언어 능력이 없는 동물의 의식에 대한 회의

23 Oct 2026 PDF

최근 나는 의식에 대한 당혹스러운 사실들을 알아가고 있다. 이 사실들이 가리키는 공통 방향은 특정 수준의 의식을 가지기 위해서는 언어를 사용하는 능력이 갖춰져야 한다는 것이다. 다음은 그러한 사실들의 몇 가지 사례이다:

• 생후 19개월에 시각과 청각을 잃어 7세 무렵에야 언어를 습득한 헬렌 켈러는 언어를 습득하기 전에 자신이 존재한다는 것조차 알지 못했다고 회고했다. 이와 비슷한 회고는 늦은 시기에 언어를 배운 성인들에게 공통적으로 나타난다.
• 수어 없이 자란 농인 아동은 심적 상태를 이해하는 능력의 발달이 지체된다. 예를 들어 샐리-앤 과제를 통과하지 못한다. 그러나 심적 상태와 관련된 어휘를 익힌 뒤에는 통과한다. [1]
• 아동기 기억상실은 대부분의 성인이 3~4세 이전의 사건을 기억하지 못하는 현상이다. 아동기 기억상실이 종료되는 시기는 언어를 습득하는 시기와 겹친다.

물론 위의 보고는 상이하게 해석될 수 있다. 온건한 해석에 따르면 언어 이전의 주체는 의식이 있으나 의식적 경험을 기억하지 못할 뿐이다. 그러나 더 극단적인 해석도 가능하다. 즉, 언어를 결여한 대상은 의식도 결여하며, 이는 인간을 제외한 동물은 대부분 의식이 없음을 시사한다. 그리고 이 결론을 지지하는 사례 또한 있다:

• 유인원에게 수어를 가르친 사례는 많으며, 이들은 실험자의 질문에 올바르게 대답하기도 한다. 그러나 유인원이 먼저 실험자에게 질문한 사례는 거의 보고되지 않았다.
• 시신경이 재연결된 개구리는 움직이는 먹이를 향해서는 좌우가 뒤바뀐 방향으로 혀를 뻗지만 정지한 장애물은 정확히 피한다. [2]

전자의 사례는 유인원이 “자신은 모르는 것을 상대는 알 수도 있다”라는 사실을 이해하지 못하며, 어쩌면 자아와 타자를 구분하는 능력 자체가 결여되어 있을지도 모름을 시사한다. 한편 후자의 사례는 개구리의 먹이 사냥과 장애물 회피가 공통된 의식적 시각 경험으로 이루어지는 것이 아님을 시사한다.

그러나 동물에게 의식이 없다는 주장은 터무니없지 않은가? 당장 우리의 반려동물인 개나 고양이만 하더라도 그들에게 의식이 없다고 생각할 수 없을 정도로 복잡하고 정교한 행동을 수행하지 않는가?

이는 직관적인 반박이지만, 정교한 행동이 반드시 의식적 경험을 동반하지는 않음을 보여주는 수많은 사례를 잊어서는 안 될 것이다:

• 몽유병 환자들은 깊은 수면 상태에서도 요리, 대화, 운전 등 복잡한 행동을 수행하며, 깨어난 뒤에는 이를 기억하지 못한다. (일례로 수면 중 20km 이상을 운전하고 장모를 살해한 몽유병 환자의 사례가 있다.)
• 일부 시각피질 손상 환자들은 시야의 특정 영역에 있는 대상을 보이지 않는다고 말하면서도, 그 위치를 가리키거나 피하는 과제는 정확히 수행한다. (이를 맹시라고 한다.)
• 환자 DF의 사례: 비스듬한 틈새가 주어졌을 때 틈새의 방향을 말로 설명하거나 손으로 흉내 내지 못했지만, 그 틈새에 카드를 넣는 동작은 정확히 수행했다.

이러한 당혹스러운 사실들로부터 어떤 결론을 내려야 할까? 내가 생각하는 결론은 다음과 같다.

일부 동물은 어떠한 형태의 의식(consciousness)도 없다. 일부 동물은 제한된 형태의 의식, 이를테면 감각 능력(sentience)이 있을지도 모른다. 그러나 인간 이외의 어떠한 동물도 자기의식·통각(apperception)은 없다.

가령 동물을 바늘로 찌르면 모종의 고통 반응을 보일 것이다. 그러나 이것은 로봇의 동작과 다를 바 없는, 순전히 행동적인 자극-반응 현상일 수 있다. 일부 동물의 경우는 실제로 고통이라는 감각을 느끼는지도 모른다. 그럼에도 불구하고, 어떠한 동물도 이것을 “나는 괴롭다”라는 사태로서 이해하지는 않는 듯하다. (이는 갓난아기의 경우에도 마찬가지인 듯하다.) 그러므로 동물들의 의식적 세계는 일종의 공산주의다. 그곳에서는 사유 의식이라는 개념이 성립하지 않는다.

그리고 이 생각은 나를 동요시킨다. 나는 동물을 좋아한다. 강아지를 키우고, 초보적인 채식주의를 실천하고자 하며, 동물권이 확대되어야 한다고 생각한다. 이러한 태도 이면에는, 동물들도 인간에 준하는 의식적 경험을 한다는 믿음이 있다. 그러나 이 믿음에 심각한 회의가 제기되었을 때, 동물을 대하는 나의 태도는 어디서 새로운 근거를 찾아야 하는가? 혹은, 나의 태도 자체가 수정되어야 하는가?

이런 고민의 구체적인 사례로 글을 맺도록 하겠다. 동물에게 감각 능력은 있으나 자기의식은 없다는 나의 잠정적 입장이 사실이라면, 동물을 고문하는 것은 비도덕적이지만 죽이는 것은 비도덕적이지 않다는 결론이 따라나오는 듯하다. 왜냐하면 생명권 — 죽임을 당하지 않을 권리 — 을 가지기 위해서는 적어도 자기 자신을 지속하는 경험의 주체로 파악한다는 전제가 필요해 보이기 때문이다. [3] 이는 우리가 식물에게 생명이 있지만 생명권은 없다고 보는 근거이자, 낙태의 윤리적 정당성을 인정하는 근거이다. 그러므로 만약 동물에게 자기의식이 없다면, 동물의 심리학적·생리학적 사실에 기반한 논증은 동물의 쾌고감수권은 정당화할지언정 생명권은 정당화하지 못한다.

주석. 죽이지 않고 고통을 주는 경우(고문)와, 고통 없이 죽이는 경우(안락사)가 모두 가능하므로 죽임과 고통은 상호 독립적인 개념이며, 따라서 동물이 고통을 느끼는지와 동물을 죽여도 되는가는 — 적어도 논리적으로 — 연관이 없다.

따라서 동물의 생명권을 정당화하고자 한다면, 그 근거는 동물의 심리학적·생리학적 사실 너머에서 찾아야 할 것으로 보인다. 그렇다면 문제가 되는 것은 식물 재배나 낙태에 도덕적 책임을 부과하지 않고서 동물의 생명권을 정당화할 수 있는지, 그리고 이 미묘한 균형의 문제를 상대주의나 도덕회의주의, 또는 독단주의에 빠지지 않고서 해결할 수 있을지이다. 진정한 윤리의 문제는 여기서부터 시작된다.

참고문헌

[1] Pyers, J. E., & Senghas, A. (2009). Language promotes false-belief understanding: Evidence from learners of a new sign language. Psychological Science, 20(7), 805–812.

[2] Ingle D. (1973). Two visual systems in the frog. Science (New York, N.Y.), 181(4104), 1053–1055.

[3] Tooley, M. (1972). Abortion and Infanticide. Philosophy & Public Affairs, 2(1), 37–65.

Skepticism about Consciousness in Animals without Language

23 Oct 2026 PDF

Lately I have been learning some perplexing facts about consciousness. They all point towards the thesis that the capacity to use language is required for a certain level of consciousness. Here are a few examples:

• Helen Keller, who lost her sight and hearing at nineteen months and acquired language only around the age of seven, recalled that before she acquired language she did not even know that she existed. Similar recollections are common among adults who acquired language late.
• Deaf children raised without access to sign language show delayed development in understanding mental states. For example, they fail the Sally–Anne test. Once they acquire vocabulary for mental states, however, they pass. [1]
• Childhood amnesia is the phenomenon whereby most adults cannot recall events from before the age of three or four. The end of childhood amnesia coincides with the period of language acquisition.

Of course, these reports admit different interpretations. On a moderate interpretation, pre-linguistic subjects are conscious but simply fail to remember their conscious experiences. But a more radical interpretation is also available: whatever lacks language also lacks consciousness. This would suggest that most animals other than humans are not conscious. And there are evidences supporting this conclusion:

• There are many cases of apes being taught sign language, and they sometimes answer the experimenters’ questions correctly. But there are almost no reports of an ape asking the experimenter a question first.
• Frogs whose optic nerves have been rewired strike at moving prey in the mirror-reversed direction, yet still avoid stationary obstacles accurately. [2]

The former case suggests that apes do not understand that “the other” might know what “I” do not, and perhaps that they lack the very ability to distinguish self from other. The latter case suggests that the frog’s prey-catching and obstacle-avoidance do not rest on a shared conscious visual experience.

But isn’t the claim that animals lack consciousness absurd? Just look at our beloved dogs and cats; don’t they perform behaviors so complex and sophisticated that we cannot think of them as unconscious?

This is an intuitive objection, but we should not forget the many cases showing that complex behavior is not necessarily accompanied by conscious experience:

• Sleepwalkers perform complex actions such as cooking, talking, and driving while in deep sleep, and remember nothing after waking up. (A strking case is a sleepwalker who drove more than 20 km and killed his mother-in-law in his sleep.)
• Some patients with damage to the visual cortex report that they cannot see objects in a certain region of their visual field, yet accurately point to or avoid them. (This is known as “blindsight”.)
• The case of Patient DF: when presented with an angled slot, she could neither verbalize its orientation nor imitate it with her hand, yet she could accurately slip a card through it.

What should we conclude from these puzzling facts? Here is my conclusion.

Some animals have no form of consciousness at all. Some animals may have a limited form of consciousness, such as sentience. But no animal other than humans has self-consciousness, or apperception.

Suppose you prick an animal with a needle. It will show some kind of pain response. But this may be a purely behavioral stimulus-response phenomenon, no different from the motion of a robot. On the other hand, some animals may really feel the sensation of pain. Even so, it seems that no animal understands this situation as “I am in pain.” (The same seems to hold for newborns.) The mental world of animals is therefore a kind of communism. There, the notion of individual consciousness is nonexistent.

This thought unsettles me. I love animals. I have a dog, I try to practice a rudimentary vegetarianism, and I think animal rights should be expanded. Behind these attitudes lies the belief that animals, too, have conscious experiences comparable to our own. But once this belief is seriously called into question, where should my attitude toward animals find new grounds? Or must the attitude itself be revised?

Let me close with a concrete instance of this worry. If my tentative view that animals have sentience but not self-consciousness is correct, then it seems to follow that torturing animals is immoral, but killing them is not. For it seems that to have a right to life, that is, the right not to be killed, one must at least be able to conceive of oneself as a continuing subject of experiences. [3] This is why we take plants to have life but no right to life, and it is also a ground for the ethical permissibility of abortion. So if animals lack self-consciousness, then arguments based on physiological & psychological facts about animals may justify their right not to suffer, but cannot justify their right to life.

Note. Since it is possible both to inflict pain without killing (torture) and to kill without inflicting pain (euthanasia), killing and suffering are mutually independent notions. Hence whether animals feel pain and whether it is permissible to kill them are (at least logically) unrelated questions.

Therefore, if we wish to justify a right to life for animals, it seems we must look for its grounds beyond the physiological & psychological facts about them. The question, then, is whether we can justify animals’ right to life without thereby attaching moral responsibility to cultivating plants or to abortion, and whether this fine maneuver can succeed without falling into relativism, moral skepticism, or dogmatism. This is where ethics proper begins.

References

[1] Pyers, J. E., & Senghas, A. (2009). Language promotes false-belief understanding: Evidence from learners of a new sign language. Psychological Science, 20(7), 805–812.

[2] Ingle, D. (1973). Two visual systems in the frog. Science, 181(4104), 1053–1055.

[3] Tooley, M. (1972). Abortion and infanticide. Philosophy & Public Affairs, 2(1), 37–65.

Notes on Tensor

21 Oct 2026 PDF

Basic Theorems.

1. $(V \otimes W)^* \simeq V^* \otimes W^*$
2. $\hom(V\otimes W, Z) \simeq \hom(V, \hom(W, Z))$
3. $V^{**} \simeq V$

Corollary. $V^* \otimes W \simeq \hom (V, W)$

Tensor

TFAE.

1. $M$ is a type $(n, m)$ tensor
2. $M \in V^{\otimes n} \otimes (V^*)^{\otimes m}$
3. $M: (V^*)^n \times V^m \to k$
4. $M: V^{\otimes m} \to V^{\otimes n}$

(1, 1)-tensor

Let $\Lambda$ be a (1, 1)-tensor, i.e. $\Lambda: V^* \times V \to k$.

If we fix a basis ${e_i}$ for $V$, we can write $\Lambda$ as a matrix form:

\[\Lambda^\mu_{\;\nu} =\Lambda(e^\mu, e_\nu)\]

For example, given:

\[\begin{gather} \Lambda(e^0, e_0) = a\\ \Lambda(e^1, e_0) = b\\ \Lambda(e^0, e_1) = c\\ \Lambda(e^1, e_1) = d, \end{gather}\]

we have:

\[\Lambda^\mu_{\;\nu} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\]

Note: Specification of matrix component is only relevant with the left-right order (rightmost index corresponds to column) and irrelevant with the up-down position.

Let $\mathbf{a} = a^\mu e_\mu \in V$. Since $\Lambda(-, \mathbf{a}) : V^* \to k$ and $\hom(V^*, k) \simeq V$, we have $\Lambda(-, \mathbf{a}) \in V$. Write $\Lambda(-, \mathbf{a}) = \mathbf{a}’ = (a’)^\mu e_\mu$. We then have:

\[(a')^\mu = \Lambda(e^\mu, \mathbf{a}) = \sum_\nu \Lambda(e^\mu, e_\nu)a^\nu = \Lambda^\mu_{\;\nu}a^\nu.\]

(0, 2)-tensor

Let $\eta$ be a (0, 2)-tensor, i.e. $\eta: V \times V \to k$.

If we fix a basis ${e_i}$ for $V$, we can write $\eta$ as a matrix form:

\[\eta_{\mu \nu} =\eta(e_\mu, e_\nu)\]

For example, given:

\[\begin{gather} \eta(e_0, e_0) = a\\ \eta(e_1, e_0) = b\\ \eta(e_0, e_1) = c\\ \eta(e_1, e_1) = d, \end{gather}\]

we have:

\[\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\]

Let $\mathbf{a} = a^\mu e_\mu \in V$. Since $\eta(-, \mathbf{a}) : V \to k$ and $\hom(V, k) \simeq V^*$, we have $\Lambda(-, \mathbf{a}) \in V^*$. Write $\Lambda(-, \mathbf{a}) = \mathbf{a}’ = (a’)_\mu e^\mu$. We then have:

\[(a')_\mu = \eta(e_\mu, \mathbf{a}) = \sum_\nu \eta(e_\mu, e_\nu)a^\nu = \eta_{\mu\nu}a^\nu.\]

Generalizing, for a $(2, 3)$-tensor $T^{\alpha \beta}_{\gamma \delta \epsilon} : V^* \times V^* \times V \times V \times V \to k$, if we product $T$ with 1 dual coordinate $a_\mu$ and 3 vector coordinates $b^\nu$, then we are left with a coordinate for $\hom(V^*, k) \simeq V$, which is a contravariant result. Indeed,

\[T^{\alpha \beta}_{\gamma \delta \epsilon} b_\beta c^\gamma d^\delta e^\epsilon = a^\alpha\]

Alternatively we can product $T$ with 2 dual coordinates and 2 vector coordinates to obtain a coordinate for $\hom(V, k) \simeq V^*$.

Index raising/lowering

Let $M^\mu_{\;\nu}$ act on $V$. How does $M$ “act” on $V^*$?

1. $\phi(v)$ conservation

If we require that $\phi(v)$ be conserved, i.e.

\[(M^*\phi)(Mv) = \phi(v),\]

then $M$ should act inversely on $V^*$. That is,

\[\begin{gather} (M^*)_\mu^{\;\nu} a_\nu = a'_\mu \\\\ \text{where} \quad M^* := (M^{-1})^T \end{gather}\]

2. Coordinate change

Alternatively, we can simply change $\phi$ to its corresponding vector $v_\phi$, transform $v_\phi$, and change it back to $V^*$. That is,

\[\begin{gather} (M')_\mu^{\;\nu}a_\nu := \eta_{\mu \sigma}( M^\sigma_{\;\tau} a^\tau) = \eta_{\mu\sigma} M^\sigma_{\;\tau}\eta^{\tau\nu}a_\nu \\\\ \text{i.e.} \quad M' = \eta M \eta \end{gather}\]

Theorem. If $\eta$ is invariant under $M$, i.e. $\eta(Mu, Mv) = \eta(u, v)$, the two conversions coincide.

Hence, we work with 2, since it’s much easier to calculate. The point is that, insofar we deal with Lorentz invariant transformations, index raising/lowering and contraction of indices flow naturally.

Furthermore, since $\eta$ has nonzero indices only on the diagonal, we can use the following shortcut:

Multiply by -1 when raising/lowering time index. Leave everything else unchanged.

Example.

\[\begin{gather} \Lambda^\mu_{\;\nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\\\ \Lambda_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -\gamma & \beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\\\ \Lambda^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ \Lambda_{\mu}^{\;\nu} = \begin{pmatrix} \gamma & \beta\gamma & 0 & 0\\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{gather}\]

Notes on Relativity

21 Oct 2026 PDF

Throughout the note, we use the following tensor:

\[\Lambda^\mu_{\;\nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Definition. A transformation $M$ is Lorentz invariant if it leaves the Minkowski metric (inner product) between two events invariant, i.e.

\[\eta(Mu, Mv) = \eta(u,v)\]

Note that this condition is equivalent to $M^T\eta M = \eta$.

Corollary. $d\tau$ is invariant under Lorentz invariant transformation.

See Notes on Tensor. Due to Lorentz invariance, we are free to use index raising/lowering & index contraction to construct tensor equations.

Clock

A clock should measure a Lorentz invariant quantity.

Consider a light clock, i.e. light traversing between two mirrors:

• Trajectory of light is Lorentz invariant
• The distance betwee mirrors is Lorentz invariant under smooth impulse, if the mirrors are connected by a rigid rod (⇒ rigidity: tendency to maintain equilibrium)
• Hence, a rigid rod with mirrors attached at each end is an ideal clock

Lagrangian of a free relativistic particle

Criteria for Lagrangian:

• Local (Up to first derivative only)
• Lorentz invariant
• (Gauge invariant => Action must be invariant under Gauge transform)

Since $d\tau$ is Lorentz invariant, we will use this to construct the Lagrangian:

\[S = -mc\int d\tau\]

Note that $c$ is simply a constant, added to match the dimensions. From $d\tau^2 = dt^2 - \frac{dx^2}{c^2}$, we have

\[d\tau = \sqrt{\dot{t}^2 - \frac{\dot{x}^2}{c^2}} d\lambda\]

where $\lambda$ is a formal variable and dot stands for $d/d\lambda$. We then have:

\[S = \int \underbrace{-mc\sqrt{\dot{t}^2 - \frac{\dot{x}^2}{c^2}}}_{L(x, t, \dot{x}, \dot{t})}d\lambda\]

To minimize $S$, we use Euler-Lagrange equation:

\[\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L}{\partial \dot{X^\mu}} = \frac{\partial L}{\partial X^\mu}\]

4-momentum

The canonical momentum for $L$ are:

\[P_t =-mc\frac{\dot t} {\sqrt{\dot t^{2}-\dot{x}^{2}/c^2}}\]

If we let $\lambda = \tau$,

\[\dot{t} = \gamma, \; \dot{x} = \gamma v, \; \sqrt{\dot t^{2}-\dot{x}^{2}/c^2} = 1\]

Hence,

\[P_t = -mc \gamma\]

or alternatively, $P^t = mc\gamma$. Indeed, we have:

\[P^\mu = mU^\mu\]

Conservation Laws

Since $P^\mu$ is the canonical momentum obtained from the Lagrangian, we can use Noether’s law:

\[\sum P^\mu f(\mathbf{x}) \text{ is conserved}\]

Hence we obtain that $P^t$ is conserved under time translation. Hence, $P^0$ is the energy of the system. Matching the dimension, we have $cP^t = E$.

Mass

Consider a free particle moving at velocity $v$. Since 4-momentum is a 4-vector, we can Lorentz transform it to have zero velocity, i.e.

\[P^\mu = \begin{pmatrix} E/c \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Note that $E/c$ is a time-invariant quantity that does not depend on $v$ (since we can always Lorentz transform to an appropriate frame). Thus, this quantity is intrinsic to the system. We thus define this quantity to be the mass. Matching the dimension, we have $m = E/c^2$.

Translation between relativistic unit and standard unit

General rule:

\[t \mapsto ct, \quad v \mapsto v/c\]

Hence, with $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}$ and $\gamma_s = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$,

Relativistic unit	Standard unit
$x’ = \gamma(x - vt)$	$x’ = \gamma_s(x - vt)$
$t’ = \gamma(t - vx)$	$\displaystyle t’ = \gamma_s\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$
$X^\mu = (t, x, y, z)$	$X^\mu = (ct, x, y, z)$
$d\tau^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$	$c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$
$\displaystyle U^\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} = (\gamma, \gamma\dot{x})$	$U^\mu = (c\gamma_s, \gamma_s\dot{x})$

Notes on Field Theory

21 Oct 2026 PDF

Lorentz Force

\[\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})\]

Q) Is this equation Lorentz invariant?

A) Proof by construction of Lorentz invariant Lagrangian: Assume a 4-vector $A_\mu(t, x)$ that encodes all the information about $\mathbf{E}$ and $\mathbf{B}$ in the following way.

\[\begin{align} F_{\mu \nu} &= \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}\]

Convention: $x$ stands for all the spatial coordinates of $X^\mu$.

The following is a scalar including a product of the particle’s position with the field (hence represents the action of interaction):

\[S_{\mathrm{int}}=e\int dX^\mu A_\mu(t, x)\]

The following is the action for a free particle:

\[S_{\mathrm{part}} = \int -m\sqrt{1-\dot{x}^2}dt\]

We thus add the two together to obtain the total action $S = S_{\mathrm{int}} + S_{\mathrm{part}}$. To find the Lagrangian, we rewrite the integral to factor out $dt$, by which we obtain:

\[\mathcal{L} = -m\sqrt{1-\dot{x}^2} + eA_0(t, x) + e\dot{X^n}A_n(t, x)\]

Using Euler-Lagrange, we indeed obtain the equation for relativistic Lorentz force:

\[m \frac{d}{dt}\frac{\dot{X_p}}{\sqrt{1 - \dot{x}^2}} = e(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})_p\]

Or more succintly,

\[m\frac{d^2 X_\mu}{d\tau^2} = e F_{\mu\nu} \frac{dX^\nu}{d\tau}\]

Homogeneous Maxwell Equations

Definition.

\[\begin{align} F_{\mu \nu} &= \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}\]

The above definition yields the following mathematical identities.

\[\begin{gather} \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0 \end{gather}\]

Current density 4-vector

\[\rho = \frac{dQ}{dxdydz}, \, j_x = \frac{dQ}{dydzdt}\]

To write succintly,

\[J^\mu = \frac{dQ}{dxdydzdt}dX^\mu\]

We thus have the following local conservation equation:

\[\partial_\mu J^\mu = 0 \quad \left(\text{i.e. } \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + \nabla \cdot\mathbf{J} = 0 \right)\]

This suggests that the following is a 4-vector.

\[J^\mu = \begin{pmatrix} \rho \\ J_x \\ J_y \\ J_z \end{pmatrix}\]

Indeed, a simple thought experiment proves that $J^\mu$ respects Lorentz transformation, see pg. 412-413 of The Theoretical Minimum: Special Relativity and Field Theory.

Deriving the non-homogeneous Maxwell’s equations

Simple algebra shows that the non-homogeneous equations are equivalent to:

\[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -J^\nu\]

To derive this, we will first set up a Lagrangian that is

1. Lorentz invariant
2. Gauge-invariant
3. Local

First, we adopt the following notation:

\[\partial_\mu \phi = \phi_{,\mu}\]

By locality, the Lagrangian should depend only up to first derivative, i.e.

\[\mathcal{L}(\phi, \phi_{,\mu})\]

To respect gauge invariance, the Lagrangian must be invariant under the following transformation:

\[A_\mu \Rightarrow A_\mu + \frac{\partial S}{\partial X^\mu}\]

where $S$ is a scalar field. Since $F^{\mu\nu}$ is gauge invariant, we are free to use these terms in the Lagrangian, but we are prohibited from using such terms as $A_\mu A^\mu$ (although it is a perfectly fine scalar).

Lagrangian when $\mathbf{J} = 0$

The above considerations lead us to postulate the following Lagrangian:

\[\begin{align} \mathcal{L} &= -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \\ &= -\frac{1}{4}(A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu})(A^{\nu,\mu}-A^{\mu,\nu}) \\ &= \frac{1}{2}(E^2 - B^2) \end{align}\]

To find the eqution of motion, use the Euler-Lagrange equations for field:

\[\frac{\partial}{\partial X^\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{,\mu}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\]

Note that each $\phi$ is a field; since we are dealing with four fields $A_t, A_x, A_y, A_z$, we will obtain a system of four equations, each of them being:

\[\frac{\partial}{\partial X^\nu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu,\nu}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu}\]

Calculating the terms yield:

\[\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial X^\nu} = 0\]

i.e.

\[\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 = J_\mu.\]

Lagrangian when $\mathbf{J} \neq 0$

Q) How should we add $\mathbf{J}$ to the Lagrangian?

A) Although $A^\mu A_\mu$ is not Gauge invariant, $J^\mu A_\mu$ is! Let’s check this fact.

Let the new action be:

\[\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \underbrace{- J^\mu(x)A_\mu(x)}_{\text{new term}}\]

The gauge transform is: \(\mathcal{L}' = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J^\mu(x)\left( A_\mu(x) + \frac{\partial S}{\partial X^\mu} \right)\)

Thus,

\[\begin{align} \Delta S &= \int -J^\mu(x)\frac{\partial S}{\partial X^\mu} d^4x \\ &= \int -\frac{J^\mu(x)}{\partial X^\mu} S \,d^4x \quad(\because \text{partial integral}) \\ &= \int -(\partial_\mu J^\mu)S \,d^4x \\ &= 0 \quad (\because \text{continuity equation}) \end{align}\]

Thus, $\mathcal{L}$ is Gauge invariant. Let us now extract the equation of motion:

\[\frac{\partial}{\partial X^\nu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu,\nu}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu}\]

Since the new term only explicitly depends on $A_\mu$, its effect on LHS is nil. Calculating the RHS, we obtain:

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = -J^\mu\]

Hence,

\[\partial_\mu F^{\mu\nu} = -J^\nu \qquad \blacksquare\]

Notes on Adjoints, Representables, Limits

21 Oct 2026 PDF

Functorialness of Cones

Define the diagonal functor $\Delta : \mathcal{A} \to [ \mathbf{I}, \mathcal{A} ]$, where $\Delta (A) : \mathbf{I} \to \mathcal{A}$ maps every element and map of $\mathbf{I}$ to $A$ and $1_A$, respectively.

We then have,

\[\mathrm{Cone}(A, D) = \hom_{[\mathbf{I}, \mathcal{A}]}(\Delta A, D)\]

Hence, $\mathrm{Cone}(A, D)$ is functorial in $A$ (contravariantly) and $D$ (covariantly).

Limits as Representables

Varying $A$ yields the following theorem:

A limit of $D$ is a representation of $\hom_{[\mathbf{I}, \mathcal{A}]}(\Delta -, D)$.

Varying $D$ yields the following theorem:

Let $\alpha$ be a natural transformation between $D, D’ : \mathbf{I} \to \mathcal{A}$. The limits of $D, D’$ induce $\lim_{\leftarrow I}\alpha : \lim_{\leftarrow I} D \to \lim_{\leftarrow I}D’$ such that,

• (a) commutes
• (c) commutes if (b) commutes

Limits as Adjoints

If $\mathcal{A}$ has all limits of shape $\mathbf{I}$, we can give a second reformulation:

$\lim_{\leftarrow \mathbf{I}} : [\mathbf{I}, \mathcal{A}] \to \mathcal{A}$ is the right adjoint to the diagonal functor $\Delta : \mathcal{A} \to [ \mathbf{I}, \mathcal{A} ]$.

Representables preserve Limits

For a locally small category $\mathcal{S}$ that has products and equalizers, one can construct limits for arbitrary $D: \mathbf{I} \to \mathcal{S}$ by taking the equalizer of the following:

\[\prod_{I \in \mathbf{I}} D(I)\; \substack{\underrightarrow{\;\;s\;\;}\\ \overrightarrow{\;\;t\;\;}} \prod_{I \xrightarrow{u} J} D(J)\]

where $s_u = Du \circ \pi_I$ and $t_u = \pi_J$. In light of this, we have:

\[\mathrm{Cone}(A, D) \cong \lim_{\leftarrow I}\hom_\mathcal{A} (A, D(-))\]

Proof. Since $\hom_\mathcal{A}(A, D(-))$ is a functor into $\mathbf{Set}$, its limit is given by the above formula, which is the set of all families $\big(f_I : A \to D(I)\big)_{I \in \mathbf{I}}$ such that $Du \circ f_I = f_J$, which happens to coincide with $\mathrm{Cone}(A, D)$. ■

Since $\mathrm{Cone}(A, D) \cong \hom_\mathcal{A} (A, \lim D)$, we have

\[\hom_\mathcal{A}\left(A, \lim_{\leftarrow \mathbf{I}} D\right) \cong \lim_{\leftarrow \mathbf{I}} \hom_\mathcal{A} (A, D(-))\]

that is, representables preserve limits.

To dualize the result, note that $\hom_\mathcal{A}(-, A)$ is a contravariant functor from $\mathcal{A}$, and hence a covariant functor from $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$. Hence, $\hom_\mathcal{A}(-, A) : \mathcal{A}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ preserves limits in $\mathcal{A}^\mathrm{op}$, i.e.

\[\hom_\mathcal{A}\left( \lim_{\leftarrow \mathbf{I}^{\rm{op}}} D^{\rm{op}}, A\right) \cong \lim_{\leftarrow \mathbf{I}^{\rm{op}}} \hom_\mathcal{A} (D^{\rm{op}}(-), A)\]

where $D^{\rm{op}}: \mathbf{I}^{\rm{op}} \to \mathcal{A}^{\rm{op}}$. If we dualize $D^\mathrm{op}$ to $D: \mathbf{I} \to \mathcal{A}$, we have $\lim_{\leftarrow \mathbf{I}^{\rm{op}}} D^{\rm{op}} = \lim_{\rightarrow \mathbf{I}} D$.

Hence,

\[\hom_\mathcal{A}\left( \lim_{\rightarrow \mathbf{I}} D, A\right) \cong \lim_{\leftarrow \mathbf{I}} \hom_\mathcal{A} (D(-), A).\]

Note that RHS is limit, not colimit.

Corollary. Left adjoints preserve colimits and right adjoints preserve limits.

Proof. From the definition of adjointness and $\mathrm{Cone}(A, D) \cong \lim \hom_\mathcal{A} (A, D(-)) \cong \hom_\mathcal{A}(A, \lim D)$, we have

\[\begin{align} \hom_\mathcal{A} (A, G(\lim D)) &\cong \hom_\mathcal{B} (F(A), \lim D) \\ &\cong \lim \hom_\mathcal{B} (F(A), D(-)) \\ &\cong \lim \hom_\mathcal{A}(A, GD(-)) \\ &\cong \mathrm{Cone}(A, G\circ D). \end{align}\]

Hence, $G(\lim D)$ represents $\mathrm{Cone}(-, G \circ D)$, i.e. $G(\lim D) \cong \lim G \circ D$. ■

Limits in Functor Categories are Pointwise-computed

Theorem. Let $D: \mathbf{I} \to [\mathbf{A}, \mathcal{S}]$ be a diagram, and that for each $A \in \mathbf{A}$, $D(-)(A) : \mathbf{I} \to \mathcal{S}$ has a limit. Then there exists a cone on $D$ such that its image under $\mathrm{ev}_A$ is a limit cone on $D(-)(A)$ for each $A \in \mathbf{A}$. Moreover, any such cone on $D$ is a limit cone.

Proof. Follows from “Limits as Representables, varying $D$”. Refer to the following diagram.

Corollaries.

1. Limits commute with limits.
2. $\mathrm{ev}_A : [\mathbf{A} , \mathcal{S} ] \to \mathcal{S}$ preserves limits.
3. $よ: \mathbf{A} \to [\mathbf{A}^{\rm{op}}, \mathbf{Set}]$ preserves limits.

Density Theorem

Theorem. Every presheaf is a colimit of representables. More precisely, for $X : \mathbf{A}^{\rm{op}} \to \mathbf{Set}$, $X$ is the colimit of

\[\mathbf{E}(X) \xrightarrow{P} \mathbf{A} \xrightarrow{よ} [\mathbf{A}^{\rm{op}}, \mathbf{Set}].\]

라이프니츠와 정신분석학

18 Oct 2026 PDF

라이프니츠는 모든 참인 명제가 “P는 Q이다”의 형식이라고 보았다. “P는 Q이다”가 참이라는 것은 P의 개념(내포)이 Q를 포함한다는 것이다. 가령 “총각은 남자이다”는 참인데, 총각의 개념은 남자의 개념에 미혼의 개념을 더한 것이기 때문이다.

집합론의 언어를 사용하자면, 라이프니츠식 논리학의 특징은 ∈을 사용하지 않고 ⊆만 사용한다는 것이다(⟨남자⟩ ⊆ ⟨총각⟩)¹. 그런데 이 같은 분석은 전칭판단과 단칭판단의 구별 문제에 봉착한다. 전통적 분류에서 “총각은 남자이다”는 모든 총각에 관한 판단이므로 전칭판단, “소크라테스는 남자이다”는 주어가 단수이므로 단칭판단이다. 그러나 라이프니츠식 논리학에서 두 명제는 ⟨남자⟩ ⊆ ⟨총각⟩, ⟨남자⟩ ⊆ ⟨소크라테스⟩와 같이 분석되므로 전칭판단과 단칭판단의 구별이 붕괴한다.

라이프니츠식 논리학에서 전칭판단과 단칭판단의 구별을 유지할 수 있는 방법이 있을까? 한 가지 제안은 주어가 최종 개념인지 여부에 따라 구별하는 것이다. 최종 개념이란 ⊂에 대한 극대 원소, 즉 더 이상 확장될 수 없는 개념이다. 가령 ⟨총각⟩은 최종 개념이 아닌데, ⟨총각⟩ ⊂ X를 만족하는 X가 존재하기 때문이다(e.g. X = ⟨뉴턴⟩). 반면 ⟨소크라테스⟩는 특정 인물을 유일하게 지칭하므로, 최종 개념인 것으로 보인다.

그러나 이 제안은 곧 난관에 부딪힌다. 우리가 가진 ⟨소크라테스⟩가 정말로 최종 개념인지 불분명하기 때문이다. 우리의 ⟨소크라테스⟩는 “플라톤의 스승이며 독배를 마신 아테네의 철학자” 정도의 내용을 담고 있지만, 그가 플라톤을 사랑했는지는 정하지 않는다. 즉, ⟨소크라테스⟩에 “플라톤을 사랑했음”을 더한 개념과 “플라톤을 사랑하지 않았음”을 더한 개념이 모두 무모순적이므로 ⟨소크라테스⟩는 최종 개념이 아니다.² 나아가 유한한 술어를 아무리 덧붙이더라도 결정되지 않은 술어가 남는다면, ⟨S⟩ ⊂ ⟨S’⟩ ⊂ ⟨S’‘⟩ ⊂ …와 같은 사슬이 무한히 이어지리라는 것 또한 유추할 수 있다. 소크라테스의 개별적 개념은 이 사슬의 극한으로서만 주어진다.

실제로 라이프니츠는 개별적 개념(individual concept; 우리가 “최종 개념”이라고 부른 것에 대응된다)은 무한 지성으로만 파악 가능하다고 보았다. 따라서 라이프니츠에 따르면 우리는 대상을 언제나 “흐릿하게” 파악한다. 그의 표현으로 말하자면, 개체에 대한 우리의 개념은 결코 충전적(adequate)이지 않다. 분석을 끝까지 수행하는 것은 신만이 할 수 있는 일이다.

그러나 라이프니츠의 주장에도 불구하고 우리가 더없이 확실하게 파악하는 개념이 단 하나 있는 것처럼 보인다. 그것은 바로 나의 개념이다. 데카르트의 코기토를 정초하는 ⟨나⟩, 이 세계를 표상하고 수용하는 ⟨나⟩는 나 자신에게 직접적이고 의심할 수 없이 주어진다. 그렇다면 ⟨나⟩라는 개념만큼은 개별적 개념으로 분류해야 하지 않을까?

이 지적에 대해 라이프니츠는 두 가지 방식으로 대응할 수 있을 것이다. 첫 번째는 온건한 태도로, 나 자신에 관한 개념을 유일한 예외로서 허용하는 것이다. 두 번째는 강경한 태도로, 나 자신에 관한 개념조차 개별적 개념이 아니라고 주장하는 것이다. 이것이 라이프니츠 본인의 입장으로³, 그의 근거는 확실성과 충전성의 구별이다. 코기토가 제공하는 것은 내가 존재한다는 사실뿐이며, 내가 무엇인지에 대한 충전적 인식은 아니다. 나는 내가 있다는 것을 의심할 수 없지만, 내가 무엇인지를 끝까지 분석할 수는 없다.

그리고 우리는 나 자신조차 나를 완전히 파악할 수 없는, 이 자기 불투명성의 근대적 이름을 알고 있다. 바로 정신분석학이다. 라이프니츠의 형이상학에서 나의 분석은 나에 의해서가 아닌 신에 의해서만 가능하다. 정신분석학에서 환자의 분석은 환자에 의해서가 아닌 분석가에 의해서만 가능하다. 분석가는 신이 아니므로 최종 분석에 도달하지 못하며, 분석은 어느 시점에서 임의로 종료될 수밖에 없다는 점이 다를 뿐이다.⁴ 개별적 개념에 대한 라이프니츠의 통찰에서, 우리는 분석의 대상과 분석을 수행하는 주체를 분리함으로써 자아의 분열과 불안을 집요하게 파고드는 정신분석학의 단초를 엿볼 수 있는 것이다.

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Leibniz and Psychoanalysis

18 Oct 2026 PDF

Leibniz held that every true proposition has the form “P is Q”, which is true iff the concept (intension) of P contains Q. For instance, “Bachelors are men” is true because the concept of bachelor includes the concept of man (along with the concept of unmarried).

In set-theoretic terms, the hallmark of Leibnizian logic is that it uses only ⊆ and no ∈ (⟨man⟩ ⊆ ⟨bachelor⟩¹). This analysis, however, runs into the problem of distinguishing universal from singular judgments. On the traditional classification, “Bachelors are men” is a universal judgment, since it concerns all bachelors, while “Socrates is a man” is a singular judgment, since it concerns a single individual. In Leibnizian logic, however, the two propositions are analyzed as ⟨man⟩ ⊆ ⟨bachelor⟩ and ⟨man⟩ ⊆ ⟨Socrates⟩ respectively, and the distinction between universal and singular judgments collapses.

Is there a way to preserve this distinction within Leibnizian logic? One proposal is to draw it according to whether the subject is a final concept. Let us call a concept final if it is maximal with respect to ⊂. For instance, ⟨bachelor⟩ is not a final concept, since there exists an X such that ⟨bachelor⟩ ⊂ X (e.g. X = ⟨Newton⟩). ⟨Socrates⟩, by contrast, picks out a unique individual, and so appears to be a final concept.

However, this proposal soon meets a difficulty, for it is unclear whether the concept ⟨Socrates⟩, as we understand it, really is a final concept. Our ⟨Socrates⟩ amounts to something like “the Athenian philosopher who taught Plato and drank the hemlock”, but it does not settle whether he loved Plato. That is, the concept obtained by adding “loved Plato” to ⟨Socrates⟩ and the one obtained by adding “did not love Plato” are both consistent, so ⟨Socrates⟩ is not a final concept.² Moreover, if some predicates remain undetermined no matter how (finitely) many predicates we add, it follows that endless chains such as ⟨S⟩ ⊂ ⟨S′⟩ ⊂ ⟨S″⟩ ⊂ … exist. The individual concept of Socrates is given only as the limit of such a chain.

Indeed, Leibniz held that individual concepts (which correspond to what we have called “final concepts”) can be grasped only by an infinite intellect. Thus, according to Leibniz, we always grasp objects “dimly” — our concepts of individuals are never adequate. Only God can carry the analysis through to the end.

Yet despite Leibniz’s claim, there seems to be one concept that we grasp with the utmost certainty: the concept of the I. The ⟨I⟩ that grounds Descartes’s cogito, the ⟨I⟩ that represents and receives this world, is given to me immediately and indubitably. Then is not the concept ⟨I⟩, at least, an individual concept?

Leibniz could respond to this objection in two ways. The first is a moderate stance in which the concept of oneself is admitted as the sole exception. The second is a radical stance. Even ⟨I⟩ is not an individual concept, in the sense that I cannot grasp it adequately. The latter is Leibniz’s own position,³ and it rests on the distinction between certainty and adequacy. What the cogito provides is only the knowledge of my existence, not of what I am. I cannot doubt that I am, but I cannot analyze what I am to the end.

And we know the name of the discipline that concerns itself with this self-opacity, in which I do not grasp myself: psychoanalysis. In Leibniz’s metaphysics, the analysis of ⟨I⟩ is possible not by me, but only by God. In psychoanalysis, the analysis of the patient is possible not by the patient, but only by the analyst — modulo the difference that the analyst, not being God, never reaches the final analysis.⁴ Thus in Leibniz’s doctrine of individual concepts, we can glimpse the germ of psychoanalysis, which, by separating the object of analysis from the subject who performs it, probes relentlessly into the division and anxiety of the self.

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우주 검열 가설의 초월론적 성격에 관하여

17 Oct 2026 PDF

우주 검열 가설을 굉장히 간략히 소개하자면, “관측 가능한 우주는 인과율을 따른다”는 원리이다.

여기서의 관측 가능성은 상대론적 의미로, 시공간의 특정 지점에서 발신한 광신호가 충분한 시간 이후 관측될 수 있다면 그 지점은 관측 가능하다. 예를 들어 안드로메다 은하는 관측 가능하지만 — 안드로메다 은하와 지구의 거리는 250만 광년이므로 안드로메다 은하에서 발신한 광신호는 250만 년 이후 관측될 것이다 — 블랙홀의 “사건의 지평선” 내부는 관측 불가능하다. 사건의 지평선 내부에서 발신된 광신호는 특이점 안으로 “빨려” 들어가기 때문이다.

그러나 위 문단의 소개가 “굉장히 간략한” 소개에 그치는 이유는, 관측 가능성과 인과율이 무엇을 의미하는지를 수학적/형식적으로 엄밀히 정의하는 것이 말도 안 되게 어려운 작업임이 드러났기 때문이다. 이 작업은 Hawking, Ellis, Wald 등에 의해 이루어졌는데, 대충 다음과 같다. (안 읽어도 된다)

시공간 $(M, g)$에 대해, $\tilde M$ 안에 $\overline{J^-(\mathscr{I}^+) \cap M}$를 포함하는 열린 집합 $\tilde V$가 존재하고 $(\tilde V, \tilde g)$가 대역적 쌍곡이라면, $(M, g)$가 강하게 점근적 예측가능하다고 하자.

가설. 적절한 물질장(e.g. 무한한 에너지나 음의 에너지를 갖는 물질이 없다)을 가지며 특이점이 없고 점근적으로 평탄한 초기 데이터 $(Σ, h, K)$에 대해, 그 최대 코시 전개 $(M, g)$는 강하게 점근적 예측가능하다.

하지만 이 가설의 반례가 Christodoulou에 의해서 발견되었다. 결론: 우주 검열 가설은 틀렸다.

…로 논의가 끝났을 리는 없다. Christodoulou 자신을 비롯한 이후 물리학자들은 이 반례 우주가 굉장히 불안정하다는 사실을 지적했다. 충분한 안정성 조건을 추가한다면 우주 검열 가설을 성립시키는 것은 여전히 가능할지 모른다.

그런데 여기서 우리는 한 가지 미래의 가능성을 그려 봄 직하다. 안정성 조건 A가 추가된 우주 검열 가설이 제시되었는데, 이후 어떤 물리학자가 A까지 만족하는 반례를 발견했다면 어떨까? 그제야 우주 검열 가설은 기각될까?

필자의 생각으로는 그렇지 않다. 아마 안정성 조건 B가 추가된 우주 검열 가설이 새로 제시될 것이다. 그런데 B까지 만족하는 반례도 곧 발견된다면? 그러면 안정성 조건 C도 추가된 우주 검열 가설이 제시될 것이고, 어쩌고저쩌고…

분명 이것은 우리가 여타 과학 이론을 대하는 태도와 다르다. 보통의 경우, 어떤 이론(e.g. 플로지스톤설)의 반례가 발견될 경우 초기에는 반례를 수용할 수 있도록 이론이 완화/수정되지만(음의 플로지스톤), 반례가 너무 많이 쌓이면 기존의 이론은 기각되고 새로운 이론(산소설)이 채택된다.

그러나 우주 검열 가설의 경우에는 — 적어도 필자의 직관으로는 — 아무리 반례가 많이 등장하더라도 끊임없이 수정이 가해질지언정 결코 완전히 기각되지는 않을 것으로 생각된다. 그리고 만약 이 직관을 인정한다면, 우주 검열 가설의 문제는 더 이상 이 가설이 참이냐 아니냐의 문제가 아닌 것으로 보인다. 우주 검열 가설은 선험적(a priori)으로 참이어야만 한다. 왜냐하면 우주 검열 가설은 인과율의 우주론적 형식화와 다름이 없으며, 인과율은 물리학적 탐구를 가능하게 하는 초월론적 조건에 다름 아니기 때문이다. 그러므로 우리가 해야 하는 일은 우주 검열 가설이 참이 되도록 하는 조건을 명확하게 규정하는 것이다.

따라서 물리학자들이 앞으로 발견될 반례에 대해 우주 검열 가설을 기각하기보다 우주 검열 가설을 완화하는 방식으로 대응하리라는 생각은, 마치 칸트주의자들이 비유클리드 기하학이라는 “반례”에 대해 시공간의 선험적 직관 형식을 기각하기보다 이 직관 형식의 경직성을 완화하는 방식으로 대응했던 것과 궤를 같이하는 것이 아닐까? 이는 철학사와 과학사의 흥미로운 교차점이 될 수 있다고 필자는 생각한다.

On the Transcendental Nature of the Cosmic Censorship Hypothesis

17 Oct 2026 PDF

To put it very briefly, the cosmic censorship hypothesis is the principle that the observable universe obeys causality.

Observability here is meant in the relativistic sense: a point in spacetime is observable if a light signal emitted from it can be observed after a sufficient amount of time. For instance, the Andromeda Galaxy is observable — since it lies 2.5 million light-years from Earth, a light signal emitted from Andromeda will be observed 2.5 million years later — whereas the interior of a black hole’s “event horizon” is not. A light signal emitted inside the event horizon gets “sucked” into the singularity.

The reason the paragraph above is only a “very brief” introduction is that defining, with mathematical and formal rigor, what observability and causality mean has turned out to be a ridiculously difficult task. This work was carried out by Hawking, Ellis, Wald, and others, and it goes roughly as follows. (Feel free to skip it.)

Given a spacetime $(M, g)$, if there exists an open set $\tilde V$ in $\tilde M$ containing $\overline{J^-(\mathscr{I}^+) \cap M}$ such that $(\tilde V, \tilde g)$ is globally hyperbolic, we say that $(M, g)$ is strongly asymptotically predictable.

Conjecture. For nonsingular, asymptotically flat initial data $(\Sigma, h, K)$ with suitable matter fields (e.g. no matter with infinite or negative energy), the maximal Cauchy development $(M, g)$ is strongly asymptotically predictable.

But a counterexample to this conjecture was found by Christodoulou. Conclusion: the cosmic censorship hypothesis is false.

…Of course, the discussion could hardly have ended there. Physicists, Christodoulou himself among them, pointed out that this counterexample universe is extremely unstable. Perhaps, by adding a sufficiently strong stability condition, the cosmic censorship hypothesis can still be made to hold.

Here, though, we might imagine a possible future. Suppose a version of the hypothesis with stability condition A is proposed, and later some physicist finds a counterexample that satisfies even A. Would the cosmic censorship hypothesis then, at last, be rejected?

I don’t think so. A new version with stability condition B would probably be proposed instead. And if a counterexample satisfying even B were soon found? Then a version with stability condition C would be proposed, and so on and so forth…

This is clearly different from how we treat other scientific theories. Ordinarily, when counterexamples to a theory (e.g. phlogiston theory) are found, the theory is at first loosened or modified to accommodate them (phlogiston with negative mass), but once too many counterexamples pile up, the old theory is rejected and a new one (oxygen theory) is adopted.

In the case of the cosmic censorship hypothesis, however — at least by my intuition — no matter how many counterexamples arise, it would be revised again and again but never rejected outright. And if we grant this intuition, the question about the cosmic censorship hypothesis no longer seems to be whether it is true or false. The cosmic censorship hypothesis must be true a priori. For the hypothesis is nothing other than the cosmological formalization of causality, and causality is nothing other than a transcendental condition that makes physical inquiry possible. What we must do, then, is to specify precisely the conditions under which the cosmic censorship hypothesis comes out true.

So might not the expectation that physicists will respond to future counterexamples by relaxing the hypothesis rather than rejecting it run parallel to the way Kantians responded to the “counterexample” of non-Euclidean geometry by relaxing the rigidity of the pure form of spatiotemporal intuition rather than rejecting it? I think this could be an interesting case where the history of philosophy and the history of science intersect.