Notes on Tensor

18 Oct 2026 PDF

Basic Theorems.

1. $(V \otimes W)^* \simeq V^* \otimes W^*$
2. $\hom(V\otimes W, Z) \simeq \hom(V, \hom(W, Z))$
3. $V^{**} \simeq V$

Corollary. $V^* \otimes W \simeq \hom (V, W)$

Tensor

TFAE.

1. $M$ is a type $(n, m)$ tensor
2. $M \in V^{\otimes n} \otimes (V^*)^{\otimes m}$
3. $M: (V^*)^n \times V^m \to k$
4. $M: V^{\otimes m} \to V^{\otimes n}$

(1, 1)-tensor

Let $\Lambda$ be a (1, 1)-tensor, i.e. $\Lambda: V^* \times V \to k$.

If we fix a basis ${e_i}$ for $V$, we can write $\Lambda$ as a matrix form:

\[\Lambda^\mu_{\;\nu} =\Lambda(e^\mu, e_\nu)\]

For example, given:

\[\begin{gather} \Lambda(e^0, e_0) = a\\ \Lambda(e^1, e_0) = b\\ \Lambda(e^0, e_1) = c\\ \Lambda(e^1, e_1) = d, \end{gather}\]

we have:

\[\Lambda^\mu_{\;\nu} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\]

Note: Specification of matrix component is only relevant with the left-right order (rightmost index corresponds to column) and irrelevant with the up-down position.

Let $\mathbf{a} = a^\mu e_\mu \in V$. Since $\Lambda(-, \mathbf{a}) : V^* \to k$ and $\hom(V^*, k) \simeq V$, we have $\Lambda(-, \mathbf{a}) \in V$. Write $\Lambda(-, \mathbf{a}) = \mathbf{a}’ = (a’)^\mu e_\mu$. We then have:

\[(a')^\mu = \Lambda(e^\mu, \mathbf{a}) = \sum_\nu \Lambda(e^\mu, e_\nu)a^\nu = \Lambda^\mu_{\;\nu}a^\nu.\]

(0, 2)-tensor

Let $\eta$ be a (0, 2)-tensor, i.e. $\eta: V \times V \to k$.

If we fix a basis ${e_i}$ for $V$, we can write $\eta$ as a matrix form:

\[\eta_{\mu \nu} =\eta(e_\mu, e_\nu)\]

For example, given:

\[\begin{gather} \eta(e_0, e_0) = a\\ \eta(e_1, e_0) = b\\ \eta(e_0, e_1) = c\\ \eta(e_1, e_1) = d, \end{gather}\]

we have:

\[\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\]

Let $\mathbf{a} = a^\mu e_\mu \in V$. Since $\eta(-, \mathbf{a}) : V \to k$ and $\hom(V, k) \simeq V^*$, we have $\Lambda(-, \mathbf{a}) \in V^*$. Write $\Lambda(-, \mathbf{a}) = \mathbf{a}’ = (a’)_\mu e^\mu$. We then have:

\[(a')_\mu = \eta(e_\mu, \mathbf{a}) = \sum_\nu \eta(e_\mu, e_\nu)a^\nu = \eta_{\mu\nu}a^\nu.\]

Generalizing, for a $(2, 3)$-tensor $T^{\alpha \beta}_{\gamma \delta \epsilon} : V^* \times V^* \times V \times V \times V \to k$, if we product $T$ with 1 dual coordinate $a_\mu$ and 3 vector coordinates $b^\nu$, then we are left with a coordinate for $\hom(V^*, k) \simeq V$, which is a contravariant result. Indeed,

\[T^{\alpha \beta}_{\gamma \delta \epsilon} b_\beta c^\gamma d^\delta e^\epsilon = a^\alpha\]

Alternatively we can product $T$ with 2 dual coordinates and 2 vector coordinates to obtain a coordinate for $\hom(V, k) \simeq V^*$.

Index raising/lowering

Let $M^\mu_{\;\nu}$ act on $V$. How does $M$ “act” on $V^*$?

1. $\phi(v)$ conservation

If we require that $\phi(v)$ be conserved, i.e.

\[(M^*\phi)(Mv) = \phi(v),\]

then $M$ should act inversely on $V^*$. That is,

\[\begin{gather} (M^*)_\mu^{\;\nu} a_\nu = a'_\mu \\\\ \text{where} \quad M^* := (M^{-1})^T \end{gather}\]

2. Coordinate change

Alternatively, we can simply change $\phi$ to its corresponding vector $v_\phi$, transform $v_\phi$, and change it back to $V^*$. That is,

\[\begin{gather} (M')_\mu^{\;\nu}a_\nu := \eta_{\mu \sigma}( M^\sigma_{\;\tau} a^\tau) = \eta_{\mu\sigma} M^\sigma_{\;\tau}\eta^{\tau\nu}a_\nu \\\\ \text{i.e.} \quad M' = \eta M \eta \end{gather}\]

Theorem. If $\eta$ is invariant under $M$, i.e. $\eta(Mu, Mv) = \eta(u, v)$, the two conversions coincide.

Hence, we work with 2, since it’s much easier to calculate. The point is that, insofar we deal with Lorentz invariant transformations, index raising/lowering and contraction of indices flow naturally.

Furthermore, since $\eta$ has nonzero indices only on the diagonal, we can use the following shortcut:

Multiply by -1 when raising/lowering time index. Leave everything else unchanged.

Example.

\[\begin{gather} \Lambda^\mu_{\;\nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\\\ \Lambda_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -\gamma & \beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\\\ \Lambda^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ \Lambda_{\mu}^{\;\nu} = \begin{pmatrix} \gamma & \beta\gamma & 0 & 0\\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{gather}\]

Notes on Relativity

18 Oct 2026 PDF

Throughout the note, we use the following tensor:

\[\Lambda^\mu_{\;\nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Definition. A transformation $M$ is Lorentz invariant if it leaves the Minkowski metric (inner product) between two events invariant, i.e.

\[\eta(Mu, Mv) = \eta(u,v)\]

Note that this condition is equivalent to $M^T\eta M = \eta$.

Corollary. $d\tau$ is invariant under Lorentz invariant transformation.

See Notes on Tensor. Due to Lorentz invariance, we are free to use index raising/lowering & index contraction to construct tensor equations.

Clock

A clock should measure a Lorentz invariant quantity.

Consider a light clock, i.e. light traversing between two mirrors:

• Trajectory of light is Lorentz invariant
• The distance betwee mirrors is Lorentz invariant under smooth impulse, if the mirrors are connected by a rigid rod (⇒ rigidity: tendency to maintain equilibrium)
• Hence, a rigid rod with mirrors attached at each end is an ideal clock

Lagrangian of a free relativistic particle

Criteria for Lagrangian:

• Local (Up to first derivative only)
• Lorentz invariant
• (Gauge invariant => Action must be invariant under Gauge transform)

Since $d\tau$ is Lorentz invariant, we will use this to construct the Lagrangian:

\[S = -mc\int d\tau\]

Note that $c$ is simply a constant, added to match the dimensions. From $d\tau^2 = dt^2 - \frac{dx^2}{c^2}$, we have

\[d\tau = \sqrt{\dot{t}^2 - \frac{\dot{x}^2}{c^2}} d\lambda\]

where $\lambda$ is a formal variable and dot stands for $d/d\lambda$. We then have:

\[S = \int \underbrace{-mc\sqrt{\dot{t}^2 - \frac{\dot{x}^2}{c^2}}}_{L(x, t, \dot{x}, \dot{t})}d\lambda\]

To minimize $S$, we use Euler-Lagrange equation:

\[\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L}{\partial \dot{X^\mu}} = \frac{\partial L}{\partial X^\mu}\]

4-momentum

The canonical momentum for $L$ are:

\[P_t =-mc\frac{\dot t} {\sqrt{\dot t^{2}-\dot{x}^{2}/c^2}}\]

If we let $\lambda = \tau$,

\[\dot{t} = \gamma, \; \dot{x} = \gamma v, \; \sqrt{\dot t^{2}-\dot{x}^{2}/c^2} = 1\]

Hence,

\[P_t = -mc \gamma\]

or alternatively, $P^t = mc\gamma$. Indeed, we have:

\[P^\mu = mU^\mu\]

Conservation Laws

Since $P^\mu$ is the canonical momentum obtained from the Lagrangian, we can use Noether’s law:

\[\sum P^\mu f(\mathbf{x}) \text{ is conserved}\]

Hence we obtain that $P^t$ is conserved under time translation. Hence, $P^0$ is the energy of the system. Matching the dimension, we have $cP^t = E$.

Mass

Consider a free particle moving at velocity $v$. Since 4-momentum is a 4-vector, we can Lorentz transform it to have zero velocity, i.e.

\[P^\mu = \begin{pmatrix} E/c \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Note that $E/c$ is a time-invariant quantity that does not depend on $v$ (since we can always Lorentz transform to an appropriate frame). Thus, this quantity is intrinsic to the system. We thus define this quantity to be the mass. Matching the dimension, we have $m = E/c^2$.

Translation between relativistic unit and standard unit

General rule:

\[t \mapsto ct, \quad v \mapsto v/c\]

Hence, with $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}$ and $\gamma_s = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$,

Relativistic unit	Standard unit
$x’ = \gamma(x - vt)$	$x’ = \gamma_s(x - vt)$
$t’ = \gamma(t - vx)$	$\displaystyle t’ = \gamma_s\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$
$X^\mu = (t, x, y, z)$	$X^\mu = (ct, x, y, z)$
$d\tau^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$	$c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$
$\displaystyle U^\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} = (\gamma, \gamma\dot{x})$	$U^\mu = (c\gamma_s, \gamma_s\dot{x})$

Notes on Field Theory

18 Oct 2026 PDF

Lorentz Force

\[\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})\]

Q) Is this equation Lorentz invariant?

A) Proof by construction of Lorentz invariant Lagrangian: Assume a 4-vector $A_\mu(t, x)$ that encodes all the information about $\mathbf{E}$ and $\mathbf{B}$ in the following way.

\[\begin{align} F_{\mu \nu} &= \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}\]

Convention: $x$ stands for all the spatial coordinates of $X^\mu$.

The following is a scalar including a product of the particle’s position with the field (hence represents the action of interaction):

\[S_{\mathrm{int}}=e\int dX^\mu A_\mu(t, x)\]

The following is the action for a free particle:

\[S_{\mathrm{part}} = \int -m\sqrt{1-\dot{x}^2}dt\]

We thus add the two together to obtain the total action $S = S_{\mathrm{int}} + S_{\mathrm{part}}$. To find the Lagrangian, we rewrite the integral to factor out $dt$, by which we obtain:

\[\mathcal{L} = -m\sqrt{1-\dot{x}^2} + eA_0(t, x) + e\dot{X^n}A_n(t, x)\]

Using Euler-Lagrange, we indeed obtain the equation for relativistic Lorentz force:

\[m \frac{d}{dt}\frac{\dot{X_p}}{\sqrt{1 - \dot{x}^2}} = e(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})_p\]

Or more succintly,

\[m\frac{d^2 X_\mu}{d\tau^2} = e F_{\mu\nu} \frac{dX^\nu}{d\tau}\]

Homogeneous Maxwell Equations

Definition.

\[\begin{align} F_{\mu \nu} &= \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}\]

The above definition yields the following mathematical identities.

\[\begin{gather} \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0 \end{gather}\]

Current density 4-vector

\[\rho = \frac{dQ}{dxdydz}, \, j_x = \frac{dQ}{dydzdt}\]

To write succintly,

\[J^\mu = \frac{dQ}{dxdydzdt}dX^\mu\]

We thus have the following local conservation equation:

\[\partial_\mu J^\mu = 0 \quad \left(\text{i.e. } \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + \nabla \cdot\mathbf{J} = 0 \right)\]

This suggests that the following is a 4-vector.

\[J^\mu = \begin{pmatrix} \rho \\ J_x \\ J_y \\ J_z \end{pmatrix}\]

Indeed, a simple thought experiment proves that $J^\mu$ respects Lorentz transformation, see pg. 412-413 of The Theoretical Minimum: Special Relativity and Field Theory.

Deriving the non-homogeneous Maxwell’s equations

Simple algebra shows that the non-homogeneous equations are equivalent to:

\[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -J^\nu\]

To derive this, we will first set up a Lagrangian that is

1. Lorentz invariant
2. Gauge-invariant
3. Local

First, we adopt the following notation:

\[\partial_\mu \phi = \phi_{,\mu}\]

By locality, the Lagrangian should depend only up to first derivative, i.e.

\[\mathcal{L}(\phi, \phi_{,\mu})\]

To respect gauge invariance, the Lagrangian must be invariant under the following transformation:

\[A_\mu \Rightarrow A_\mu + \frac{\partial S}{\partial X^\mu}\]

where $S$ is a scalar field. Since $F^{\mu\nu}$ is gauge invariant, we are free to use these terms in the Lagrangian, but we are prohibited from using such terms as $A_\mu A^\mu$ (although it is a perfectly fine scalar).

Lagrangian when $\mathbf{J} = 0$

The above considerations lead us to postulate the following Lagrangian:

\[\begin{align} \mathcal{L} &= -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \\ &= -\frac{1}{4}(A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu})(A^{\nu,\mu}-A^{\mu,\nu}) \\ &= \frac{1}{2}(E^2 - B^2) \end{align}\]

To find the eqution of motion, use the Euler-Lagrange equations for field:

\[\frac{\partial}{\partial X^\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{,\mu}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\]

Note that each $\phi$ is a field; since we are dealing with four fields $A_t, A_x, A_y, A_z$, we will obtain a system of four equations, each of them being:

\[\frac{\partial}{\partial X^\nu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu,\nu}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu}\]

Calculating the terms yield:

\[\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial X^\nu} = 0\]

i.e.

\[\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 = J_\mu.\]

Lagrangian when $\mathbf{J} \neq 0$

Q) How should we add $\mathbf{J}$ to the Lagrangian?

A) Although $A^\mu A_\mu$ is not Gauge invariant, $J^\mu A_\mu$ is! Let’s check this fact.

Let the new action be:

\[\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \underbrace{- J^\mu(x)A_\mu(x)}_{\text{new term}}\]

The gauge transform is: \(\mathcal{L}' = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J^\mu(x)\left( A_\mu(x) + \frac{\partial S}{\partial X^\mu} \right)\)

Thus,

\[\begin{align} \Delta S &= \int -J^\mu(x)\frac{\partial S}{\partial X^\mu} d^4x \\ &= \int -\frac{J^\mu(x)}{\partial X^\mu} S \,d^4x \quad(\because \text{partial integral}) \\ &= \int -(\partial_\mu J^\mu)S \,d^4x \\ &= 0 \quad (\because \text{continuity equation}) \end{align}\]

Thus, $\mathcal{L}$ is Gauge invariant. Let us now extract the equation of motion:

\[\frac{\partial}{\partial X^\nu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu,\nu}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu}\]

Since the new term only explicitly depends on $A_\mu$, its effect on LHS is nil. Calculating the RHS, we obtain:

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = -J^\mu\]

Hence,

\[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -J^\nu \qquad \blacksquare\]

Notes on Adjoints, Representables, Limits

18 Oct 2026 PDF

Functorialness of Cones

Define the diagonal functor $\Delta : \mathcal{A} \to [ \mathbf{I}, \mathcal{A} ]$, where $\Delta (A) : \mathbf{I} \to \mathcal{A}$ maps every element and map of $\mathbf{I}$ to $A$ and $1_A$, respectively.

We then have,

\[\mathrm{Cone}(A, D) = \hom_{[\mathbf{I}, \mathcal{A}]}(\Delta A, D)\]

Hence, $\mathrm{Cone}(A, D)$ is functorial in $A$ (contravariantly) and $D$ (covariantly).

Limits as Representables

Varying $A$ yields the following theorem:

A limit of $D$ is a representation of $\hom_{[\mathbf{I}, \mathcal{A}]}(\Delta -, D)$.

Varying $D$ yields the following theorem:

Let $\alpha$ be a natural transformation between $D, D’ : \mathbf{I} \to \mathcal{A}$. The limits of $D, D’$ induce $\lim_{\leftarrow I}\alpha : \lim_{\leftarrow I} D \to \lim_{\leftarrow I}D’$ such that,

• (a) commutes
• (c) commutes if (b) commutes

Limits as Adjoints

If $\mathcal{A}$ has all limits of shape $\mathbf{I}$, we can give a second reformulation:

$\lim_{\leftarrow \mathbf{I}} : [\mathbf{I}, \mathcal{A}] \to \mathcal{A}$ is the right adjoint to the diagonal functor $\Delta : \mathcal{A} \to [ \mathbf{I}, \mathcal{A} ]$.

Representables preserve Limits

For a locally small category $\mathcal{S}$ that has products and equalizers, one can construct limits for arbitrary $D: \mathbf{I} \to \mathcal{S}$ by taking the equalizer of the following:

\[\prod_{I \in \mathbf{I}} D(I)\; \substack{\underrightarrow{\;\;s\;\;}\\ \overrightarrow{\;\;t\;\;}} \prod_{I \xrightarrow{u} J} D(J)\]

where $s_u = Du \circ \pi_I$ and $t_u = \pi_J$. In light of this, we have:

\[\mathrm{Cone}(A, D) \cong \lim_{\leftarrow I}\hom_\mathcal{A} (A, D(-))\]

Proof. Since $\hom_\mathcal{A}(A, D(-))$ is a functor into $\mathbf{Set}$, its limit is given by the above formula, which is the set of all families $\big(f_I : A \to D(I)\big)_{I \in \mathbf{I}}$ such that $Du \circ f_I = f_J$, which happens to coincide with $\mathrm{Cone}(A, D)$. ■

Since $\mathrm{Cone}(A, D) \cong \hom_\mathcal{A} (A, \lim D)$, we have

\[\hom_\mathcal{A}\left(A, \lim_{\leftarrow \mathbf{I}} D\right) \cong \lim_{\leftarrow \mathbf{I}} \hom_\mathcal{A} (A, D(-))\]

that is, representables preserve limits.

To dualize the result, note that $\hom_\mathcal{A}(-, A)$ is a contravariant functor from $\mathcal{A}$, and hence a covariant functor from $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$. Hence, $\hom_\mathcal{A}(-, A) : \mathcal{A}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ preserves limits in $\mathcal{A}^\mathrm{op}$, i.e.

\[\hom_\mathcal{A}\left( \lim_{\leftarrow \mathbf{I}^{\rm{op}}} D^{\rm{op}}, A\right) \cong \lim_{\leftarrow \mathbf{I}^{\rm{op}}} \hom_\mathcal{A} (D^{\rm{op}}(-), A)\]

where $D^{\rm{op}}: \mathbf{I}^{\rm{op}} \to \mathcal{A}^{\rm{op}}$. If we dualize $D^\mathrm{op}$ to $D: \mathbf{I} \to \mathcal{A}$, we have $\lim_{\leftarrow \mathbf{I}^{\rm{op}}} D^{\rm{op}} = \lim_{\rightarrow \mathbf{I}} D$.

Hence,

\[\hom_\mathcal{A}\left( \lim_{\rightarrow \mathbf{I}} D, A\right) \cong \lim_{\leftarrow \mathbf{I}} \hom_\mathcal{A} (D(-), A).\]

Note that RHS is limit, not colimit.

Corollary. Left adjoints preserve colimits and right adjoints preserve limits.

Proof. From the definition of adjointness and $\mathrm{Cone}(A, D) \cong \lim \hom_\mathcal{A} (A, D(-)) \cong \hom_\mathcal{A}(A, \lim D)$, we have

\[\begin{align} \hom_\mathcal{A} (A, G(\lim D)) &\cong \hom_\mathcal{B} (F(A), \lim D) \\ &\cong \lim \hom_\mathcal{B} (F(A), D(-)) \\ &\cong \lim \hom_\mathcal{A}(A, GD(-)) \\ &\cong \mathrm{Cone}(A, G\circ D). \end{align}\]

Hence, $G(\lim D)$ represents $\mathrm{Cone}(-, G \circ D)$, i.e. $G(\lim D) \cong \lim G \circ D$. ■

Limits in Functor Categories are Pointwise-computed

Theorem. Let $D: \mathbf{I} \to [\mathbf{A}, \mathcal{S}]$ be a diagram, and that for each $A \in \mathbf{A}$, $D(-)(A) : \mathbf{I} \to \mathcal{S}$ has a limit. Then there exists a cone on $D$ such that its image under $\mathrm{ev}_A$ is a limit cone on $D(-)(A)$ for each $A \in \mathbf{A}$. Moreover, any such cone on $D$ is a limit cone.

Proof. Follows from “Limits as Representables, varying $D$”. Refer to the following diagram.

Corollaries.

1. Limits commute with limits.
2. $\mathrm{ev}_A : [\mathbf{A} , \mathcal{S} ] \to \mathcal{S}$ preserves limits.
3. $よ: \mathbf{A} \to [\mathbf{A}^{\rm{op}}, \mathbf{Set}]$ preserves limits.

Density Theorem

Theorem. Every presheaf is a colimit of representables. More precisely, for $X : \mathbf{A}^{\rm{op}} \to \mathbf{Set}$, $X$ is the colimit of

\[\mathbf{E}(X) \xrightarrow{P} \mathbf{A} \xrightarrow{よ} [\mathbf{A}^{\rm{op}}, \mathbf{Set}].\]

라이프니츠와 정신분석학

18 Oct 2026 PDF

라이프니츠는 모든 참인 명제가 “P는 Q이다”의 형식이라고 보았다. “P는 Q이다”가 참이라는 것은 P의 개념(내포)이 Q를 포함한다는 것이다. 가령 “총각은 남자이다”는 참인데, 총각의 개념은 남자의 개념에 미혼의 개념을 더한 것이기 때문이다.

집합론의 언어를 사용하자면, 라이프니츠식 논리학의 특징은 ∈을 사용하지 않고 ⊆만 사용한다는 것이다(⟨남자⟩ ⊆ ⟨총각⟩)¹. 그런데 이 같은 분석은 전칭판단과 단칭판단의 구별 문제에 봉착한다. 전통적 분류에서 “총각은 남자이다”는 모든 총각에 관한 판단이므로 전칭판단, “소크라테스는 남자이다”는 주어가 단수이므로 단칭판단이다. 그러나 라이프니츠식 논리학에서 두 명제는 ⟨남자⟩ ⊆ ⟨총각⟩, ⟨남자⟩ ⊆ ⟨소크라테스⟩와 같이 분석되므로 전칭판단과 단칭판단의 구별이 붕괴한다.

라이프니츠식 논리학에서 전칭판단과 단칭판단의 구별을 유지할 수 있는 방법이 있을까? 한 가지 제안은 주어가 최종 개념인지 여부에 따라 구별하는 것이다. 최종 개념이란 ⊂에 대한 극대 원소, 즉 더 이상 확장될 수 없는 개념이다. 가령 ⟨총각⟩은 최종 개념이 아닌데, ⟨총각⟩ ⊂ X를 만족하는 X가 존재하기 때문이다(e.g. X = ⟨뉴턴⟩). 반면 ⟨소크라테스⟩는 특정 인물을 유일하게 지칭하므로, 최종 개념인 것으로 보인다.

그러나 이 제안은 곧 난관에 부딪힌다. 우리가 가진 ⟨소크라테스⟩가 정말로 최종 개념인지 불분명하기 때문이다. 우리의 ⟨소크라테스⟩는 “플라톤의 스승이며 독배를 마신 아테네의 철학자” 정도의 내용을 담고 있지만, 그가 플라톤을 사랑했는지는 정하지 않는다. 즉, ⟨소크라테스⟩에 “플라톤을 사랑했음”을 더한 개념과 “플라톤을 사랑하지 않았음”을 더한 개념이 모두 무모순적이므로 ⟨소크라테스⟩는 최종 개념이 아니다.² 나아가 유한한 술어를 아무리 덧붙이더라도 결정되지 않은 술어가 남는다면, ⟨S⟩ ⊂ ⟨S’⟩ ⊂ ⟨S’‘⟩ ⊂ …와 같은 사슬이 무한히 이어지리라는 것 또한 유추할 수 있다. 소크라테스의 개별적 개념은 이 사슬의 극한으로서만 주어진다.

실제로 라이프니츠는 개별적 개념(individual concept; 우리가 “최종 개념”이라고 부른 것에 대응된다)은 무한 지성으로만 파악 가능하다고 보았다. 따라서 라이프니츠에 따르면 우리는 대상을 언제나 “흐릿하게” 파악한다. 그의 표현으로 말하자면, 개체에 대한 우리의 개념은 결코 충전적(adequate)이지 않다. 분석을 끝까지 수행하는 것은 신만이 할 수 있는 일이다.

그러나 라이프니츠의 주장에도 불구하고 우리가 더없이 확실하게 파악하는 개념이 단 하나 있는 것처럼 보인다. 그것은 바로 나의 개념이다. 데카르트의 코기토를 정초하는 ⟨나⟩, 이 세계를 표상하고 수용하는 ⟨나⟩는 나 자신에게 직접적이고 의심할 수 없이 주어진다. 그렇다면 ⟨나⟩라는 개념만큼은 개별적 개념으로 분류해야 하지 않을까?

이 지적에 대해 라이프니츠는 두 가지 방식으로 대응할 수 있을 것이다. 첫 번째는 온건한 태도로, 나 자신에 관한 개념을 유일한 예외로서 허용하는 것이다. 두 번째는 강경한 태도로, 나 자신에 관한 개념조차 개별적 개념이 아니라고 주장하는 것이다. 이것이 라이프니츠 본인의 입장으로³, 그의 근거는 확실성과 충전성의 구별이다. 코기토가 제공하는 것은 내가 존재한다는 사실뿐이며, 내가 무엇인지에 대한 충전적 인식은 아니다. 나는 내가 있다는 것을 의심할 수 없지만, 내가 무엇인지를 끝까지 분석할 수는 없다.

그리고 우리는 나 자신조차 나를 완전히 파악할 수 없는, 이 자기 불투명성의 근대적 이름을 알고 있다. 바로 정신분석학이다. 라이프니츠의 형이상학에서 나의 분석은 나에 의해서가 아닌 신에 의해서만 가능하다. 정신분석학에서 환자의 분석은 환자에 의해서가 아닌 분석가에 의해서만 가능하다. 분석가는 신이 아니므로 최종 분석에 도달하지 못하며, 분석은 어느 시점에서 임의로 종료될 수밖에 없다는 점이 다를 뿐이다.⁴ 개별적 개념에 대한 라이프니츠의 통찰에서, 우리는 분석의 대상과 분석을 수행하는 주체를 분리함으로써 자아의 분열과 불안을 집요하게 파고드는 정신분석학의 단초를 엿볼 수 있는 것이다.

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Leibniz and Psychoanalysis

18 Oct 2026 PDF

Leibniz held that every true proposition has the form “P is Q”, which is true iff the concept (intension) of P contains Q. For instance, “Bachelors are men” is true because the concept of bachelor includes the concept of man (along with the concept of unmarried).

In set-theoretic terms, the hallmark of Leibnizian logic is that it uses only ⊆ and no ∈ (⟨man⟩ ⊆ ⟨bachelor⟩¹). This analysis, however, runs into the problem of distinguishing universal from singular judgments. On the traditional classification, “Bachelors are men” is a universal judgment, since it concerns all bachelors, while “Socrates is a man” is a singular judgment, since it concerns a single individual. In Leibnizian logic, however, the two propositions are analyzed as ⟨man⟩ ⊆ ⟨bachelor⟩ and ⟨man⟩ ⊆ ⟨Socrates⟩ respectively, and the distinction between universal and singular judgments collapses.

Is there a way to preserve this distinction within Leibnizian logic? One proposal is to draw it according to whether the subject is a final concept. Let us call a concept final if it is maximal with respect to ⊂. For instance, ⟨bachelor⟩ is not a final concept, since there exists an X such that ⟨bachelor⟩ ⊂ X (e.g. X = ⟨Newton⟩). ⟨Socrates⟩, by contrast, picks out a unique individual, and so appears to be a final concept.

However, this proposal soon meets a difficulty, for it is unclear whether the concept ⟨Socrates⟩, as we understand it, really is a final concept. Our ⟨Socrates⟩ amounts to something like “the Athenian philosopher who taught Plato and drank the hemlock”, but it does not settle whether he loved Plato. That is, the concept obtained by adding “loved Plato” to ⟨Socrates⟩ and the one obtained by adding “did not love Plato” are both consistent, so ⟨Socrates⟩ is not a final concept.² Moreover, if some predicates remain undetermined no matter how (finitely) many predicates we add, it follows that endless chains such as ⟨S⟩ ⊂ ⟨S′⟩ ⊂ ⟨S″⟩ ⊂ … exist. The individual concept of Socrates is given only as the limit of such a chain.

Indeed, Leibniz held that individual concepts (which correspond to what we have called “final concepts”) can be grasped only by an infinite intellect. Thus, according to Leibniz, we always grasp objects “dimly” — our concepts of individuals are never adequate. Only God can carry the analysis through to the end.

Yet despite Leibniz’s claim, there seems to be one concept that we grasp with the utmost certainty: the concept of the I. The ⟨I⟩ that grounds Descartes’s cogito, the ⟨I⟩ that represents and receives this world, is given to me immediately and indubitably. Then is not the concept ⟨I⟩, at least, an individual concept?

Leibniz could respond to this objection in two ways. The first is a moderate stance in which the concept of oneself is admitted as the sole exception. The second is a radical stance. Even ⟨I⟩ is not an individual concept, in the sense that I cannot grasp it adequately. The latter is Leibniz’s own position,³ and it rests on the distinction between certainty and adequacy. What the cogito provides is only the knowledge of my existence, not of what I am. I cannot doubt that I am, but I cannot analyze what I am to the end.

And we know the name of the discipline that concerns itself with this self-opacity, in which I do not grasp myself: psychoanalysis. In Leibniz’s metaphysics, the analysis of ⟨I⟩ is possible not by me, but only by God. In psychoanalysis, the analysis of the patient is possible not by the patient, but only by the analyst — modulo the difference that the analyst, not being God, never reaches the final analysis.⁴ Thus in Leibniz’s doctrine of individual concepts, we can glimpse the germ of psychoanalysis, which, by separating the object of analysis from the subject who performs it, probes relentlessly into the division and anxiety of the self.

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우주 검열 가설의 초월론적 성격에 관하여

17 Oct 2026 PDF

우주 검열 가설을 굉장히 간략히 소개하자면, “관측 가능한 우주는 인과율을 따른다”는 원리이다.

여기서의 관측 가능성은 상대론적 의미로, 시공간의 특정 지점에서 발신한 광신호가 충분한 시간 이후 관측될 수 있다면 그 지점은 관측 가능하다. 예를 들어 안드로메다 은하는 관측 가능하지만 — 안드로메다 은하와 지구의 거리는 250만 광년이므로 안드로메다 은하에서 발신한 광신호는 250만 년 이후 관측될 것이다 — 블랙홀의 “사건의 지평선” 내부는 관측 불가능하다. 사건의 지평선 내부에서 발신된 광신호는 특이점 안으로 “빨려” 들어가기 때문이다.

그러나 위 문단의 소개가 “굉장히 간략한” 소개에 그치는 이유는, 관측 가능성과 인과율이 무엇을 의미하는지를 수학적/형식적으로 엄밀히 정의하는 것이 말도 안 되게 어려운 작업임이 드러났기 때문이다. 이 작업은 Hawking, Ellis, Wald 등에 의해 이루어졌는데, 대충 다음과 같다. (안 읽어도 된다)

시공간 $(M, g)$에 대해, $\tilde M$ 안에 $\overline{J^-(\mathscr{I}^+) \cap M}$를 포함하는 열린 집합 $\tilde V$가 존재하고 $(\tilde V, \tilde g)$가 대역적 쌍곡이라면, $(M, g)$가 강하게 점근적 예측가능하다고 하자.

가설. 적절한 물질장(e.g. 무한한 에너지나 음의 에너지를 갖는 물질이 없다)을 가지며 특이점이 없고 점근적으로 평탄한 초기 데이터 $(Σ, h, K)$에 대해, 그 최대 코시 전개 $(M, g)$는 강하게 점근적 예측가능하다.

하지만 이 가설의 반례가 Christodoulou에 의해서 발견되었다. 결론: 우주 검열 가설은 틀렸다.

…로 논의가 끝났을 리는 없다. Christodoulou 자신을 비롯한 이후 물리학자들은 이 반례 우주가 굉장히 불안정하다는 사실을 지적했다. 충분한 안정성 조건을 추가한다면 우주 검열 가설을 성립시키는 것은 여전히 가능할지 모른다.

그런데 여기서 우리는 한 가지 미래의 가능성을 그려 봄 직하다. 안정성 조건 A가 추가된 우주 검열 가설이 제시되었는데, 이후 어떤 물리학자가 A까지 만족하는 반례를 발견했다면 어떨까? 그제야 우주 검열 가설은 기각될까?

필자의 생각으로는 그렇지 않다. 아마 안정성 조건 B가 추가된 우주 검열 가설이 새로 제시될 것이다. 그런데 B까지 만족하는 반례도 곧 발견된다면? 그러면 안정성 조건 C도 추가된 우주 검열 가설이 제시될 것이고, 어쩌고저쩌고…

분명 이것은 우리가 여타 과학 이론을 대하는 태도와 다르다. 보통의 경우, 어떤 이론(e.g. 플로지스톤설)의 반례가 발견될 경우 초기에는 반례를 수용할 수 있도록 이론이 완화/수정되지만(음의 플로지스톤), 반례가 너무 많이 쌓이면 기존의 이론은 기각되고 새로운 이론(산소설)이 채택된다.

그러나 우주 검열 가설의 경우에는 — 적어도 필자의 직관으로는 — 아무리 반례가 많이 등장하더라도 끊임없이 수정이 가해질지언정 결코 완전히 기각되지는 않을 것으로 생각된다. 그리고 만약 이 직관을 인정한다면, 우주 검열 가설의 문제는 더 이상 이 가설이 참이냐 아니냐의 문제가 아닌 것으로 보인다. 우주 검열 가설은 선험적(a priori)으로 참이어야만 한다. 왜냐하면 우주 검열 가설은 인과율의 우주론적 형식화와 다름이 없으며, 인과율은 물리학적 탐구를 가능하게 하는 초월론적 조건에 다름 아니기 때문이다. 그러므로 우리가 해야 하는 일은 우주 검열 가설이 참이 되도록 하는 조건을 명확하게 규정하는 것이다.

따라서 물리학자들이 앞으로 발견될 반례에 대해 우주 검열 가설을 기각하기보다 우주 검열 가설을 완화하는 방식으로 대응하리라는 생각은, 마치 칸트주의자들이 비유클리드 기하학이라는 “반례”에 대해 시공간의 선험적 직관 형식을 기각하기보다 이 직관 형식의 경직성을 완화하는 방식으로 대응했던 것과 궤를 같이하는 것이 아닐까? 이는 철학사와 과학사의 흥미로운 교차점이 될 수 있다고 필자는 생각한다.

On the Transcendental Nature of the Cosmic Censorship Hypothesis

17 Oct 2026 PDF

To put it very briefly, the cosmic censorship hypothesis is the principle that the observable universe obeys causality.

Observability here is meant in the relativistic sense: a point in spacetime is observable if a light signal emitted from it can be observed after a sufficient amount of time. For instance, the Andromeda Galaxy is observable — since it lies 2.5 million light-years from Earth, a light signal emitted from Andromeda will be observed 2.5 million years later — whereas the interior of a black hole’s “event horizon” is not. A light signal emitted inside the event horizon gets “sucked” into the singularity.

The reason the paragraph above is only a “very brief” introduction is that defining, with mathematical and formal rigor, what observability and causality mean has turned out to be a ridiculously difficult task. This work was carried out by Hawking, Ellis, Wald, and others, and it goes roughly as follows. (Feel free to skip it.)

Given a spacetime $(M, g)$, if there exists an open set $\tilde V$ in $\tilde M$ containing $\overline{J^-(\mathscr{I}^+) \cap M}$ such that $(\tilde V, \tilde g)$ is globally hyperbolic, we say that $(M, g)$ is strongly asymptotically predictable.

Conjecture. For nonsingular, asymptotically flat initial data $(\Sigma, h, K)$ with suitable matter fields (e.g. no matter with infinite or negative energy), the maximal Cauchy development $(M, g)$ is strongly asymptotically predictable.

But a counterexample to this conjecture was found by Christodoulou. Conclusion: the cosmic censorship hypothesis is false.

…Of course, the discussion could hardly have ended there. Physicists, Christodoulou himself among them, pointed out that this counterexample universe is extremely unstable. Perhaps, by adding a sufficiently strong stability condition, the cosmic censorship hypothesis can still be made to hold.

Here, though, we might imagine a possible future. Suppose a version of the hypothesis with stability condition A is proposed, and later some physicist finds a counterexample that satisfies even A. Would the cosmic censorship hypothesis then, at last, be rejected?

I don’t think so. A new version with stability condition B would probably be proposed instead. And if a counterexample satisfying even B were soon found? Then a version with stability condition C would be proposed, and so on and so forth…

This is clearly different from how we treat other scientific theories. Ordinarily, when counterexamples to a theory (e.g. phlogiston theory) are found, the theory is at first loosened or modified to accommodate them (phlogiston with negative mass), but once too many counterexamples pile up, the old theory is rejected and a new one (oxygen theory) is adopted.

In the case of the cosmic censorship hypothesis, however — at least by my intuition — no matter how many counterexamples arise, it would be revised again and again but never rejected outright. And if we grant this intuition, the question about the cosmic censorship hypothesis no longer seems to be whether it is true or false. The cosmic censorship hypothesis must be true a priori. For the hypothesis is nothing other than the cosmological formalization of causality, and causality is nothing other than a transcendental condition that makes physical inquiry possible. What we must do, then, is to specify precisely the conditions under which the cosmic censorship hypothesis comes out true.

So might not the expectation that physicists will respond to future counterexamples by relaxing the hypothesis rather than rejecting it run parallel to the way Kantians responded to the “counterexample” of non-Euclidean geometry by relaxing the rigidity of the pure form of spatiotemporal intuition rather than rejecting it? I think this could be an interesting case where the history of philosophy and the history of science intersect.

인류원리로 증명하는 영원회귀

16 Oct 2026 PDF

지난 글에서 푸앵카레 재귀정리를 이용해 영원회귀의 제한된 형태를 증명했다. 하지만 고백하건대 필자 본인도 그 증명에 사용된 가정들의 설득력은 낮다고 생각한다. 그런데 어제 저녁밥을 먹다가, 일종의 인류원리_{anthropic principle}를 통해 이 설득력을 유의미하게 높일 수 있겠다는 생각이 문득 들어 소개해보고자 한다. 지난 글을 읽지 않았더라도 이 글을 이해하는 데에는 지장이 없다.

가정

막스 테그마크의 구분법을 따라 4단계 다중우주론_{Level IV multiverse}이 성립한다고 가정하자. 즉, 우리가 논리적·수학적으로 상상할 수 있는 모든 수학적 구조는 그 자체로 하나의 독립된 우주이다. 4단계 다중우주론을 지지하는 유력한 근거로는 미세조정 문제가 있는데(이 또한 인류원리에 호소한다), 이 글에서는 4단계 다중우주론을 받아들일 합리적인 근거가 있다는 점을 일단 인정하기로 하자.

또한 영원회귀하는 우주는 논리적·수학적으로 무모순이며, 그러한 우주 중에는 관측 가능한 영역 내에서 우리 우주와 동일한 순간을 포함하는 우주 또한 존재한다고 가정하자. 이 가정만큼은 지난 글에 의해 충분히 논증되었다고 생각한다.

두 가정은 함께 다음을 시사한다.

어떤 영원회귀적 우주가 존재하여, 그 우주에는 관측 가능한 영역 내에서 나와 같은 삶을 사는 “쌍둥이-나”가 있다.

논증

이제 다음과 같이 논증하자. 우리의 현실 우주를 $@$라고 하고, 관측 가능한 영역 내에서 $@$과 동일한 두 우주 $U_1$과 $U_2$가 있다고 하자. $U_1$은 비회귀적 우주이고, $U_2$는 영원회귀적 우주이다. $@ = U_1$이거나 $@ = U_2$라는 사실이 주어졌다면, 두 가능성 중 어느 쪽의 확률이 더 높을까?

인류원리에 따르면 답은 이렇다. 나는 $U_1$에 속해 있을 확률보다 $U_2$에 속해 있을 확률이 무한히 더 높다. $U_1$에서는 “나”의 사례가 한 번만 실현되지만, $U_2$에서는 “나”의 사례가 무한히 많이 실현되기 때문이다. 따라서

\[P(@ = U_1 \mid @ \in \{U_1, U_2\}) = 0, \qquad P(@ = U_2 \mid @ \in \{U_1, U_2\}) = 1\]

이다.

이제 독자는 필자가 어떤 방향으로 결론을 내리고자 하는지 짐작했을 것이다. $U_1$과 $U_2$을 비롯해 관측 가능한 영역 내에서 $@$과 충분히 유사한 모든 우주들의 모임 $\mathcal{U}$를 고려한다면, $\mathcal{U}$는 비회귀적 유형과 영원회귀적 유형으로 양분할 수 있다. 필자의 주장은, 위의 인류원리 논증에 따르면 $@$은 영원회귀적 유형에 속할 확률이 압도적으로 높다는 것이다.

위의 논증 스케치는 우리의 우주가 영원회귀적 우주일 확률이 압도적으로 높다는 사실을 시사한다. 물론 이 논증을 자세히 다듬으려면 가능세계 위의 확률분포와 측도 문제를 자세히 따져야 하겠지만, 이 부분은 독자에게 연습문제로 남긴다.

Proving Eternal Recurrence from the Anthropic Principle

16 Oct 2026 PDF

In the previous post, I used the Poincaré recurrence theorem to prove a restricted form of eternal recurrence. I must confess, however, that even I find the assumptions used in that proof unpersuasive. But while having dinner yesterday, it suddenly occurred to me that a kind of anthropic principle could make them significantly more plausible, so I would like to present the idea here. You do not need to have read the previous post to follow this one.

Assumptions

Following Max Tegmark’s classification, let us assume that the Level IV multiverse holds. That is, every mathematical structure we can conceive of logically and mathematically is, in its own right, an independent universe. A leading argument for the Level IV multiverse is the fine-tuning problem (which also appeals to the anthropic principle), but in this post let us simply grant that there are reasonable grounds for accepting it.

Let us also assume that an eternally recurring universe is logically and mathematically consistent, and that among such universes there is one containing a moment identical to ours within the observable region. This assumption, at least, I take to have been adequately argued for in the previous post.

Together, the two assumptions suggest the following.

There exists an eternally recurring universe containing a “twin-me” who, within the observable region, lives the same life as I do.

The Argument

Now let us argue as follows. Let $@$ be our actual universe, and let $U_1$ and $U_2$ be two universes identical to $@$ within the observable region. $U_1$ is a non-recurring universe, and $U_2$ is an eternally recurring one. Given that either $@ = U_1$ or $@ = U_2$, which of the two possibilities is more probable?

According to the anthropic principle, the answer is this: it is infinitely more probable that I belong to $U_2$ than to $U_1$. For in $U_1$ an instance of “me” is realized only once, whereas in $U_2$ instances of “me” are realized infinitely many times. Therefore,

\[P(@ = U_1 \mid @ \in \{U_1, U_2\}) = 0, \qquad P(@ = U_2 \mid @ \in \{U_1, U_2\}) = 1.\]

By now the reader has probably guessed where I am heading. Consider the collection $\mathcal{U}$ of all universes sufficiently similar to $@$ within the observable region, including $U_1$ and $U_2$. Then $\mathcal{U}$ can be divided into a non-recurring type and an eternally recurring type. My claim is that, by the anthropic argument above, $@$ is overwhelmingly likely to belong to the eternally recurring type.

The argument sketched above suggests that our universe is overwhelmingly likely to be an eternally recurring one. Of course, making the argument rigorous would require a careful treatment of probability distributions over possible worlds and the attendant measure problem, but I leave this part as an exercise for the reader.