자기지시적 문장의 세 유형

30 Sep 2026

이 짧은 글에서 나는 자기지시적 문장을 세 유형으로 분류하고, 이 분류를 바탕으로 역설적 자기지시 문장(예: “이 문장은 거짓이다”)과 실질적 자기지시 문장(예: “이 문장은 증명 불가능하다”)을 구별하는 설명을 개략적으로 제시하고자 한다. 세 유형은 다음과 같다.

1. 물리적 자기지시: 문장이 물리적 대상으로서 지시된다. 따라서 그 문장은 색깔, 너비, 위치 등의 물리적 속성에 의해서, 그리고 오직 물리적 속성에 의해서만 서술될 수 있다.
2. 구문론적 자기지시: 문장이 구문론적 대상으로서 지시된다. 따라서 그 문장은 문법성, 단어 수, 증명가능성 등의 구문론적 속성에 의해서, 그리고 오직 구문론적 속성에 의해서만 서술될 수 있다.
3. 의미론적 자기지시: 문장이 의미론적 대상으로서 지시된다. 따라서 그 문장은 참·거짓, 유의미성, 동의성 등의 의미론적 속성에 의해서, 그리고 오직 의미론적 속성에 의해서만 서술될 수 있다.

각 유형의 예는 다음과 같다.

1. 이 문장은 검은색으로 표시되어 있다.
2. 이 문장은 열세 글자로 되어 있다.
3. 이 문장은 참이다.

1과 2는 참인 반면, 3에는 뚜렷한 진리치가 없다. 이 글의 논제는 오직 물리적으로 또는 구문론적으로 자기지시하는 문장만이 진리조건을 가지며, 따라서 “실질적”이라는 것이다. “실질적” 자기지시 문장의 대표적인 예인 괴델 문장이 구문론적으로 자기지시한다는 점에 주목하라. 증명가능성은 형식적 개념이기 때문이다.

어떤 자기지시 문장이 어느 유형에 속하는지는 사용된 술어의 유형으로부터 추론할 수 있다. 이 점은 ‘문장’이라는 개념의 중의성을 해소하면 더욱 분명하게 드러난다. 물리적·구문론적·의미론적 대상으로서의 문장을 각각 표기물·기호열·명제라고 부르자. 그러면 위의 예들을 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

4. 이 표기물은 검은색으로 표시되어 있다.
5. 이 기호열은 열세 글자로 되어 있다.
6. 이 명제는 참이다.

5가 거짓이라는 점에 주목하라. 이는 예상된 결과이다. ‘문장’과 ‘기호열’은 구문론적으로 서로 다르며, 따라서 2와 5의 주어는 구문론적으로 구별되기 때문이다.

이 분류는 유형-개별자 구별과 같은 추가적인 고려를 통해 더 정교해질 수 있지만(예컨대 “이 문장은 괄호 안에 있다”는 개별자로 보면 참이지만 유형으로 보면 거짓이다), 여기서는 단순성을 위해 이를 다루지 않겠다.

이 분류의 요점은, 합성적 의미론의 틀 안에서 작업하는 한 의미론적으로 자기지시하는 문장은 진리치를 결여한다는 것이다. 6의 진리조건을 결정하려면 그 주어의 진리조건이 필요하다. 그런데 그 주어는 6 자체이므로 우리는 무한퇴행에 빠진다. 이를 다음의 무해한 예와 대조해 보자.

7. 눈은 희다.
8. 위의 명제는 참이다.

8의 진리조건을 결정하려면 그 주어의 진리조건이 필요하다. 주어는 7이며, 7의 진리조건은 눈이 희다는 것으로 주어진다. 이 조건이 성립하므로 7은 참이고, 따라서 8도 참이다.

요약하자면, 물리적·구문론적으로 자기지시하는 문장이 정당한 것은 “이 문장”의 재귀가 단 한 번만 작동하기 때문이다. 즉 재귀의 깊이가 1이다. 이 일차 재귀는 더 이상 자기재귀를 하지 않는 “휴면” 상태의 문장을 반환한다. 이는 재귀가 정초적(well-founded)이지 않은 의미론적 자기지시 문장과 대조된다.

이 글을 가능한 한 짧게 유지하고 싶었으므로, 주목할 만한 한 가지 점을 간략히 스케치하며 마무리하겠다. 구문론과 의미론의 경계가 항상 분명한 것은 아니다. 어떤 형태의 규약주의는 이 구별을 구문론 쪽으로 붕괴시키는 것처럼 보인다. 그러한 그림에서 적절하게 형성된 문장은, 관련 증거를 입력받아 참 또는 거짓 중 하나에서 정지하는 형식적 자동기계에 비견될 수 있다. 이 유비를 따르면, 거짓말쟁이 역설은 정지하지 않는 자동기계가 될 것이다.

Three Types of Self-referential Sentences

30 Sep 2026

* All em-dashes in this essay are human-generated.

In this short essay I’ll classify the three types of self-referential sentences and employ this classification to sketch an explanation that sets apart paradoxical self-referential sentences (e.g. “This sentence is false”) from innocuous self-referential sentences (e.g. “This sentence is not provable”). The three types are as follow:

1. Physically self-referring: The sentence is referred to as a physical entity. Thus it can be predicated by, and only by, physical properties such as color, width, location, etc.
2. Syntactically self-referring: The sentence is referred to as a syntactic entity. Thus it can be predicated by, and only by, syntactic properties such as grammaticality, word count, provability, etc.
3. Semantically self-referring: The sentence is referred to as a semantic entity. Thus it can be predicated by, and only by, semantic properties such as truth-falsity, meaningfulness, synonymity, etc.

Here are the examples for each type:

1. This sentence is shown in black.
2. This sentence has thirty five characters.
3. This sentence is true.

1 and 2 are true, while 3 lacks apparent truth-value. The thesis of this essay is that only physically and syntactically self-referring sentences have truth-conditions, and thus are “innocuous”. Note that the Gödel sentence, the prime example of an innocuous self-referential sentence, is syntactically self-referring, for provability is a formal notion.

To which type a self-referential sentence belongs can be inferred from the type of predicate used. This may be brought out even more clearly by disambiguating the notion of sentence. Let us call sentences as physical / syntactic / semantic entities, markings / strings / propositions, respectively. We thus rewrite the above examples as follows:

4. This marking is shown in black.
5. This string has thirty five characters.
6. This proposition is true.

Note that 5 is false. This is expected, since ‘sentence’ and ‘string’ are syntactically distinct, hence the referent of the subject in 2 and 5 are distinct.

This classification may be made more elaborate by further considerations such as the type-token distinction (e.g. “This sentence is inside parentheses” is true if token-wise but false type-wise), but I will not be concerned with them here for simplicity.

The upshot of the classification is that semantically self-referring sentences lack truth value insofar as one operates with compositional semantics. To determine the truth-condition of 6, the truth-condition of its subject is required. Yet the subject is 6 and we end in a regress. Contrast this with an innocuous example:

7. Snow is white.
8. The above proposition is true.

To determine the truth-condition of 8, the truth-condition of its subject is required. The subject is 7 and its truth-condition is given as snow being white. Since this condition holds, 7 is true and so is 8.

To summarize, physically and syntactically self-referring sentences are legitimate since the recursiveness of “this sentence” is effective only once — the depth of recursion is 1. This primary recursion returns a “dormant” version of the sentence with no further self-recursion. This contrasts with semantically self-referring sentences, in which the recursion is not well-founded.

I wanted to keep this essay as short as possible. The primary aim of this essay is time-killing and the secondary to break off from the compulsion that one shouldn’t start writing unless one has done all the fastidious research. So let me just conclude with a brief sketch on some noteworthy points.

First, I am aware that this account comes close to throwing away some seemingly innocuous self-referential sentences, such as:

9. This sentence is such that its subject phrase refers to a sentence.

Since reference is a semantic notion, by the above account 9 has no truth-condition. Yet 9 seems to be intuitively true. I have a rough idea of how to deal with such cases, by an analogy to the famous sentence by Quine:

10. Giorgione was so-called because of his size.

Here the name ‘Giorgione’ features both as a syntactic entity (a name with certain characters) and a semantic entity (a name that refers to a certain painter). I think a similar mechanism is at play in 9, which eludes the simple three-way classification given in this essay. I am still optimistic that a careful analysis will render 9 as non-problematic.

Second, I am aware that the line between syntax and semantics is quite muddy. For example, whether truth (or truth-predicate) is a semantic or a syntactic notion is unclear. I personally am skeptical towards the cognitive necessity of formal, syntactic constructions of truth predicates (both typed and type-free). I think they should be left properly in the realm of semantics.

Another alternative is to collapse the distinction between syntax and semantics altogether. Some forms of conventionalism seem to do just this. In such pictures, a properly formed sentence is comparable to a quasi-automaton that, relative to relevant evidences, halts with an output of either “true” or “false”. Following this analogy, the Liar paradox would be a non-halting automaton.

Finally, I am aware that similar (identical?) points have been made by various philosophers, notably Kripke’s theory of “groundedness”, and this is part of the reason why I kept this essay short — it is an archive of rough ideas that I had before I seriously engage with related literature.

To read:

• Herzberger, H., ‘Paradoxes of grounding in semantics’, Journal of Philosophy 68 (1970), 145.

• Kripke, S., ‘Outline of a theory of truth’, Journal of Philosophy 72 (1975), 690.

• Yablo, S. Grounding, dependence, and paradox. J Philos Logic 11, 117–137 (1982).

거짓말쟁이 다리 이야기

28 Sep 2026

어느 날 길을 걷다가 아들이 새빨간 거짓말을 하자 아버지가 이제 ‘거짓말쟁이 다리’를 건널 거라며 잔뜩 겁을 준다. “이 다리는 거짓말쟁이가 건너면 반드시 무너진단다.” 오싹한 경고를 들은 아들은 거짓말을 실토하고 진실을 털어놓는다. 아버지는 만족하며 아들과 함께 다리 위로 올랐다. 그 순간, 다리가 아버지의 발밑에서 무너졌다. 아버지가 거짓말을 했기 때문이다. 거짓말쟁이 다리 같은 것은 없으니 말이다.

더글러스 호프스태터, ⟪사고의 유희⟫ (노승영 역)에서 발췌. 해당 우화는 18세기 독일인 크리스티안 겔레르트가 지은 <농부와 아들>이 원본이며, 네덜란드의 수학자 한스 프로이덴탈에 의해 각색되었다.

The Liar's Bridge

28 Sep 2026

One day, while they were walking along a road, the son told a blatant lie, so his father frightened him by saying that they were about to cross the “Liar’s Bridge.” “This bridge always collapses when a liar crosses it.” After hearing this chilling warning, the son confessed his lie and told the truth. Satisfied, the father stepped on the bridge with his son. At that moment, the bridge collapsed beneath the father’s feet. It was because the father had lied — for there is no such thing as a Liar’s Bridge.

Excerpted from Douglas Hofstadter’s Metamagical Themas. The original version of this fable was “The Farmer and His Son,” written by the eighteenth-century German author Christian Gellert; it was adapted by the Dutch mathematician Hans Freudenthal.

큰 수의 법칙은 경험적인가 선험적인가?

12 Jun 2026

큰 수의 법칙은 확률론의 가장 유명한 정리 중 하나로, 보통 다음과 같이 소개된다.

통상적으로 소개되는 큰 수의 법칙. 기댓값이 $\mu$인 확률변수를 반복적으로 관측할 때, 관측값들의 평균은 시행 횟수가 커질수록 $\mu$에 가까워진다.

이는 “경험적 확률은 수학적 확률로 수렴한다”, 또는 “통계는 집단이 커질수록 정확해진다” 등의 표어로도 소개된다.

그러나 이들 소개에는 이상한 점이 있다. 이들 소개에 따르면 큰 수의 법칙은 경험의 영역과 수학의 영역을 연결하는 다리이다. 그러나 큰 수의 법칙은 순수 수학의 정리이다. 그렇다면 순수 수학의 정리가 어떻게 우리에게 경험적 사실을 알려줄 수 있을까? 이는 마치 순수 이성만으로 세계에 관한 지식을 얻을 수 있다고 주장한 근대 합리론자들을 연상시키며, 굉장히 미심쩍다.

이 점은 귀납에 관한 수수께끼라는 철학의 유명한 논제를 통해 더욱 명확히 드러낼 수 있다. 흄은 귀납법의 정당성이 자기순환적이라는 사실을 지적한 바 있다. 귀납법의 핵심은 과거에 관측된 규칙성이 미래에도 성립할 것이라는 전제이다. 이것을 시간의 균등성 전제라고 부르자. 그러나 이 전제를 우리가 받아들이는 이유는 그것이 과거부터 줄곧 유효했기 때문이라는 사실에 다름 아니다. 즉 우리는 귀납법의 전제를 귀납적으로 정당화할 수밖에 없다. 이로부터 흄은 귀납법이 선험적·필연적 법칙이 아닌, 인간의 심리적 본성으로부터 비롯되는 사고 습관이라고 결론 내렸다.

흄의 논증은 미래에 대한 진술의 참은 항상 우연적이라는 관찰에 기반한다. 갑자기 우주의 모든 물리 법칙이 바뀌는 것과 같은 극단적 비균등성이 논리적으로 가능하기 때문이다. 따라서 흄에 따르면 “사건들의 기댓값이 특정 값으로 수렴할 것이다”라는 진술 또한 기껏해야 우연적인 참이다. 그러나 이것은 큰 수의 법칙에 다름 아니며, 큰 수의 법칙은 수학 정리이므로 그것의 참은 선험적·필연적이다.

그렇다면 흄이 틀린 것일까? 당연히 그렇지는 않다. 문제는 큰 수의 법칙에 대한 통상적인 소개가 적절치 않다는 것이다. 큰 수의 법칙의 정확한 진술을 살피면 어디에도 “시행”이나 “관측”이나 “경험”에 대한 진술이 없음을 알 수 있다.

정리. 확률공간 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 위에 확률변수들의 열 $X_1, X_2, \cdots: \Omega \to E \; (E = \mathbb{R})$가 독립동일분포_{independent and identically distributed; iid}이며, $E[X_n] = \mu < \infty$라고 하자. 다음이 성립한다.

• 약한 큰 수의 법칙. 임의의 $\epsilon > 0$에 대해,

\[\mathbb{P}\left( \left\{ \omega \in \Omega: \left| \frac{1}{n} \sum^n_{k=1}X_k(\omega) - \mu \right| > \epsilon \right\} \right) \to 0.\]

• 강한 큰 수의 법칙.

\[\mathbb{P}\left( \left\{ \omega \in \Omega: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum^n_{k=1}X_k(\omega) = \mu \right\} \right) = 1.\]

그렇다면 “큰 수의 법칙”을 “경험적 확률은 수학적 확률로 수렴한다”라고 해석하는 것은 어디서 유래하는 것일까? 문제의 핵심은 독립동일분포라는 표현에 있다. 어떤 두 확률변수 $X, Y: \Omega \to E$가 독립동일분포라는 것은 $X$와 $Y$의 분포가 동일하고(즉, 임의의 $e \in E$에 대해 $\mathbb{P}(X = e) = \mathbb{P}(Y = e)$), 임의의 $x, y \in E$에 대해 다음이 성립하는 것이다(편의상 $E$가 이산이라고 전제).

\[\begin{align} &\mathbb{P}(\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x \land Y(\omega) = y \}) \\ &= \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega: X(\omega) = x\}) \cdot \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega: Y(\omega) = y\}) \end{align}\]

가령 두 개의 동전을 던질 때, 첫 번째 동전에서 앞면이 나올 확률과 두 번째 동전에서 앞면이 나올 확률이 $p$로 같으며, 첫 번째 동전의 결과가 두 번째 동전의 결과에 영향을 주지 않을 때, 두 동전은 독립동일분포로 이해할 수 있다.

또다른 예시로, 똑같은 동전을 연달아 던질 때 각각의 시행은 독립동일분포로 가정하는 것이 자연스럽다. 매 시행에서 동전이 앞면이 나올 확률은 $p$로 같으며, 과거의 시행은 미래에 영향을 주지 않기 때문이다. 그리고 이 가정이 성립한다면, 큰 수의 법칙에 의해 $N$번의 시행 중 앞면이 나온 횟수는 $N$이 커질수록 $pN$에 수렴할 것이다.

문제는, 실제 세계에서는 주어진 통계적 시행들이 독립동일분포인지를 결코 확실히 알 수 없다는 것이다. 바로 이것이 흄이 지적한 바이다. 앞선 예시와 같이 똑같은 동전을 연달아 던지는 것조차 독립동일분포가 되리라 확신할 수 없다. 왜냐하면 동전을 던지던 도중 갑자기 우주의 물리 법칙이 뒤바뀌어 앞면이 나올 확률이 100%가 될 수도 있기 때문이다.

결국 똑같은 동전을 연달아 던지는 것이 독립동일분포라고 주장하기 위해서는 다름아닌 시간의 균등성 전제가 필요하다. 일반적으로, 큰 수의 법칙을 “경험적 확률은 수학적 확률로 수렴한다” 등과 같이 해석하는 것은 암암리에 시간의 균등성 전제를 가정한다. 그러나 시간의 균등성 전제는 순수 수학이 아닌 물리학 내지 형이상학에 속한다. 이것을 도식적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

큰 수의 법칙(수학/선험적) + 시간의 균등성 전제(물리학 내지 형이상학/경험적) ⇒ 통상적으로 소개되는 큰 수의 법칙(경험적)

따라서 큰 수의 법칙을 둘러 싼 오해는 순수 수학의 정리와 형이상학적 전제가 불분명하게 뒤섞인 데 있다. 필자 또한 이런 이유로 학창 시절에 큰 수의 법칙을 이해하는 데 어려움이 있었던지라 모처럼 글로 정리해 보았다.

Is the Law of Large Numbers empirical or a priori?

12 Jun 2026

The Law of Large Numbers is one of the most celebrated theorems in probability theory and is usually presented as follows.

Commonly presented form of the Law of Large Numbers. When a random variable with expectation $\mu$ is observed repeatedly, the sample mean of the observations approaches $\mu$ as the number of trials increases.

This is often summarised by slogans such as “empirical probability converges to mathematical probability” or “statistics become more accurate as sample size grows”.

There is, however, a puzzling aspect to such presentations. They suggest that the Law of Large Numbers bridges the realm of experience and the realm of mathematics. Yet the law itself is a theorem of pure mathematics. How, then, can a theorem of pure mathematics tell us anything about empirical facts? The suggestion is reminiscent of early modern rationalists who claimed that pure reason alone yields knowledge of the world, which is a strikingly dubious claim.

The issue can be clarified via the well-known philosophical riddle concerning induction. Hume observed that the justification of induction is circular. Induction rests on the assumption that regularities observed in the past will persist into the future; call this the uniformity of time assumption. We accept this assumption only because it has held in the past. In other words, we can justify the principle of induction only inductively. Hume therefore concluded that induction is not an a priori, necessary law but a habit of mind arising from human psychology.

Hume’s argument rests on the observation that statements about the future are always contingently true: extreme forms of temporal non-uniformity, such as a sudden, universal change of physical laws, are logically possible. Hence, on Hume’s view, the claim that “the expectations of events will converge to a particular value” is at best contingently true. Yet that claim is precisely the Law of Large Numbers, and the Law of Large Numbers, as a mathematical theorem, is a priori and necessary.

Does this mean Hume was wrong? Of course not. The problem lies in the usual presentation of the Law of Large Numbers. A careful reading of the actual theorem shows that it contains no assertions about “trials” or “observations”.

Theorem. Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $X_1, X_2, \ldots: \Omega \to E \; (E = \mathbb{R})$ be a sequence of random variables that are independent and identically distributed (iid) with $E[X_n] = \mu < \infty$. Then the following hold.

• Weak Law of Large Numbers. For every $\epsilon > 0$,

\[\mathbb{P}\left( \left\{ \omega \in \Omega: \left| \frac{1}{n} \sum^n_{k=1}X_k(\omega) - \mu \right| > \epsilon \right\} \right) \to 0.\]

• Strong Law of Large Numbers.

\[\mathbb{P}\left( \left\{ \omega \in \Omega: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum^n_{k=1}X_k(\omega) = \mu \right\} \right) = 1.\]

So where does the interpretation “empirical probability converges to mathematical probability” come from? The key is the phrase “independent and identically distributed”. Two random variables $X, Y: \Omega \to E$ are said to be independent and identically distributed when their marginal distributions coincide and, for any $x,y \in E$, (assuming for simplicity that $E$ is discrete) the following holds:

\[\begin{align} &\mathbb{P}(\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x \land Y(\omega) = y \}) \\ &= \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega: X(\omega) = x\}) \cdot \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega: Y(\omega) = y\}). \end{align}\]

For example, when tossing two coins, if the probability of heads on the first coin and on the second coin is $p$ and the outcome of the first toss does not influence the outcome of the second, then the two tosses may be modelled as independent and identically distributed.

Another example is successive tosses of the same coin. It is natural to model them as iid, for each toss has the same probability $p$ of heads, and past tosses do not affect future ones. If this assumption holds, the Law of Large Numbers implies that the number of heads in $N$ tosses will be close to $pN$ for large $N$.

The problem is that, in the actual world, we can never know with certainty that a given sequence of trials is iid. This is precisely Hume’s point. Even successive tosses of the same coin cannot be guaranteed to be iid: the physical laws governing the coin might suddenly change so that heads occurs with probability 1.

Hence the claim that successive tosses are iid assumes the uniformity of time. In practice, interpreting the Law of Large Numbers as “empirical probability converges to mathematical probability” implicitly assumes the uniformity of time. Yet the uniformity of time is not a theorem of pure mathematics but an assumption from physics or metaphysics. We may express this schematically:

Law of Large Numbers (mathematics / a priori) + uniformity of time assumption (physics or metaphysics / empirical) ⇒ Commonly presented Law of Large Numbers (empirical)

Thus the misunderstanding surrounding the Law of Large Numbers arises from an ambiguous mixing of a mathematical theorem with a metaphysical assumption. I too found the law difficult to understand as a student for precisely this reason, so I have written this post to clarify the point.

섹션의 의미에 관한 노트

14 May 2026

유형론에서 섹션_section이라는 용어는 두 가지 의미로 등장한다.

정의. 사상 $r: B \to A$과 $s: A \to B$가 $rs \sim \mathrm{id}_A$를 만족한다면 $s$를 $r$의 섹션이라고 하고, $r$을 $s$의 리트랙트라고 한다. 즉, 다음과 같이 정의한다.

\[\begin{gather} \mathrm{sec}(r) := \sum_{s': A \to B} rs' \sim \mathrm{id}_A\\ \mathrm{ret}(s) := \sum_{r': A \to B} r's \sim \mathrm{id}_B \end{gather}\]

정의. $B$가 $A$에 대한 유형족_{type family}이라고 하자. $x: A$가 주어졌을 때 $b(x): B(x)$라면, $b$를 $B$의 섹션이라고 부른다.

두 가지 의미의 섹션은 연관돼 있다. 첫 번째 정의를 기하학적으로 해석하면, 섹션 $s: A \to B$는 공간 $A$를 공간 $B$에 한 단면으로서 포함시키는 사상이며, 그에 대응되는 리트랙트 $r: B \to A$는 공간 $B$를 공간 $A$로 투영하는 사상이다. 이로부터 몇 가지 사실을 고찰할 수 있다.

• 일반적으로, “확대 후 축소”는 원 공간의 관계를 보존하지만 “축소 후 확대”는 보존하지 않는다. 이는 $r, s$가 리트랙트-섹션 관계일 때, $rs \sim \mathrm{id}_A$이지만 일반적으로 $sr \sim \mathrm{id}_B$이지는 않음을 시사한다.

• 섹션은 각 $a: A$에 대해 $r$의 $a$-섬유_fiber에서 한 점을 선택한다. 이는 도형의 $z$-등고면은 각각 특정한 $z$-좌푯값의 선택과 같은 것으로 이해할 수 있다.

• 그림에서 섬유는 한 가닥의 실처럼 보이며, 이것은 “섬유”라는 이름의 유래이다.

한편 $b$가 $A$에 대한 유형족 $B$의 섹션일 때, $b$는 각 $a: A$에 대해 $b(a): B(a)$를 선택한다. 여기서 $B(a)$는 $\mathrm{pr}_1: \sum_{x: A}B(x) \to A$의 $a$-섬유와 자연스럽게 동치이다. 따라서 $b$가 $B$의 (두 번째 의미에서의) 섹션일 때, $\lambda x. b(x)$는 $\mathrm{pr}_1$의 (첫 번째 의미에서의) 섹션이다.

물론, $\lambda x . b(x)$는 $b$와 판단적으로 같다. 따라서 섹션의 두 번째 의미는 첫 번째 의미의 특수한 사례이다.

Section En

14 May 2026

In type theory, the term “section” appears in two different contexts.

Definition. Given maps $r: B \to A$ and $s: A \to B$, if $rs \sim \mathrm{id}_A$, then $s$ is called a section of $r$, and $r$ is called a retract of $s$. That is,

\[\begin{gather} \mathrm{sec}(r) := \sum_{s': A \to B} rs' \sim \mathrm{id}_A\\ \mathrm{ret}(s) := \sum_{r': A \to B} r's \sim \mathrm{id}_B \end{gather}\]

Definition. Let $B$ be a type family over $A$. Given $x: A$, if $b(x): B(x)$, then $b$ is called a section of $B$.

The two meanings of section are related. Regarding the first definition, geometrically, a section $s: A \to B$ is a map that includes the space $A$ as a (cross-)section in the space $B$, while the corresponding retract $r: B \to A$ is a map that projects the space $B$ onto the space $A$. From this, several observations can be made:

• Generally, “expanding and then contracting” preserves the relationship of the original space, but “contracting and then expanding” does not. This suggests that when $r$ and $s$ are in a retract-section relationship, $rs \sim \mathrm{id}_A$, but $sr \sim \mathrm{id}_B$ does not generally hold.

• A section chooses a point in the $a$-fibre of $r$ for each $a: A$. This can be understood as analogous to selecting a specific $z$-coordinate value for each $z$-contour of a figure.

• In the diagram, the fibre appears like a strand of thread, which is the origin of the term “fibre.”

On the other hand, when $b$ is a section of a type family $B$ over $A$, $b$ chooses $b(a): B(a)$ for each $a: A$. Here, $B(a)$ is naturally equivalent to the $a$-fibre of $\mathrm{pr}_1: \sum_{x: A}B(x) \to A$. Therefore, when $b$ is a section of $B$ (in the second sense), $\lambda x. b(x)$ is a section of $\mathrm{pr}_1$ (in the first sense).

Of course, $\lambda x . b(x)$ is judgementally equal to $b$. Thus, the second meaning of section is just a special case of the first.

유형론적 대각선 논법

13 May 2026

전사성의 유형론적 정의

정의. 사상 $f: A \to X$에 대해 다음과 같이 정의한다.

\[\text{is-surj}(f) := \prod_{x: X} \| \mathrm{fib}_f(x) \|\]

위의 정의는 “임의의 공역의 원소는 공집합이 아닌 역사상_fiber을 가진다”를 표현한 것이다. 이와 동치인 정의는 “공역이 치역과 같다”이다. 후자의 정의를 유형론적으로 옮기기 위해서 다음과 같이 정의한다.

정의. 다음의 가환 도식에서 $\iota$가 임베딩이고, 가환성이 호모토피 $H: f \sim \iota q$에 의해 목격된다고 하자.

다음이 만족될 경우 $\iota$가 치역 임베딩의 보편 성질을 만족한다고 한다: 임의의 임베딩 $m: C \to X$에 대해, 전치 합성

\[- \circ (q, H): \hom_X(\iota, m) \to \hom_X(f, m)\]

이 동치 관계_equivalence이다.

위의 정의는 치역 임베딩의 보편 성질이 정말로 맞다. 즉, 다음이 성립한다.

정리. 사상 $f: A \to X$에 대해 다음이 성립한다.

• 다음은 치역 임베딩의 보편 성질을 만족한다.

\[\begin{align} &\operatorname{im} f := \sum_{x: X} \| \mathrm{fib}_f(x) \| \\ &q_f : A \to \operatorname{im} f; &&a \mapsto (f(a), |(a, \mathrm{refl}_{f(a)})) \\ &\iota_f : \operatorname{im} f \to X; &&\mathrm{pr}_1 \end{align}\]

• 치역 임베딩의 보편 성질을 만족하는 임베딩은 유일하다. 즉, 두 임베딩 $i: B \to X$와 $i’: B’ \to X$가 보편 성질을 만족한다면, 다음의 가환 도식을 만족하는 동치 관계 $e: B \simeq B’$의 유형은 수축 가능하다_contractible.

유형론적으로 치역을 정의했으므로, 전사성의 두 번째 정의를 제시할 수 있다.

정리. 다음의 가환 도식에서 $\iota: B \to X$가 임베딩이라고 하자. $q$가 전사일 필요충분조건은 $\iota$가 치역 임베딩의 보편 성질을 만족하는 것이다.

유형론적 대각선 논법

정의. 유형 $X$에 대해, 다음과 같이 정의한다.

\[\mathcal{P}(X) := X \to \mathsf{Prop}\]

즉, $X$의 멱집합은 $X$에 대한 명제들의 모임_{family of propositions over $X$}이다. 이는 가령 자연수의 부분집합인 짝수 집합이 “짝수임”이라는 자연수에 대한 명제와 대응하는 것으로 이해할 수 있다. 한편, $X$의 멱집합을 $X \to 2$로 정의하지 않는 이유는 이 경우 $X$의 멱집합이 결정 가능한 명제로 한정되기 때문이다.

칸토어 정리. $f: X \to \mathcal{P}(X)$라면 $f$는 전사가 아니다.

증명. $X$에 대한 다음의 명제 $Q : X \to \mathsf{Prop}$를 정의하자.

\[Q := \lambda x. \lnot f(x, x)\]

$f$가 전사라면 $g: \prod_{P: X \to \mathsf{Prop}} \| \mathrm{fib}_f(P) \|$가 존재한다. 따라서 $g(Q) : \| \mathrm{fib}_f(Q) \|$이다.

다음과 같이 $\mathrm{fib}_f(Q) \to \varnothing$을 정의하자.

\[(x, p) \mapsto \mathrm{tr}(f(x, x), p)(f(x, x))\]

명제적 절단_{propositional truncation}의 정의로부터, 위의 사상은 $\| \mathrm{fib}_f(Q) \| \to \varnothing$을 유도한다. 따라서 $g(Q) \to \varnothing$이다. 이는 모순이므로 $f$는 전사가 아니다. ■

Type-Theoretic Diagonal Argument

13 May 2026

Type-Theoretic Definition of Surjectivity

Definition. For a map $f: A \to X$, we define:

\[\text{is-surj}(f) := \prod_{x: X} \| \mathrm{fib}_f(x) \|\]

The above definition expresses that “every element of the codomain has a non-empty fibre.” An equivalent definition is “the codomain equals the image.” To translate the latter definition into type theory, we define as follows:

Definition. Consider the following commutative diagram where $\iota$ is an embedding, and the commutativity is witnessed by a homotopy $H: f \sim \iota q$.

We say that $\iota$ satisfies the universal property of the image inclusion if the following holds: for any embedding $m: C \to X$, the precomposition

\[- \circ (q, H): \hom_X(\iota, m) \to \hom_X(f, m)\]

is an equivalence.

The above definition indeed satisfies the universal property of the image inclusion. That is, the following holds:

Theorem. For a map $f: A \to X$, the following holds:

• The following satisfies the universal property of the image inclusion:

\[\begin{align} &\operatorname{im} f := \sum_{x: X} \| \mathrm{fib}_f(x) \| \\ &q_f : A \to \operatorname{im} f; &&a \mapsto (f(a), |(a, \mathrm{refl}_{f(a)})) \\ &\iota_f : \operatorname{im} f \to X; &&\mathrm{pr}_1 \end{align}\]

• The embedding satisfying the universal property of the image inclusion is unique. That is, if two embeddings $i: B \to X$ and $i’: B’ \to X$ satisfy the universal property, then the type of equivalences $e: B \simeq B’$ satisfying the following commutative diagram is contractible.

Having defined the image type-theoretically, we can now present the second definition of surjectivity.

Theorem. In the following commutative diagram, let $\iota: B \to X$ be an embedding. Then $q$ is surjective if and only if $\iota$ satisfies the universal property of the image inclusion.

Type-Theoretic Diagonal Argument

Definition. For a type $X$, we define:

\[\mathcal{P}(X) := X \to \mathsf{Prop}\]

That is, the power set of $X$ is the family of propositions over $X$. For instance, the set of even natural numbers corresponds to the proposition “is even” over the natural numbers. On the other hand, the power set of $X$ is not defined as $X \to 2$ because, in this case, the power set of $X$ would be restricted to decidable propositions.

Cantor’s Theorem. For any $f: X \to \mathcal{P}(X)$, $f$ is not surjective.

Proof. Define the following proposition $Q : X \to \mathsf{Prop}$ over $X$:

\[Q := \lambda x. \lnot f(x, x)\]

If $f$ were surjective, then there would exist $g: \prod_{P: X \to \mathsf{Prop}} \| \mathrm{fib}_f(P) \|$. Hence, $g(Q) : \| \mathrm{fib}_f(Q) \|$.

Define $\mathrm{fib}_f(Q) \to \varnothing$ as follows:

\[(x, p) \mapsto \mathrm{tr}(f(x, x), p)(f(x, x))\]

From the definition of propositional truncation, the above map induces $\| \mathrm{fib}_f(Q) \| \to \varnothing$. Thus, $g(Q) \to \varnothing$, which is a contradiction. Therefore, $f$ is not surjective. ■