우주 검열 가설의 초월론적 성격에 관하여

17 Oct 2026

우주 검열 가설을 굉장히 간략히 소개하자면, “관측 가능한 우주는 인과율을 따른다”는 원리이다.

여기서의 관측 가능성은 상대론적 의미로, 시공간의 특정 지점에서 발신한 광신호가 충분한 시간 이후 관측될 수 있다면 그 지점은 관측 가능하다. 예를 들어 안드로메다 은하는 관측 가능하지만 — 안드로메다 은하와 지구의 거리는 250만 광년이므로 안드로메다 은하에서 발신한 광신호는 250만 년 이후 관측될 것이다 — 블랙홀의 “사건의 지평선” 내부는 관측 불가능하다. 사건의 지평선 내부에서 발신된 광신호는 특이점 안으로 “빨려” 들어가기 때문이다.

그러나 위 문단의 소개가 “굉장히 간략한” 소개에 그치는 이유는, 관측 가능성과 인과율이 무엇을 의미하는지를 수학적/형식적으로 엄밀히 정의하는 것이 말도 안 되게 어려운 작업임이 드러났기 때문이다. 이 작업은 Hawking, Ellis, Wald 등에 의해 이루어졌는데, 대충 다음과 같다. (안 읽어도 된다)

시공간 $(M, g)$에 대해, $\tilde M$ 안에 $\overline{J^-(\mathscr{I}^+) \cap M}$를 포함하는 열린 집합 $\tilde V$가 존재하고 $(\tilde V, \tilde g)$가 대역적 쌍곡이라면, $(M, g)$가 강하게 점근적 예측가능하다고 하자.

가설. 적절한 물질장(e.g. 무한한 에너지나 음의 에너지를 갖는 물질이 없다)을 가지며 특이점이 없고 점근적으로 평탄한 초기 데이터 $(Σ, h, K)$에 대해, 그 최대 코시 전개 $(M, g)$는 강하게 점근적 예측가능하다.

하지만 이 가설의 반례가 Christodoulou에 의해서 발견되었다. 결론: 우주 검열 가설은 틀렸다.

…로 논의가 끝났을 리는 없다. Christodoulou 자신을 비롯한 이후 물리학자들은 이 반례 우주가 굉장히 불안정하다는 사실을 지적했다. 충분한 안정성 조건을 추가한다면 우주 검열 가설을 성립시키는 것은 여전히 가능할지 모른다.

그런데 여기서 우리는 한 가지 미래의 가능성을 그려 봄 직하다. 안정성 조건 A가 추가된 우주 검열 가설이 제시되었는데, 이후 어떤 물리학자가 A까지 만족하는 반례를 발견했다면 어떨까? 그제야 우주 검열 가설은 기각될까?

필자의 생각으로는 그렇지 않다. 아마 안정성 조건 B가 추가된 우주 검열 가설이 새로 제시될 것이다. 그런데 B까지 만족하는 반례도 곧 발견된다면? 그러면 안정성 조건 C도 추가된 우주 검열 가설이 제시될 것이고, 어쩌고저쩌고…

분명 이것은 우리가 여타 과학 이론을 대하는 태도와 다르다. 보통의 경우, 어떤 이론(e.g. 플로지스톤설)의 반례가 발견될 경우 초기에는 반례를 수용할 수 있도록 이론이 완화/수정되지만(음의 플로지스톤), 반례가 너무 많이 쌓이면 기존의 이론은 기각되고 새로운 이론(산소설)이 채택된다.

그러나 우주 검열 가설의 경우에는 — 적어도 필자의 직관으로는 — 아무리 반례가 많이 등장하더라도 끊임없이 수정이 가해질지언정 결코 완전히 기각되지는 않을 것으로 생각된다. 그리고 만약 이 직관을 인정한다면, 우주 검열 가설의 문제는 더 이상 이 가설이 참이냐 아니냐의 문제가 아닌 것으로 보인다. 우주 검열 가설은 선험적(a priori)으로 참이어야만 한다. 왜냐하면 우주 검열 가설은 인과율의 우주론적 형식화와 다름이 없으며, 인과율은 물리학적 탐구를 가능하게 하는 초월론적 조건에 다름 아니기 때문이다. 그러므로 우리가 해야 하는 일은 우주 검열 가설이 참이 되도록 하는 조건을 명확하게 규정하는 것이다.

따라서 물리학자들이 앞으로 발견될 반례에 대해 우주 검열 가설을 기각하기보다 우주 검열 가설을 완화하는 방식으로 대응하리라는 생각은, 마치 칸트주의자들이 비유클리드 기하학이라는 “반례”에 대해 시공간의 선험적 직관 형식을 기각하기보다 이 직관 형식의 경직성을 완화하는 방식으로 대응했던 것과 궤를 같이하는 것이 아닐까? 이는 철학사와 과학사의 흥미로운 교차점이 될 수 있다고 필자는 생각한다.

On the Transcendental Nature of the Cosmic Censorship Hypothesis

17 Oct 2026

To put it very briefly, the cosmic censorship hypothesis is the principle that the observable universe obeys causality.

Observability here is meant in the relativistic sense: a point in spacetime is observable if a light signal emitted from it can be observed after a sufficient amount of time. For instance, the Andromeda Galaxy is observable — since it lies 2.5 million light-years from Earth, a light signal emitted from Andromeda will be observed 2.5 million years later — whereas the interior of a black hole’s “event horizon” is not. A light signal emitted inside the event horizon gets “sucked” into the singularity.

The reason the paragraph above is only a “very brief” introduction is that defining, with mathematical and formal rigor, what observability and causality mean has turned out to be a ridiculously difficult task. This work was carried out by Hawking, Ellis, Wald, and others, and it goes roughly as follows. (Feel free to skip it.)

Given a spacetime $(M, g)$, if there exists an open set $\tilde V$ in $\tilde M$ containing $\overline{J^-(\mathscr{I}^+) \cap M}$ such that $(\tilde V, \tilde g)$ is globally hyperbolic, we say that $(M, g)$ is strongly asymptotically predictable.

Conjecture. For nonsingular, asymptotically flat initial data $(\Sigma, h, K)$ with suitable matter fields (e.g. no matter with infinite or negative energy), the maximal Cauchy development $(M, g)$ is strongly asymptotically predictable.

But a counterexample to this conjecture was found by Christodoulou. Conclusion: the cosmic censorship hypothesis is false.

…Of course, the discussion could hardly have ended there. Physicists, Christodoulou himself among them, pointed out that this counterexample universe is extremely unstable. Perhaps, by adding a sufficiently strong stability condition, the cosmic censorship hypothesis can still be made to hold.

Here, though, we might imagine a possible future. Suppose a version of the hypothesis with stability condition A is proposed, and later some physicist finds a counterexample that satisfies even A. Would the cosmic censorship hypothesis then, at last, be rejected?

I don’t think so. A new version with stability condition B would probably be proposed instead. And if a counterexample satisfying even B were soon found? Then a version with stability condition C would be proposed, and so on and so forth…

This is clearly different from how we treat other scientific theories. Ordinarily, when counterexamples to a theory (e.g. phlogiston theory) are found, the theory is at first loosened or modified to accommodate them (phlogiston with negative mass), but once too many counterexamples pile up, the old theory is rejected and a new one (oxygen theory) is adopted.

In the case of the cosmic censorship hypothesis, however — at least by my intuition — no matter how many counterexamples arise, it would be revised again and again but never rejected outright. And if we grant this intuition, the question about the cosmic censorship hypothesis no longer seems to be whether it is true or false. The cosmic censorship hypothesis must be true a priori. For the hypothesis is nothing other than the cosmological formalization of causality, and causality is nothing other than a transcendental condition that makes physical inquiry possible. What we must do, then, is to specify precisely the conditions under which the cosmic censorship hypothesis comes out true.

So might not the expectation that physicists will respond to future counterexamples by relaxing the hypothesis rather than rejecting it run parallel to the way Kantians responded to the “counterexample” of non-Euclidean geometry by relaxing the rigidity of the pure form of spatiotemporal intuition rather than rejecting it? I think this could be an interesting case where the history of philosophy and the history of science intersect.

인류원리로 증명하는 영원회귀

16 Oct 2026

지난 글에서 푸앵카레 재귀정리를 이용해 영원회귀의 제한된 형태를 증명했다. 하지만 고백하건대 필자 본인도 그 증명에 사용된 가정들의 설득력은 낮다고 생각한다. 그런데 어제 저녁밥을 먹다가, 일종의 인류원리_{anthropic principle}를 통해 이 설득력을 유의미하게 높일 수 있겠다는 생각이 문득 들어 소개해보고자 한다. 지난 글을 읽지 않았더라도 이 글을 이해하는 데에는 지장이 없다.

가정

막스 테그마크의 구분법을 따라 4단계 다중우주론_{Level IV multiverse}이 성립한다고 가정하자. 즉, 우리가 논리적·수학적으로 상상할 수 있는 모든 수학적 구조는 그 자체로 하나의 독립된 우주이다. 4단계 다중우주론을 지지하는 유력한 근거로는 미세조정 문제가 있는데(이 또한 인류원리에 호소한다), 이 글에서는 4단계 다중우주론을 받아들일 합리적인 근거가 있다는 점을 일단 인정하기로 하자.

또한 영원회귀하는 우주는 논리적·수학적으로 무모순이며, 그러한 우주 중에는 관측 가능한 영역 내에서 우리 우주와 동일한 순간을 포함하는 우주 또한 존재한다고 가정하자. 이 가정만큼은 지난 글에 의해 충분히 논증되었다고 생각한다.

두 가정은 함께 다음을 시사한다.

어떤 영원회귀적 우주가 존재하여, 그 우주에는 관측 가능한 영역 내에서 나와 같은 삶을 사는 “쌍둥이-나”가 있다.

논증

이제 다음과 같이 논증하자. 우리의 현실 우주를 $@$라고 하고, 관측 가능한 영역 내에서 $@$과 동일한 두 우주 $U_1$과 $U_2$가 있다고 하자. $U_1$은 비회귀적 우주이고, $U_2$는 영원회귀적 우주이다. $@ = U_1$이거나 $@ = U_2$라는 사실이 주어졌다면, 두 가능성 중 어느 쪽의 확률이 더 높을까?

인류원리에 따르면 답은 이렇다. 나는 $U_1$에 속해 있을 확률보다 $U_2$에 속해 있을 확률이 무한히 더 높다. $U_1$에서는 “나”의 사례가 한 번만 실현되지만, $U_2$에서는 “나”의 사례가 무한히 많이 실현되기 때문이다. 따라서

\[P(@ = U_1 \mid @ \in \{U_1, U_2\}) = 0, \qquad P(@ = U_2 \mid @ \in \{U_1, U_2\}) = 1\]

이다.

이제 독자는 필자가 어떤 방향으로 결론을 내리고자 하는지 짐작했을 것이다. $U_1$과 $U_2$을 비롯해 관측 가능한 영역 내에서 $@$과 충분히 유사한 모든 우주들의 모임 $\mathcal{U}$를 고려한다면, $\mathcal{U}$는 비회귀적 유형과 영원회귀적 유형으로 양분할 수 있다. 필자의 주장은, 위의 인류원리 논증에 따르면 $@$은 영원회귀적 유형에 속할 확률이 압도적으로 높다는 것이다.

위의 논증 스케치는 우리의 우주가 영원회귀적 우주일 확률이 압도적으로 높다는 사실을 시사한다. 물론 이 논증을 자세히 다듬으려면 가능세계 위의 확률분포와 측도 문제를 자세히 따져야 하겠지만, 이 부분은 독자에게 연습문제로 남긴다.

Proving Eternal Recurrence from the Anthropic Principle

16 Oct 2026

In the previous post, I used the Poincaré recurrence theorem to prove a restricted form of eternal recurrence. I must confess, however, that even I find the assumptions used in that proof unpersuasive. But while having dinner yesterday, it suddenly occurred to me that a kind of anthropic principle could make them significantly more plausible, so I would like to present the idea here. You do not need to have read the previous post to follow this one.

Assumptions

Following Max Tegmark’s classification, let us assume that the Level IV multiverse holds. That is, every mathematical structure we can conceive of logically and mathematically is, in its own right, an independent universe. A leading argument for the Level IV multiverse is the fine-tuning problem (which also appeals to the anthropic principle), but in this post let us simply grant that there are reasonable grounds for accepting it.

Let us also assume that an eternally recurring universe is logically and mathematically consistent, and that among such universes there is one containing a moment identical to ours within the observable region. This assumption, at least, I take to have been adequately argued for in the previous post.

Together, the two assumptions suggest the following.

There exists an eternally recurring universe containing a “twin-me” who, within the observable region, lives the same life as I do.

The Argument

Now let us argue as follows. Let $@$ be our actual universe, and let $U_1$ and $U_2$ be two universes identical to $@$ within the observable region. $U_1$ is a non-recurring universe, and $U_2$ is an eternally recurring one. Given that either $@ = U_1$ or $@ = U_2$, which of the two possibilities is more probable?

According to the anthropic principle, the answer is this: it is infinitely more probable that I belong to $U_2$ than to $U_1$. For in $U_1$ an instance of “me” is realized only once, whereas in $U_2$ instances of “me” are realized infinitely many times. Therefore,

\[P(@ = U_1 \mid @ \in \{U_1, U_2\}) = 0, \qquad P(@ = U_2 \mid @ \in \{U_1, U_2\}) = 1.\]

By now the reader has probably guessed where I am heading. Consider the collection $\mathcal{U}$ of all universes sufficiently similar to $@$ within the observable region, including $U_1$ and $U_2$. Then $\mathcal{U}$ can be divided into a non-recurring type and an eternally recurring type. My claim is that, by the anthropic argument above, $@$ is overwhelmingly likely to belong to the eternally recurring type.

The argument sketched above suggests that our universe is overwhelmingly likely to be an eternally recurring one. Of course, making the argument rigorous would require a careful treatment of probability distributions over possible worlds and the attendant measure problem, but I leave this part as an exercise for the reader.

푸앵카레 재귀정리로 증명하는 영원회귀

15 Oct 2026

니체는 『즐거운 학문』에서 유명한 사고실험을 제시한다. 어느 날 악마가 찾아와, 당신이 지금 살고 있는 이 삶을 똑같은 순서 그대로 다시 한번, 그리고 셀 수 없이 여러 번 살게 될 것이라고 속삭인다면 당신은 어떻게 반응할 것인가?

영원회귀는 보통 실존적 사고실험으로 읽힌다. 그러나 니체는 유고에서 이것을 우주론적 사실로 증명하려 시도하기도 했다. 그리고 필자는 이것이 허황된 시도라고 생각하지 않는다.

이 글에서는 측도론적 역학계의 언어로 영원회귀의 제한된 형태를 정식화하고 증명한다. 결론부터 말하자면, 푸앵카레 재귀정리와 시공간에 대한 가능할 법한 가설로부터 다음을 보일 수 있다.

거의 모든 세계에서, 역사의 모든 유한한 구간은 임의로 가까운 형태로 무한히 반복된다.

물론 “거의 모든”과 “임의로 가까운”이 하는 일이 상당하다. 이 단서들이 정확히 무엇을 뜻하는지는 마지막 절에서 다룬다.

설정

이하 $X$는 가분 거리공간_{separable metric space}이다. 즉 $X$에는 가산 조밀부분집합이 존재한다. 우리 우주를 유한한 입자로 채워진 거대한 정육면체로 가정한다면 우주의 상태공간은 $X = [0, 1]^{6n}$이며 ($n$은 우주의 총 입자 개수), $([0, 1] \cap \mathbb{Q})^{6n}$은 $X$의 가산 조밀부분집합이다.

$X$를 우주의 상태공간으로, $T: X \to X$를 한 단위 시간 동안의 동역학으로 생각하자.

정의. 상태 $x$에서 시작하는 길이 $N$의 인생을

\[\Phi_N(x) = (x, Tx, \ldots, T^{N-1}x) \in X^N\]

으로 정의한다. 또한 $X^N$ 위의 거리 $D$를 다음과 같이 정의한다.

\[D\big((x_i)_{i<N}, (y_i)_{i<N}\big) = \max_{0 \le i < N} d(x_i, y_i)\]

정리

정리 (제한된 영원회귀). $\mu$가 $X$의 보렐 집합 위의 유한측도이며, $T: X \to X$는 가측이고 $\mu$를 보존한다고 하자. 즉 임의의 보렐 집합 $A$에 대해 $\mu(T^{-1}A) = \mu(A)$이다. 이때, $\mu$ 측도에서 거의 모든 $x \in X$에 대해 다음이 성립한다.

임의의 $N \in \mathbb{N}$과 $\varepsilon > 0$에 대해, $D(\Phi_N(x), \Phi_N(T^n x)) < \varepsilon$을 만족하는 $n$이 무한히 많다.

즉 거의 모든 세계에서, 지금부터 $N$단위 시간 동안의 역사는 $\varepsilon$ 이내의 오차로 무한히 다시 일어난다.

에르고딕성은 필요하지 않다는 점에 주목하라. 에르고딕성은 한 번도 실현된 적 없는 인생이 언제가 실현된다는 것을 보장할 때 필요하다. 이미 실현된 인생이 반복된다는 것을 보이는 데에는 측도의 유한성과 상태공간의 가분성만으로 충분하다.

푸앵카레 재귀정리

증명의 핵심은 다음 정리이다.

푸앵카레 재귀정리. 위 정리의 전제에서, $A \subseteq X$가 가측집합이라면, $\mu$에 대해 $A$의 거의 모든 점은 $A$로 무한히 자주 돌아온다.

증명. $A$의 점 중 한 번도 $A$로 돌아오지 않는 점들의 집합을 $B$라고 하자. 즉,

\[B = \{ x \in A : \forall n \ge 1 \;\; T^n x \notin A \}\]

먼저 $B, T^{-1}B, T^{-2}B, \ldots$가 서로소임을 보이자. $j < k$에 대해 $x \in T^{-j}B \cap T^{-k}B$라고 하자. 그러면 $y = T^j x \in B$이면서 $T^{k-j}y = T^k x \in B \subseteq A$이다. 즉 $y$는 $A$로 돌아오는데, 이는 $y \in B$에 모순이다.

측도 보존성에 의해 이 집합들의 측도는 모두 $\mu(B)$이다. 서로소인 무한히 많은 집합의 측도의 합은 $\mu(X) < \infty$를 넘을 수 없으므로 $\mu(B) = 0$이다.

이제 $A$로 유한 번만 돌아오는 점 $x$를 생각하자. $x$의 마지막 귀환 시각을 $k$라고 하면 $T^k x \in B$이다. 따라서 그러한 점들의 집합은 $\bigcup_k (A \cap T^{-k}B)$에 포함된다. 각 $T^{-k}B$의 측도는 $\mu(B) = 0$이므로, 이 집합 또한 측도 0이다. ■

정리의 증명

증명. $X$가 가분이므로 $X^N$ 또한 가분이며, 따라서 $X^N$의 가산 조밀부분집합 $Q_N$이 존재한다. 각 $q \in Q_N$과 $r \in \mathbb{Q}^+$에 대해 다음과 같이 정의하자.

\[A_{N,q,r} = \Phi_N^{-1}\big( B(q, r) \big)\]

$T$가 가측이므로 $\Phi_N$ 또한 가측이며, 따라서 $A_{N,q,r}$은 가측집합이다. 각 $A_{N,q,r}$에 보조정리를 적용하면, 그 집합으로 무한히 자주 돌아오지 않는 점들의 영집합 $E_{N,q,r}$을 얻는다. 이제 $E$를 모든 $N, q, r$에 대한 $E_{N,q,r}$의 합집합이라고 하자. $E$는 가산 개의 영집합의 합집합이므로 $\mu(E) = 0$이다.

임의의 $x \notin E$와 $N, \varepsilon$를 잡자. $Q_N$의 조밀성에 의해, $D(\Phi_N(x), q) < r < \varepsilon/2$를 만족하는 $q \in Q_N$과 $r \in \mathbb{Q}^+$를 고를 수 있다. 그러면 $x \in A_{N,q,r}$이고 $x \notin E$이므로, $T^n x \in A_{N,q,r}$을 만족하는 $n$이 무한히 많다. 그러한 각 $n$에 대해 삼각부등식에 의해 다음이 성립한다.

\[D(\Phi_N(T^n x), \Phi_N(x)) \le D(\Phi_N(T^n x), q) + D(q, \Phi_N(x)) < 2r < \varepsilon \quad \blacksquare\]

고찰

위 정리는 니체의 영원회귀와 네 가지 점에서 다르다.

• 근사적이다. 돌아오는 것은 같은 인생이 아니라 $\varepsilon$만큼 가까운 인생이다. 정확히 같은 인생은 측도 0의 예외를 제외하면 다시 오지 않는다.
• 거의 모든 세계에서만 성립한다. 실제 세계의 역사 하나하나는 그 자체로 측도 0의 집합이다. 따라서 우리 세계가 예외 영집합 $E$에 속하지 않는다는 것은 별도의 전형성_typicality 가정이다.
• 유한한 구간만 반복된다. 무한한 역사 전체가 정확히 반복되려면 궤도가 주기적이어야 한다.
• 전제가 강하다. 유한 불변측도, 결정론, 가분성이 필요하다.

필자의 생각으로는 유한 불변측도가 가장 받아들이기 힘든 가정이고, 결정론이 그 다음, 가분성이 가장 받아들이기 쉬운 가정이다. 따라서 유한 불변측도와 결정론에 대한 약간의 변호를 제시하고자 한다.

유한 불변측도

우리의 우주는 현실적으로 무한할 수도 있고, 가능적으로 무한할 수도 있다(가령 매 순간 우주의 크기는 유한하지만 무한히 팽창하는 경우). 이 경우 일반적으로는 재귀를 기대할 수 없다. 그러나 (제한된 형태의) 영원회귀가 요구하는 것은 상태의 정확한 귀환이 아니라 인생의 “충분히 유사한” 귀환이다. 따라서 충분히 유사한 상태들을 동일시한다면, 그 몫집합은 유한하다고 가정할 수 있으며, 이를 이용하면 유한 불변측도라는 가정을 다른 가정으로 대체할 수 있다. 다만 여기에는 몇 가지 주의가 필요하다.

먼저 “충분히 유사함”을 그대로 동치관계로 쓸 수는 없다. 유사성은 일반적으로 추이적이지 않기 때문이다. 대신 상태공간을 관측적으로 구별되지 않는 상태들의 유한한 칸 $P_1, \ldots, P_k$로 분할하고, 같은 칸에 속하는 두 상태를 $x \sim y$로 동일시하자. 그러면 $\sim$는 자동으로 동치관계이며, 길이 $N$의 인생은 칸 번호들의 열 $(i_0, \ldots, i_{N-1})$로 기술된다. 이러한 열은 $k^N$개뿐이다.

그러나 이것만으로는 부족하다. 몫집합 $X/{\sim}$이 유한하더라도, 그 위에서 동역학이 정의되려면 합동 조건 $x \sim y \implies Tx \sim Ty$가 필요하다. 이 조건이 없다면 같은 칸에서 출발한 두 상태가 서로 다른 칸으로 갈 수 있으므로, 거친 기술 수준의 동역학은 결정론적이지 않다. 같은 이유로 논의를 “충분히 큰 크기의 유한한 우주”로 제한하는 것도 그 영역이 $T$-불변일 때만 의미가 있다.

흥미롭게도, 합동 조건이 성립한다면 측도는 아예 필요 없다. $T$가 유한집합 $X/{\sim}$ 위의 사상 $\bar{T}$를 유도하므로, 비둘기집 원리에 의해 칸들의 열은 결국 주기적이 된다. 나아가 $\bar{T}$가 단사라면, 즉 거친 기술 수준에서도 정보가 보존된다면 칸들은 주기적으로 순환한다 (니체의 유고 속 증명도 이와 비슷한 발상에 기대고 있다). 따라서 유한 불변측도라는 측도론적 가정은 “우주는 유한한 해상도에서 자율적이고(즉, $T$-불변이다) 가역적인(즉, $\bar{T}$가 단사이다) 거시 동역학을 갖는다”라는 가정으로 대체될 수 있다.

결정론

흔히 결정론은 양자역학에 의해 반박된 것으로 알려져 있지만 이것은 양자역학의 해석 논쟁을 왜곡한 것이다. 결정론적인 양자역학의 해석은 다양하게 제시된 바 있으며 현재까지의 모든 실험 결과와 일관적이다.

Proving Eternal Recurrence from the Poincaré Recurrence Theorem

15 Oct 2026

In The Gay Science, Nietzsche presents a famous thought experiment. What if, one day a demon comes to you and whispers that you will have to live the life you are now living once again, in exactly the same order, and innumerable times more?

Eternal recurrence is usually read as an existential thought experiment. But in his unpublished notebooks, Nietzsche also attempted to prove it as a cosmological fact. And I do not think this attempt is a fanciful one.

In this post, I formulate and prove a restricted form of eternal recurrence in the language of measure-theoretic dynamical systems. To state the conclusion, from the Poincaré recurrence theorem and reasonable hypotheses about spacetime, one can show the following.

In almost every world, every finite segment of history recurs infinitely often in an arbitrarily close form.

Of course, “almost every” and “arbitrarily close” are doing a great deal of work here. More on these qualifications mean are discussed in the final section.

Setup

Throughout, $X$ is a separable metric space, i.e. $X$ has a countable dense subset. If we suppose that our universe is a cube filled with finitely many particles, then the state space of the universe is $X = [0, 1]^{6n}$ (where $n$ is the total number of particles in the universe), and $([0, 1] \cap \mathbb{Q})^{6n}$ is a countable dense subset of $X$.

Let $X$ be the state space of the universe, and $T: X \to X$ be the dynamics over one unit of time.

Definition. A life of length $N$ starting from the state $x$ is defined as

\[\Phi_N(x) = (x, Tx, \ldots, T^{N-1}x) \in X^N\]

We also define a metric $D$ on $X^N$ as follows.

\[D\big((x_i)_{i<N}, (y_i)_{i<N}\big) = \max_{0 \le i < N} d(x_i, y_i)\]

Theorem

Theorem (Restricted Eternal Recurrence). Let $\mu$ be a finite measure on the Borel sets of $X$, and let $T: X \to X$ be measurable and $\mu$-preserving; that is, $\mu(T^{-1}A) = \mu(A)$ for every Borel set $A$. Then for $\mu$-almost every $x \in X$, the following holds.

For every $N \in \mathbb{N}$ and $\varepsilon > 0$, there are infinitely many $n$ such that $D(\Phi_N(x), \Phi_N(T^n x)) < \varepsilon$.

That is, in almost every world, the history of the next $N$ units of time recurs infinitely many times, up to an error of $\varepsilon$.

Note that ergodicity is not required. Ergodicity is needed to guarantee that a life which has never been realized will eventually be realized. To show that a life which has already been realized will recur, the finiteness of the measure and the separability of the state space suffice.

The Poincaré Recurrence Theorem

The core of the proof is the following theorem.

Poincaré Recurrence Theorem. Under the hypotheses of the theorem above, if $A \subseteq X$ is a measurable set, then $\mu$-almost every point of $A$ returns to $A$ infinitely often.

Proof. Let $B$ be the set of points of $A$ that never return to $A$. That is,

\[B = \{ x \in A : \forall n \ge 1 \;\; T^n x \notin A \}\]

We first show that $B, T^{-1}B, T^{-2}B, \ldots$ are pairwise disjoint. For $j < k$, suppose $x \in T^{-j}B \cap T^{-k}B$. Then $y = T^j x \in B$, while $T^{k-j}y = T^k x \in B \subseteq A$. That is, $y$ returns to $A$, which contradicts $y \in B$.

By measure preservation, each of these sets has measure $\mu(B)$. Since the sum of the measures of infinitely many pairwise disjoint sets cannot exceed $\mu(X) < \infty$, it follows that $\mu(B) = 0$.

Now consider a point $x$ that returns to $A$ only finitely many times. If $k$ is the time of the last return of $x$, then $T^k x \in B$. Hence the set of such points is contained in $\bigcup_k (A \cap T^{-k}B)$. Since each $T^{-k}B$ has measure $\mu(B) = 0$, this set also has measure zero. ■

Proof of the Theorem

Proof. Since $X$ is separable, so is $X^N$, and hence $X^N$ has a countable dense subset $Q_N$. For each $q \in Q_N$ and $r \in \mathbb{Q}^+$, define

\[A_{N,q,r} = \Phi_N^{-1}\big( B(q, r) \big)\]

Since $T$ is measurable, so is $\Phi_N$, and therefore $A_{N,q,r}$ is a measurable set. Applying the lemma to each $A_{N,q,r}$, we obtain a null set $E_{N,q,r}$ consisting of the points that do not return to that set infinitely often. Now let $E$ be the union of the sets $E_{N,q,r}$ over all $N, q, r$. Since $E$ is a union of countably many null sets, $\mu(E) = 0$.

Take any $x \notin E$ and any $N, \varepsilon$. By the density of $Q_N$, we can choose $q \in Q_N$ and $r \in \mathbb{Q}^+$ such that $D(\Phi_N(x), q) < r < \varepsilon/2$. Then $x \in A_{N,q,r}$, and since $x \notin E$, there are infinitely many $n$ such that $T^n x \in A_{N,q,r}$. For each such $n$, the triangle inequality gives

\[D(\Phi_N(T^n x), \Phi_N(x)) \le D(\Phi_N(T^n x), q) + D(q, \Phi_N(x)) < 2r < \varepsilon \quad \blacksquare\]

Discussion

The theorem above differs from Nietzsche’s eternal recurrence in four respects.

• It is approximate. What returns is not the same life but a life within $\varepsilon$ of it. Apart from exceptions of measure zero, exactly the same life never comes again.
• It holds only in almost every world. Each individual history of the actual world is, taken by itself, a set of measure zero. So the claim that our world does not belong to the exceptional null set $E$ is a separate assumption of typicality.
• Only finite segments recur. For an entire infinite history to recur exactly, the orbit would have to be periodic.
• The hypotheses are strong. We need a finite invariant measure, determinism, and separability.

In my view, the finite invariant measure is the hardest of these assumptions to accept, determinism the next hardest, and separability the easiest. I therefore offer a brief defense of the finite invariant measure and of determinism.

Finite Invariant Measure

Our universe may be actually infinite, or it may be potentially infinite (for instance, if the universe is finite in size at every moment but expands without bound). In such cases, recurrence cannot in general be expected. However, what (the restricted form of) eternal recurrence requires is not the exact return of states but the return of “sufficiently similar” lives. So if we identify sufficiently similar states, we may assume that the resulting quotient set is finite, and with this we can replace the assumption of a finite invariant measure by a different assumption. A few points of caution are in order, however.

First, “sufficient similarity” cannot be used as an equivalence relation as it stands, since similarity is in general not transitive. Instead, partition the state space into finitely many cells $P_1, \ldots, P_k$ of observationally indistinguishable states, and identify two states that belong to the same cell, writing $x \sim y$. Then $\sim$ is automatically an equivalence relation, and a life of length $N$ is described by a sequence of cell indices $(i_0, \ldots, i_{N-1})$. There are only $k^N$ such sequences.

But this alone is not enough. Even if the quotient set $X/{\sim}$ is finite, for dynamics to be defined on it we need the congruence condition $x \sim y \implies Tx \sim Ty$. Without this condition, two states starting in the same cell could move into different cells, so the dynamics at the coarse-grained level of description would not be deterministic. For the same reason, restricting the discussion to “a finite universe of sufficiently large size” is meaningful only when that region is $T$-invariant.

Interestingly, if the congruence condition holds, no measure is needed at all. Since $T$ induces a map $\bar{T}$ on the finite set $X/{\sim}$, the pigeonhole principle implies that the sequence of cells eventually becomes periodic. Moreover, if $\bar{T}$ is injective, that is, if information is preserved even at the coarse-grained level of description, then the cells cycle periodically (the proof in Nietzsche’s notebooks also relies on a similar idea). Thus the measure-theoretic assumption of a finite invariant measure can be replaced by the assumption that “the universe has, at finite resolution, a macrodynamics that is autonomous (i.e., $T$-invariant) and reversible (i.e., $\bar{T}$ is injective).”

Determinism

Determinism is commonly thought to have been refuted by quantum mechanics, but this is a distortion of the debate over the interpretation of quantum mechanics. A variety of deterministic interpretations of quantum mechanics have been proposed, and they are consistent with all experimental results to date.

거짓말쟁이 다리 이야기

28 Sep 2026

어느 날 길을 걷다가 아들이 새빨간 거짓말을 하자 아버지가 이제 ‘거짓말쟁이 다리’를 건널 거라며 잔뜩 겁을 준다. “이 다리는 거짓말쟁이가 건너면 반드시 무너진단다.” 오싹한 경고를 들은 아들은 거짓말을 실토하고 진실을 털어놓는다. 아버지는 만족하며 아들과 함께 다리 위로 올랐다. 그 순간, 다리가 아버지의 발밑에서 무너졌다. 아버지가 거짓말을 했기 때문이다. 거짓말쟁이 다리 같은 것은 없으니 말이다.

더글러스 호프스태터, ⟪사고의 유희⟫ (노승영 역)에서 발췌. 해당 우화는 18세기 독일인 크리스티안 겔레르트가 지은 <농부와 아들>이 원본이며, 네덜란드의 수학자 한스 프로이덴탈에 의해 각색되었다.

The Liar's Bridge

28 Sep 2026

One day, while they were walking along a road, the son told a blatant lie, so his father frightened him by saying that they were about to cross the “Liar’s Bridge.” “This bridge always collapses when a liar crosses it.” After hearing this chilling warning, the son confessed his lie and told the truth. Satisfied, the father stepped on the bridge with his son. At that moment, the bridge collapsed beneath the father’s feet. It was because the father had lied — for there is no such thing as a Liar’s Bridge.

Excerpted from Douglas Hofstadter’s Metamagical Themas. The original version of this fable was “The Farmer and His Son,” written by the eighteenth-century German author Christian Gellert; it was adapted by the Dutch mathematician Hans Freudenthal.

큰 수의 법칙은 경험적인가 선험적인가?

12 Jun 2026

큰 수의 법칙은 확률론의 가장 유명한 정리 중 하나로, 보통 다음과 같이 소개된다.

통상적으로 소개되는 큰 수의 법칙. 기댓값이 $\mu$인 확률변수를 반복적으로 관측할 때, 관측값들의 평균은 시행 횟수가 커질수록 $\mu$에 가까워진다.

이는 “경험적 확률은 수학적 확률로 수렴한다”, 또는 “통계는 집단이 커질수록 정확해진다” 등의 표어로도 소개된다.

그러나 이들 소개에는 이상한 점이 있다. 이들 소개에 따르면 큰 수의 법칙은 경험의 영역과 수학의 영역을 연결하는 다리이다. 그러나 큰 수의 법칙은 순수 수학의 정리이다. 그렇다면 순수 수학의 정리가 어떻게 우리에게 경험적 사실을 알려줄 수 있을까? 이는 마치 순수 이성만으로 세계에 관한 지식을 얻을 수 있다고 주장한 근대 합리론자들을 연상시키며, 굉장히 미심쩍다.

이 점은 귀납에 관한 수수께끼라는 철학의 유명한 논제를 통해 더욱 명확히 드러낼 수 있다. 흄은 귀납법의 정당성이 자기순환적이라는 사실을 지적한 바 있다. 귀납법의 핵심은 과거에 관측된 규칙성이 미래에도 성립할 것이라는 전제이다. 이것을 시간의 균등성 전제라고 부르자. 그러나 이 전제를 우리가 받아들이는 이유는 그것이 과거부터 줄곧 유효했기 때문이라는 사실에 다름 아니다. 즉 우리는 귀납법의 전제를 귀납적으로 정당화할 수밖에 없다. 이로부터 흄은 귀납법이 선험적·필연적 법칙이 아닌, 인간의 심리적 본성으로부터 비롯되는 사고 습관이라고 결론 내렸다.

흄의 논증은 미래에 대한 진술의 참은 항상 우연적이라는 관찰에 기반한다. 갑자기 우주의 모든 물리 법칙이 바뀌는 것과 같은 극단적 비균등성이 논리적으로 가능하기 때문이다. 따라서 흄에 따르면 “사건들의 기댓값이 특정 값으로 수렴할 것이다”라는 진술 또한 기껏해야 우연적인 참이다. 그러나 이것은 큰 수의 법칙에 다름 아니며, 큰 수의 법칙은 수학 정리이므로 그것의 참은 선험적·필연적이다.

그렇다면 흄이 틀린 것일까? 당연히 그렇지는 않다. 문제는 큰 수의 법칙에 대한 통상적인 소개가 적절치 않다는 것이다. 큰 수의 법칙의 정확한 진술을 살피면 어디에도 “시행”이나 “관측”이나 “경험”에 대한 진술이 없음을 알 수 있다.

정리. 확률공간 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 위에 확률변수들의 열 $X_1, X_2, \cdots: \Omega \to E \; (E = \mathbb{R})$가 독립동일분포_{independent and identically distributed; iid}이며, $E[X_n] = \mu < \infty$라고 하자. 다음이 성립한다.

• 약한 큰 수의 법칙. 임의의 $\epsilon > 0$에 대해,

\[\mathbb{P}\left( \left\{ \omega \in \Omega: \left| \frac{1}{n} \sum^n_{k=1}X_k(\omega) - \mu \right| > \epsilon \right\} \right) \to 0.\]

• 강한 큰 수의 법칙.

\[\mathbb{P}\left( \left\{ \omega \in \Omega: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum^n_{k=1}X_k(\omega) = \mu \right\} \right) = 1.\]

그렇다면 “큰 수의 법칙”을 “경험적 확률은 수학적 확률로 수렴한다”라고 해석하는 것은 어디서 유래하는 것일까? 문제의 핵심은 독립동일분포라는 표현에 있다. 어떤 두 확률변수 $X, Y: \Omega \to E$가 독립동일분포라는 것은 $X$와 $Y$의 분포가 동일하고(즉, 임의의 $e \in E$에 대해 $\mathbb{P}(X = e) = \mathbb{P}(Y = e)$), 임의의 $x, y \in E$에 대해 다음이 성립하는 것이다(편의상 $E$가 이산이라고 전제).

\[\begin{align} &\mathbb{P}(\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x \land Y(\omega) = y \}) \\ &= \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega: X(\omega) = x\}) \cdot \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega: Y(\omega) = y\}) \end{align}\]

가령 두 개의 동전을 던질 때, 첫 번째 동전에서 앞면이 나올 확률과 두 번째 동전에서 앞면이 나올 확률이 $p$로 같으며, 첫 번째 동전의 결과가 두 번째 동전의 결과에 영향을 주지 않을 때, 두 동전은 독립동일분포로 이해할 수 있다.

또다른 예시로, 똑같은 동전을 연달아 던질 때 각각의 시행은 독립동일분포로 가정하는 것이 자연스럽다. 매 시행에서 동전이 앞면이 나올 확률은 $p$로 같으며, 과거의 시행은 미래에 영향을 주지 않기 때문이다. 그리고 이 가정이 성립한다면, 큰 수의 법칙에 의해 $N$번의 시행 중 앞면이 나온 횟수는 $N$이 커질수록 $pN$에 수렴할 것이다.

문제는, 실제 세계에서는 주어진 통계적 시행들이 독립동일분포인지를 결코 확실히 알 수 없다는 것이다. 바로 이것이 흄이 지적한 바이다. 앞선 예시와 같이 똑같은 동전을 연달아 던지는 것조차 독립동일분포가 되리라 확신할 수 없다. 왜냐하면 동전을 던지던 도중 갑자기 우주의 물리 법칙이 뒤바뀌어 앞면이 나올 확률이 100%가 될 수도 있기 때문이다.

결국 똑같은 동전을 연달아 던지는 것이 독립동일분포라고 주장하기 위해서는 다름아닌 시간의 균등성 전제가 필요하다. 일반적으로, 큰 수의 법칙을 “경험적 확률은 수학적 확률로 수렴한다” 등과 같이 해석하는 것은 암암리에 시간의 균등성 전제를 가정한다. 그러나 시간의 균등성 전제는 순수 수학이 아닌 물리학 내지 형이상학에 속한다. 이것을 도식적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

큰 수의 법칙(수학/선험적) + 시간의 균등성 전제(물리학 내지 형이상학/경험적) ⇒ 통상적으로 소개되는 큰 수의 법칙(경험적)

따라서 큰 수의 법칙을 둘러 싼 오해는 순수 수학의 정리와 형이상학적 전제가 불분명하게 뒤섞인 데 있다. 필자 또한 이런 이유로 학창 시절에 큰 수의 법칙을 이해하는 데 어려움이 있었던지라 모처럼 글로 정리해 보았다.

Is the Law of Large Numbers empirical or a priori?

12 Jun 2026

The Law of Large Numbers is one of the most celebrated theorems in probability theory and is usually presented as follows.

Commonly presented form of the Law of Large Numbers. When a random variable with expectation $\mu$ is observed repeatedly, the sample mean of the observations approaches $\mu$ as the number of trials increases.

This is often summarised by slogans such as “empirical probability converges to mathematical probability” or “statistics become more accurate as sample size grows”.

There is, however, a puzzling aspect to such presentations. They suggest that the Law of Large Numbers bridges the realm of experience and the realm of mathematics. Yet the law itself is a theorem of pure mathematics. How, then, can a theorem of pure mathematics tell us anything about empirical facts? The suggestion is reminiscent of early modern rationalists who claimed that pure reason alone yields knowledge of the world, which is a strikingly dubious claim.

The issue can be clarified via the well-known philosophical riddle concerning induction. Hume observed that the justification of induction is circular. Induction rests on the assumption that regularities observed in the past will persist into the future; call this the uniformity of time assumption. We accept this assumption only because it has held in the past. In other words, we can justify the principle of induction only inductively. Hume therefore concluded that induction is not an a priori, necessary law but a habit of mind arising from human psychology.

Hume’s argument rests on the observation that statements about the future are always contingently true: extreme forms of temporal non-uniformity, such as a sudden, universal change of physical laws, are logically possible. Hence, on Hume’s view, the claim that “the expectations of events will converge to a particular value” is at best contingently true. Yet that claim is precisely the Law of Large Numbers, and the Law of Large Numbers, as a mathematical theorem, is a priori and necessary.

Does this mean Hume was wrong? Of course not. The problem lies in the usual presentation of the Law of Large Numbers. A careful reading of the actual theorem shows that it contains no assertions about “trials” or “observations”.

Theorem. Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $X_1, X_2, \ldots: \Omega \to E \; (E = \mathbb{R})$ be a sequence of random variables that are independent and identically distributed (iid) with $E[X_n] = \mu < \infty$. Then the following hold.

• Weak Law of Large Numbers. For every $\epsilon > 0$,

\[\mathbb{P}\left( \left\{ \omega \in \Omega: \left| \frac{1}{n} \sum^n_{k=1}X_k(\omega) - \mu \right| > \epsilon \right\} \right) \to 0.\]

• Strong Law of Large Numbers.

\[\mathbb{P}\left( \left\{ \omega \in \Omega: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum^n_{k=1}X_k(\omega) = \mu \right\} \right) = 1.\]

So where does the interpretation “empirical probability converges to mathematical probability” come from? The key is the phrase “independent and identically distributed”. Two random variables $X, Y: \Omega \to E$ are said to be independent and identically distributed when their marginal distributions coincide and, for any $x,y \in E$, (assuming for simplicity that $E$ is discrete) the following holds:

\[\begin{align} &\mathbb{P}(\{\omega \in \Omega : X(\omega) = x \land Y(\omega) = y \}) \\ &= \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega: X(\omega) = x\}) \cdot \mathbb{P}(\{ \omega \in \Omega: Y(\omega) = y\}). \end{align}\]

For example, when tossing two coins, if the probability of heads on the first coin and on the second coin is $p$ and the outcome of the first toss does not influence the outcome of the second, then the two tosses may be modelled as independent and identically distributed.

Another example is successive tosses of the same coin. It is natural to model them as iid, for each toss has the same probability $p$ of heads, and past tosses do not affect future ones. If this assumption holds, the Law of Large Numbers implies that the number of heads in $N$ tosses will be close to $pN$ for large $N$.

The problem is that, in the actual world, we can never know with certainty that a given sequence of trials is iid. This is precisely Hume’s point. Even successive tosses of the same coin cannot be guaranteed to be iid: the physical laws governing the coin might suddenly change so that heads occurs with probability 1.

Hence the claim that successive tosses are iid assumes the uniformity of time. In practice, interpreting the Law of Large Numbers as “empirical probability converges to mathematical probability” implicitly assumes the uniformity of time. Yet the uniformity of time is not a theorem of pure mathematics but an assumption from physics or metaphysics. We may express this schematically:

Law of Large Numbers (mathematics / a priori) + uniformity of time assumption (physics or metaphysics / empirical) ⇒ Commonly presented Law of Large Numbers (empirical)

Thus the misunderstanding surrounding the Law of Large Numbers arises from an ambiguous mixing of a mathematical theorem with a metaphysical assumption. I too found the law difficult to understand as a student for precisely this reason, so I have written this post to clarify the point.