0, \infty]$를

   \[\rho(\sqcup^n_{k=1} (a_k, b_k]) = \sum^n_{k=1}(b_k - a_k)\]

   와 같이 정의했을 때 $\rho$가 예비측도임을 보인다.

4. $\mathcal{A}_0, \rho$에 대해 카라테오도리 구축 정리를 적용하여 외측도 $m^\ast$을 얻는다.

5. $m^\ast$의 정의역을 $m^\ast$-가측집합으로 제한하여 측도 $m$을 얻는다.

대수는 유한 합집합에만 닫혀 있기 때문에 1, 2, 3은 거의 자명하다. 4, 5의 증명은 관련 글을 참조하라.

정의. 상술한 $m$을 르베그 측도_{Lebesgue measure}라고 부른다. 또한, $m$의 정의역에 속하는 집합을 르베그 가측_{Lebesgue measurable}이라고 부른다.

카라테오도리 정리들로부터 다음 사실들이 어렵지 않게 따라 나온다.

정리.

1. $m([a, b]) = m((a, b)) = m((a, b]) = m([a, b)) = b - a$
2. $A \subset \mathbb{R}$이 가산일 때, $m(A) = 0$

그리고 카라테오도리 확장 정리로 얻어지는 측도는 완비 측도_{complete measure}이므로 다음이 성립한다.

정리. $m$은 완비 측도이다.

또한 $\sigma(\mathcal{A}_0)$는 보렐 $\sigma$-대수 $\mathcal{B}$이므로, 다음이 따라 나온다.

정리. 보렐 가측 집합은 르베그 가측이다.

2. 르베그 가측이지만 보렐 가측이 아닌 집합

정의. 집합열 $\lbrace C_n \rbrace$을 다음과 같이 정의한다.

\[\begin{gather} C_0 = [0, 1]\\ C_1 = I_0 \setminus (1/3, 2/3) \\ C_2 = I_1 \setminus \{ (1/9, 2/9) \cup (7/9, 8/9) \} \\ \vdots \end{gather}\]

칸토어 집합_{Cantor set} $C$를 $\cap^\infty_{n = 0}C_n$으로 정의한다.

정리.

1. 칸토어 집합은 비가산이다.
2. 칸토어 집합은 르베그 측도 0이다.

증명.

1. 칸토어 집합에 속하는 원소들은 삼진법으로 소숫점 전개했을 때 어느 자리에도 2가 등장하지 않는 수들이다. 그러한 수는 $2^\aleph_0$개 있으므로 비가산이다.

2. $m(C_n) = (2/3)^n$이므로 $m(C) = \lim_{n \to infty} (2/3)^n = 0$. ■

정의. 칸토어 집합을 정의할 때 각 단계에서 빠지는 집합을 $J_n$이라고 하자. 즉,

\[\begin{gather} J_1 = (1/3, 2/3) \\ J_2 = (1/9, 2/9) \cup (7/9, 8/9) \\ \vdots \end{gather}\]

다음과 같이 함수열을 정의한다.

\[\begin{gather} \operatorname{dom} f_1 = J_1,\; f_1(x) = \frac{1}{2} \\\\ \operatorname{dom} f_2 = J_1 \cup J_2, \; f_2(x) = \begin{cases} 1/4 & x \in (1/9, 2/9) \\ 1/2 & x \in (1/3, 2/3) \\ 3/4 & x \in (7/9, 8/9) \end{cases} \\\\ \vdots \end{gather}\]

$f: I \to I$를 다음과 같이 정의한다.

\[f(x) = \inf \{ f_n(y) : y \geq x, y \in \mathrm{dom} f \}\]

$f$를 칸토어 함수_{Cantor function}라고 한다.

정리. 칸토어 함수는 연속이다.

증명. $f$를 칸토어 함수라고 하자. $f$는 증가함수이므로 $f$가 불연속점을 가진다면 해당 불연속은 틈 불연속_{gap discontinuity}이며, 따라서 어떤 $\epsilon > 0$와 $y_0 \in I$에 대해 $(y_0 - \epsilon, y_0 + \epsilon)$이 $\operatorname{im} f$ 밖에 속한다. 그런데 $(y_0 - \epsilon, y_0 + \epsilon)$의 원소 중에는 이진법으로 소숫점 전개했을 때 자릿수가 유한한 수가 존재한다. 해당 수는 $\operatorname{im}f$에 속하므로 모순이다. ■

정리. 르베그 가측이지만 보렐 가측이 아닌 함수가 존재한다.

증명.

보조정리. $f$가 증가함수라면 $f^{-1}$은 보렐 집합을 보렐 집합에 사상한다.

보조정리의 증명. $\mathcal{A} = \lbrace S \subset I : f^{-1}(S) \in \mathcal{B} \rbrace $라고 하자. 열린 집합들의 모음 $\mathcal{G}$에 대해 $\mathcal{G} \subset \mathcal{A}$임이 자명하다. 또한 $\mathcal{A}$가 $\sigma$-대수임이 역함수의 성질로부터 자명하다. 따라서 $\mathcal{A} = \sigma(\mathcal{G}) = \mathcal{B}$이다.

$f$가 칸토어 함수라고 하고, $F$를 다음과 같이 정의하자.

\[F(x) =\inf \{y : f(y) \geq x \}\]

$F$는 엄격히 증가하는 함수이고, $\operatorname{im} F = C$이다($C$는 칸토어 집합). $V$를 비탈리 집합이라고 하자. $F[V]$는 $C$에 포함되므로 르베그 측도 0이며, 르베그 측도의 완비성에 따라 르베그 가측이다. 그러나 $F[V]$는 보렐 가측이 아니다. 만약 보렐 가측이었다면 $F$가 증가함수이므로 $F^{-1}(F[V]) = V$가 가측이어야 하기 때문이다. ■