Ramsey Numbers and the Infinite Ramsey Theorem

This post was machine translated and has not yet been proofread. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.

Abstract. We examine the definition of Ramsey numbers and the Ramsey theorem that ensures Ramsey numbers are well-defined, extending this to infinite graphs. We also introduce an argument that derives the finite Ramsey theorem from the infinite Ramsey theorem using the compactness theorem.

Introduction

Problem. When the edges of a complete graph with 6 vertices are coloured red or blue, show that there exists a triangle whose three edges are all the same colour.

For instance, in the following diagram, triangles ACF and BEF satisfy the problem’s conditions.

Solution. The number of edges emanating from any vertex is 5, so by the pigeonhole principle, at least 3 of them have the same colour. Without loss of generality, suppose edges AB, AC, and AD are all red. If any one of edges BC, CD, or DB is red, then there exists a triangle with all three edges red. For example, if BC is red, then triangle ABC satisfies this condition. On the other hand, if BC, CD, and DB are all blue, then triangle BCD has all three edges blue. Therefore, there exists at least one triangle with all three edges the same colour. ■

Ramsey Theorem

The conclusion of the above problem can be expressed as follows: When $G$ is a complete graph with 6 or more vertices, if the edges of $G$ are coloured red or blue, then either there exists a complete subgraph with 3 or more vertices whose edges are all red, or there exists a complete subgraph with 3 or more vertices whose edges are all blue.

Generalising this conclusion, we can pose the following question: Let $r$ and $b$ be arbitrary natural numbers. Does there exist a natural number $j$ such that when $G$ is a complete graph with $j$ or more vertices and the edges of $G$ are coloured red or blue, it is guaranteed that either there exists a complete subgraph with $r$ or more vertices whose edges are all red, or there exists a complete subgraph with $b$ or more vertices whose edges are all blue?

According to the Ramsey theorem, the answer is yes. Specifically, when the smallest such $j$ is defined as $R(r, b)$, the following holds:

Ramsey Theorem. For any natural numbers $r$ and $b$, $R(r, b)$ exists.

Proof. We prove by induction on $r + b$. It suffices to show that the following holds:

Let $R(r-1, b) = i$ and $R(r, b-1) = j$. Suppose $G$ is a complete graph with $i + j$ vertices, and the edges of $G$ are coloured red or blue. For any vertex $v \in G$, let $R$ be the complete subgraph formed by vertices connected to $v$ by red edges, and let $B$ be the complete subgraph formed by vertices connected by blue edges. The following holds:

Therefore, one of the following must hold:

1. $

   R

   \geq i$

2. $

   B

   \geq j$

In case 1, since $R(r-1, b) = i$, $R$ either has a complete subgraph with $r-1$ vertices whose edges are all red, or has a complete subgraph with $b$ vertices whose edges are all blue. In the latter case, the condition for $R(r, b)$ is satisfied, and in the former case, the graph obtained by adding $v$ to that subgraph satisfies the condition for $R(r, b)$. The same logic applies to case 2. ■

The problem at the beginning suggests that $R(3, 3) \leq 6$. Since it is known that there exist graphs with 5 vertices that do not satisfy the problem’s conditions, we have $R(3, 3) = 6$. The following are also trivial:

• $R(r, b) = R(b, r)$
• $R(r, 2) = r$

However, calculating Ramsey numbers exactly for general values is an extremely difficult problem. This is because the number of cases to be explored increases faster than exponentially with the number of vertices in the graph. The time complexity of the currently known fastest Ramsey number search algorithm is $O(c^{n^2})$. The problem of finding the value of $R(5, 5)$ remains unsolved, though it is known to be between 43 and 48 inclusive. The following anecdote is told regarding this:

Erdős once told this story. Imagine that a much more advanced alien force lands on Earth and says that unless we calculate the value of $R(5, 5)$, they will blow the Earth to pieces. Erdős claimed that in this case, we should gather all our computers and mathematicians to attempt the calculation. However, if they demanded the value of $R(6, 6)$, Erdős said it would be better to devise a plan to defeat the alien force.¹

Ramsey Theorem for Multiple Colours

The Ramsey theorem also holds when more than two colours are used. First, let us define $R(n_1, n_2, \ldots, n_k) = j$ as the smallest $j$ such that when the edges of a complete graph with $j$ vertices are coloured using $k$ colours, at least one of the following always exists:

• A complete subgraph with $n_1$ vertices whose edges are all the 1st colour
• A complete subgraph with $n_2$ vertices whose edges are all the 2nd colour
• …
• A complete subgraph with $n_k$ vertices whose edges are all the $k$th colour

For example, it is known that $R(3, 3, 3) = 17$. This means that when the edges of a complete graph with 17 or more vertices are coloured red, blue, or yellow, there always exists a triangle whose three edges are all red, all blue, or all yellow.

Ramsey Theorem for Multiple Colours. For any natural numbers $n_1, \ldots, n_k$, $R(n_1, \ldots, n_k)$ exists.

Proof. We prove by induction on $k$. It suffices to show that the following holds:

Let $j$ be the right-hand side of the inequality. Suppose $G$ is a complete graph with $j$ vertices, and colour the edges of $G$ using $k$ colours. Temporarily identify the $(k-1)$th colour with the $k$th colour. Then, by the definition of $j$, at least one of the following exists in $G$:

• A complete subgraph with $n_1$ vertices whose edges are all the 1st colour
• A complete subgraph with $n_2$ vertices whose edges are all the 2nd colour
• …
• A complete subgraph with $n_{k-2}$ vertices whose edges are all the $(k-2)$th colour
• A complete subgraph with $R(n_{k-1}, n_k)$ vertices whose edges are all the $(k-1)$th colour = $k$th colour

Except for the last case, the condition for $R(n_1, \ldots, n_k)$ is satisfied, so we need only consider the last case. Let $H$ be the complete subgraph guaranteed by the last case. By the definition of $R(n_{k-1}, n_k)$, $H$ has at least one of the following:

• A complete subgraph with $n_{k-1}$ vertices whose edges are all the $(k-1)$th colour
• A complete subgraph with $n_k$ vertices whose edges are all the $k$th colour

Since each case satisfies the condition for $R(n_1, \ldots, n_k)$, in all cases $G$ satisfies $R(n_1, \ldots, n_k)$. ■

Erdős-Rado Arrow

So far, we have examined the colouring of edges. Edges are relationships between two vertices. Going further, we can consider situations where relationships among $n$ vertices are coloured.

For convenience of discussion, let us introduce several definitions. First, we adopt the set-theoretic definition of natural numbers, defining $n = {0, 1, \ldots, n-1}$. We also introduce the following notation:

Definition. When $A$ is a set, we define:

\[A^{(n)} = \{ S: S \subset A, |S| = n \}\]

That is, for a natural number $j$, $j^{(n)}$ is a set whose elements are each case of $_jC_n$. For example,

To partition a given set into $m$ parts means to classify each element of the set into one of $m$ categories. For example, one result of partitioning $4^{(2)}$ into 3 parts is:

In the above partition, the sets formed by 0, 1, and 2 all belong to the same category. We say that 0, 1, and 2 are homogeneous with respect to this partition.

We define the following notation, called the Erdős-Rado arrow:

Definition. If there always exist $k$ homogeneous elements when $j^{(n)}$ is partitioned into $m$ parts, we write:

\[j \rightarrow (k)^n_m\]

The problem at the beginning suggests that $6 \rightarrow (3)^2_2$. The reason $n = 2$ is that edges are relationships between two vertices, and $m = 2$ because there are two colours.

By the Ramsey theorem we saw earlier, the following holds:

Meanwhile, the Ramsey theorem for multiple colours suggests:

In general, the following is known:

Finite Erdős-Rado Theorem. For any natural numbers $n$, $m$, and $k$, there exists a natural number $j$ such that:

\[j \rightarrow (k)^n_m\]

Infinite Ramsey Theorem

Interestingly, the Ramsey theorem also holds when $k$ is an infinite cardinal. The following is known:

Erdős-Rado Theorem. For any cardinal $\lambda$ and natural numbers $n$ and $m$, there exists a cardinal $\kappa$ such that:

\[\kappa \rightarrow (\lambda)^n_m\]

In particular, the following holds:

Infinite Ramsey Theorem. \(\aleph_0 \rightarrow (\aleph_0)^n_m\)

That is, when guests at Hilbert’s hotel arbitrarily shake hands, either there are infinitely many people who all shake hands with each other, or there are infinitely many people who never shake hands with each other.

The proof of the above theorem is the author’s own conjecture, so please let me know if there are any errors.

Proof. We prove for the case $n = m = 2$. Suppose $G$ is a complete graph of size $\aleph_0$. Colour the edges of $G$ red or blue. For vertices $v$ and $w$ of $G$, if $\overline{vw}$ is red, we write $\overline{vw} \in R$; if blue, we write $\overline{vw} \in B$.

For any vertex $v_0$ of $G$, define:

Since $R_1 \cup B_1 \cup {v_0} = G$, at least one of $R_1$ and $B_1$ is an infinite set. If $R_1$ is infinite, we write $v_0 \in R$; if $B_1$ is infinite, we write $v_0 \in B$.

Suppose $R_1$ is infinite. By the axiom of choice, we can select an element $v_1$ of $R_1$. Now define:

Since $R_2 \cup B_2 \cup {v_1} = R_1$, at least one of $R_2$ and $B_2$ is infinite. Similarly, if $R_2$ is infinite, we write $v_1 \in R$; if $B_2$ is infinite, we write $v_1 \in B$.

Suppose $B_2$ is infinite. Select an element $v_2$ of $B_2$ and define:

By repeating in this manner, we obtain the following sequence of vertices:

For each $v \in V$, either $v \in R$ or $v \in B$. Since $V$ is infinite, one of the following is infinite:

If $H$ is infinite, then the complete graph formed by the vertices of $H$ has all edges red. On the other hand, if $K$ is infinite, then the complete graph formed by the vertices of $K$ has all edges blue. Therefore, $\aleph_0 \rightarrow (\aleph_0)^2_2$. ■

Corollary. When $A$ is an infinite subset of $\mathbb{N}$, there exists an infinite subset $B$ of $A$ such that one of the following holds:

• For any $b \in B$, if $c$ is an element of $B$ greater than $b$, then $b \mid c$.
• For any $b, c \in B$, $b \nmid c$ and $c \nmid b$.

Proof. Take $k = A$, and consider a partition where for $x < y$, if $x \mid y$, then ${x, y}$ is classified into category 1; otherwise, into category 2. Then use the fact that $\aleph_0 \rightarrow (\aleph_0)^2_2$. ■

From Infinite to Finite

Interestingly, using the compactness theorem, one can prove the finite Ramsey theorem from the infinite Ramsey theorem. That is, the following holds:

Lemma. If $\aleph_0 \rightarrow (\aleph_0)^n_m$, then for any natural number $k$, there exists a natural number $j$ such that $j \to (k)^n_m$.

Proof. We prove for the case $n = 2$. A graph whose edges are coloured with $m$ colours can be formalised as follows. First, define the signature of language $\mathcal{L} = (V, f, 1, 2, \ldots, m)$ as:

• $V$ is a unary relation.
• $f$ is a binary function.
• $1, 2, \ldots, m$ are constants.

Let $T$ be an $\mathcal{L}$-theory consisting of:

• $\psi : \lnot V(1) \land \lnot V(2) \land \lnot V(m)$
• $\theta : \forall x, y \; (V(x) \land V(y) \land x \neq y) \rightarrow ( f(x, y) = 1 \lor f(x, y) = 2 \lor \cdots \lor f(x, y) = m )$
• $\phi_1 : \exists x_1, x_2 \; V(x_1) \land V(x_2) \land x_1 \neq x_2$
• $\phi_2 : \exists x_1, x_2, x_3 \; V(x_1) \land V(x_2) \land V(x_3) \land x_1 \neq x_2 \land x_2 \neq x_3 \land x_1 \neq x_3$
• For each $n \in \mathbb{N}$, $\phi_n$

$\psi$ means that $1, 2, \ldots, m$ represent colours, not vertices. $\theta$ means that any edge between two vertices has one of the colours from $1$ to $m$. And $\phi_n$ means that at least $n$ vertices exist. Since $\phi_n \in T$ for any $n$, models of $T$ are infinite complete graphs.

Let the following sentence be $\chi$:

That is, $\chi$ means that there exists a monochromatic complete subgraph with $k$ vertices. Therefore, according to the infinite Ramsey theorem, the following holds:

And by the compactness theorem, there exists some finite sub-theory $T’ = {\psi, \theta, \phi_1, \ldots, \phi_j}$ such that:

That is, every complete graph with $j$ or more vertices satisfies $\chi$. In other words, $j \to (k)^2_m$. To prove for arbitrary $n$, one can take $R$ as an $n$-ary relation. ■

¹ Joel H. Spencer (1994), Ten Lectures on the Probabilistic Method

어드조인트, 정규 변환, 그리고 스펙트럼 정리

이 글에서 모든 벡터 공간은 내적 공간이라고 가정한다. 또한, 모든 변환은 선형 변환이다.

1. 선형 변환의 어드조인트

정의. $(V, \langle \cdot \rangle_V), (W, \langle \cdot \rangle_W)$가 내적 벡터 공간이라고 하자. $T: V \to W$에 대해, $T$의 어드조인트_adjoint $T^\ast: W \to V$는 다음 조건을 만족하는 선형 변환이다.

\[\forall v \in V, w \in W : \quad \langle w, Tv \rangle_W = \langle T^\ast w, v \rangle_V\]

범주론의 어드조인트 정의를 떠올려 보면 식의 형태가 비슷하다.

이 정의를 정당화하려면 모든 $T$에 대해 어드조인트가 유일하게 존재함을 보여야 한다. 이는 리스 표현 정리_{Riesz representation theorem}로부터 얻어진다.

리스 표현 정리. $V$가 내적 공간이라고 하자. $\phi \in V^\ast$에 대해, 다음을 만족하는 벡터 $v$가 유일하게 존재한다.

\[\forall u \in V : \quad \phi(u) = \langle u, v \rangle\]

$V$가 유한 차원일 경우, 위 정리는 $V$의 직교 기저를 잡음으로써 쉽게 보여진다. $V$가 일반적인 힐베르트 공간일 경우에는 증명이 더 까다롭기 때문에 생략한다.

리스 표현 정리로부터 어드조인트의 정의를 다음과 같이 정당화할 수 있다. $w \in W$가 주어졌을 때, 사상 $v \mapsto \langle w, Tv \rangle$는 $V^\ast$의 원소이다. 따라서 어떤 $u_w \in V$가 존재하여

이다. 이때 사상 $w \mapsto u_w$는 선형임을 쉽게 보일 수 있다. 이 선형 사상이 우리가 구하고자 하는 어드조인트이다.

정의. $T^\ast = T$인 선형 사상 $T : V \to V$를 자기 어드조인트_self-adjoint라고 한다.

$T : V \to W$의 행렬 표현이 $M$일 때, 동일한 기저에서 $T^\ast$의 행렬 표현은 $M$의 켤레 전치, 즉 $M^\dagger$임을 — 다소 번거롭긴 하지만 — 어렵지 않게 보일 수 있다. 따라서 자기 어드조인트 변환의 행렬은 에르미트_Hermitian 행렬이다.

복소 자기 어드조인트 판별볍. $V$가 복소 벡터 공간일 때, $T: V \to V$가 자기 어드조인트 변환일 필요충분조건은 임의의 $v \in V$에 대해 $\langle Tv, v \rangle \in \mathbb{R}$인 것이다.

증명. 필요조건은 자명하므로 충분조건임을 보인다. 먼저 다음 보조정리를 증명한다.

보조정리. $V$가 복소 벡터 공간이라고 하자. $T : V \to V$에 대해, $T = 0$일 필요충분조건은 임의의 $v \in V$에 대해 $\langle Tv, v \rangle = 0$인 것이다.

보조정리의 증명. 필요조건은 자명하므로 충분조건임을 보인다. 임의의 $u, v \in V$에 대해,

이고,

이다. 두 식을 연립하면 $\langle Tu, v \rangle = 0$을 얻는다. 이로부터 $T = 0$임을 보이기는 쉽다. □

이제 본 정리를 보인다. $\langle Tv, v \rangle \in \mathbb{R}$이므로, $\langle Tv, v \rangle = \langle v, Tv \rangle$이다. 또한 어드조인트의 정의에 의해 $\langle Tv, v \rangle = \langle v, T^\ast v \rangle$이다. 따라서 $\langle v, (T - T^\ast)v \rangle = 0$이다. 보조정리로부터 $T = T^\ast$가 따라 나온다. ■

자명한 자기 어드조인트 판별법. $V$가 실수 또는 복소 벡터 공간이라고 하자. 자기 어드조인트 변환 $T: V \to V$에 대해, $T = 0$일 필요충분조건은 임의의 $v \in V$에 대해 $\langle Tv, v \rangle = 0$인 것이다.

증명. 복소 벡터 공간인 경우에는 위의 보조정리로부터 따라 나온다. 따라서 $V$가 실수 벡터 공간인 경우에만 증명한다. 필요조건은 자명하므로 충분조건임을 보인다. 임의의 $u, v \in V$에 대해,

즉 임의의 $u, v \in V$에 대해 $\langle Tu, v \rangle = 0$이므로 $T = 0$이다. ■

2. 정규 선형 변환

정의. $T : V \to V$에 대해 $TT^\ast = T^\ast T$일 때, $T$를 정규_normal라고 한다.

모든 자기 어드조인트 변환은 정규 변환이지만 그 역은 성립하지 않는다.

정규 판별법. $V$가 실수 또는 복소 벡터 공간이라고 하자. $T: V \to V$가 정규일 필요충분조건은 임의의 $v$에 대해 $\lVert Tv \rVert = \lVert T^\ast v \rVert$인 것이다.

증명. “자명한 자기 어드조인트 판별법”으로부터 따라 나온다. ■

정규 고유벡터의 켤레성. $V$가 실수 또는 복소 벡터 공간이고, $T : V \to V$가 정규라고 하자. $v$가 고윳값 $\lambda$를 가지는 $T$의 고유벡터일 때, $v$는 고윳값 $\bar{\lambda}$를 가지는 $T^\ast$의 고유벡터이다.

증명. $T$가 정규일 때, $T - \lambda I$ 또한 정규임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서,

‘정규’라는 이름의 유래는 다음 정리에 있다.

정규 고유벡터의 정규성. $T: V \to V$가 정규라고 하자. $u, v \in V$가 서로 다른 고윳값을 가지는 $T$의 고유벡터라면 $u$와 $v$는 직교한다.

증명. $u, v$의 고윳값이 $\alpha, \beta$라고 하자.

$\alpha - \beta \neq 0$이므로 $\langle u, v \rangle = 0$이다. ■

3. 스펙트럼 정리_{Spectral theorems}

‘스펙트럼’이라는 이름은, 스펙트럼 정리가 양자역학에서 원자의 스펙트럼을 설명할 때 쓰였던 것에서 유래했다는 설이 흔히 전해지지만, 이것은 사실이 아니다. 스펙트럼 정리를 사용해서 원자의 스펙트럼을 설명하기 이전에 이미 힐베르트가 ‘스펙트럼’이라는 표현을 쓴 바 있기 때문이다. 정확한 유래는 알려져 있지 않은데, 고유벡터들이 힐베르트 공간의 특성을 나타낸다는 점에서 빛의 스펙트럼과 유사하다는 이미지 때문이 아니었을까 추측해 봄직하다.

복소 스펙트럼 정리. $V$가 복소 벡터 공간이라고 하자. $T: V \to V$가 정규일 필요충분조건은, $T$의 고유벡터들이 $V$의 직교 기저를 이루는 것이다.

증명. TODO ■

실수 스펙트럼 정리. $V$가 실수 벡터 공간이라고 하자. $T: V \to V$가 자기 어드조인트일 필요충분조건은, $T$의 고유벡터들이 $V$의 직교 기저를 이루는 것이다.

증명. TODO ■

Adjoints, Normal Transformations, and the Spectral Theorem

This post was machine translated and has not yet been proofread. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.

In this article, we assume that all vector spaces are inner product spaces. Furthermore, all transformations are linear transformations.

1. Adjoints of Linear Transformations

Definition. Let $(V, \langle \cdot \rangle_V), (W, \langle \cdot \rangle_W)$ be inner product vector spaces. For $T: V \to W$, the adjoint $T^\ast: W \to V$ of $T$ is the linear transformation satisfying the following condition:

\[\forall v \in V, w \in W : \quad \langle w, Tv \rangle_W = \langle T^\ast w, v \rangle_V\]

If one recalls the definition of adjoints in category theory, the form of this equation is similar.

To justify this definition, we must show that the adjoint exists uniquely for every $T$. This follows from the Riesz representation theorem.

Riesz Representation Theorem. Let $V$ be an inner product space. For $\phi \in V^\ast$, there exists a unique vector $v$ satisfying:

\[\forall u \in V : \quad \phi(u) = \langle u, v \rangle\]

When $V$ is finite-dimensional, the above theorem is easily shown by choosing an orthogonal basis for $V$. When $V$ is a general Hilbert space, the proof is more involved and shall be omitted.

From the Riesz representation theorem, we can justify the definition of the adjoint as follows. Given $w \in W$, the mapping $v \mapsto \langle w, Tv \rangle$ is an element of $V^\ast$. Therefore, there exists some $u_w \in V$ such that

At this point, one can easily show that the mapping $w \mapsto u_w$ is linear. This linear mapping is the adjoint we seek.

Definition. A linear mapping $T : V \to V$ satisfying $T^\ast = T$ is called self-adjoint.

When the matrix representation of $T : V \to W$ is $M$, the matrix representation of $T^\ast$ in the same basis is the conjugate transpose of $M$, namely $M^\dagger$ — this can be shown, albeit somewhat tediously, without much difficulty. Therefore, the matrix of a self-adjoint transformation is a Hermitian matrix.

Complex Self-Adjoint Criterion. When $V$ is a complex vector space, $T: V \to V$ is self-adjoint if and only if $\langle Tv, v \rangle \in \mathbb{R}$ for any $v \in V$.

Proof. The necessary condition is trivial, so we prove the sufficient condition. First, we establish the following lemma.

Lemma. Let $V$ be a complex vector space. For $T : V \to V$, $T = 0$ if and only if $\langle Tv, v \rangle = 0$ for any $v \in V$.

Proof of the lemma. The necessary condition is trivial, so we prove the sufficient condition. For any $u, v \in V$,

and

Solving these two equations simultaneously yields $\langle Tu, v \rangle = 0$. From this, it is easy to show that $T = 0$. □

We now prove the main theorem. Since $\langle Tv, v \rangle \in \mathbb{R}$, we have $\langle Tv, v \rangle = \langle v, Tv \rangle$. Also, by the definition of the adjoint, $\langle Tv, v \rangle = \langle v, T^\ast v \rangle$. Therefore, $\langle v, (T - T^\ast)v \rangle = 0$. From the lemma, it follows that $T = T^\ast$. ■

Trivial Self-Adjoint Criterion. Let $V$ be a real or complex vector space. For a self-adjoint transformation $T: V \to V$, $T = 0$ if and only if $\langle Tv, v \rangle = 0$ for any $v \in V$.

Proof. For complex vector spaces, this follows from the lemma above. Therefore, we prove only the case when $V$ is a real vector space. The necessary condition is trivial, so we prove the sufficient condition. For any $u, v \in V$,

That is, $\langle Tu, v \rangle = 0$ for any $u, v \in V$, so $T = 0$. ■

2. Normal Linear Transformations

Definition. For $T : V \to V$, when $TT^\ast = T^\ast T$, we call $T$ normal.

Every self-adjoint transformation is normal, but the converse does not hold.

Normal Criterion. Let $V$ be a real or complex vector space. $T: V \to V$ is normal if and only if $\lVert Tv \rVert = \lVert T^\ast v \rVert$ for any $v$.

Proof. This follows from the “Trivial Self-Adjoint Criterion”. ■

Conjugacy of Normal Eigenvectors. Let $V$ be a real or complex vector space, and let $T : V \to V$ be normal. When $v$ is an eigenvector of $T$ with eigenvalue $\lambda$, then $v$ is an eigenvector of $T^\ast$ with eigenvalue $\bar{\lambda}$.

Proof. When $T$ is normal, $T - \lambda I$ is also easily shown to be normal. Therefore,

The origin of the name ‘normal’ lies in the following theorem.

Normality of Normal Eigenvectors. Let $T: V \to V$ be normal. If $u, v \in V$ are eigenvectors of $T$ with distinct eigenvalues, then $u$ and $v$ are orthogonal.

Proof. Let the eigenvalues of $u, v$ be $\alpha, \beta$ respectively.

Since $\alpha - \beta \neq 0$, we have $\langle u, v \rangle = 0$. ■

3. Spectral Theorems

while it is commonly claimed that the name ‘spectral’ derives from the spectral theorem being used to explain atomic spectra in quantum mechanics, this is not factual. Hilbert had already used the term ‘spectrum’ before the spectral theorem was employed to explain atomic spectra. The precise origin is unknown, but one might conjecture that it arose from the imagery that eigenvectors characterise the properties of Hilbert spaces, similar to how light spectra characterise light.

Complex Spectral Theorem. Let $V$ be a complex vector space. $T: V \to V$ is normal if and only if the eigenvectors of $T$ form an orthogonal basis for $V$.

Proof. TODO ■

Real Spectral Theorem. Let $V$ be a real vector space. $T: V \to V$ is self-adjoint if and only if the eigenvectors of $T$ form an orthogonal basis for $V$.

Proof. TODO ■

어드조인트에 대한 세 가지 접근

본문의 내용은 Tom Leinster, Basic Category Theory에 기반한다.

$\mathcal{A}, \mathcal{B}$가 범주_category이고, $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}, G: \mathcal{B} \to \mathcal{A}$가 함자_functor라고 하자.

1. 자연성 공리_{naturality axiom}를 이용한 어드조인트의 정의

$F \dashv G$라는 것은 임의의 $A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}$에 대해 일대일대응 $\Psi_{A, B} : \mathrm{Hom}_\mathcal{A}(A, G(B)) \to \mathrm{Hom}_\mathcal{B}(F(A), B)$가 존재하여, 임의의 $p: A’ \to A, q: B \to B’$에 대해 다음 가환 도식_{commutative diagram}을 만족한다는 것이다.

편의를 위해 $f: A \to G(B)$에 대해 $\Psi_{A, B}(f) = \bar{f}$, 그리고 $g: F(A) \to B$에 대해 $\Psi_{A, B}^{-1}(g) = \bar{g}$와 같이 표기한다. 이에 따라 위의 가환 도식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

위 두 조건을 자연성 공리라고 부른다. 자연성 공리로부터 다음을 증명할 수 있다.

정리 1. $\eta_A := \overline{1_{F(A)}} : A \to GF(A)$와 같이 정의된 변환 $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$는 자연적 변환_{natural transformation}이다. 그리고 $\epsilon_B := \overline{1_{G(B)}} : FG(B) \to B$와 같이 정의된 변환 $\epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}}$ 또한 자연적 변환이다. $\eta$를 단원_unit이라고 부르고, $\epsilon$을 쌍단원_counit이라고 부른다.

증명. 다음 가환 도식으로부터 얻어진다.

정리 2. $f: A \to G(B), g: F(A) \to B$에 대해 다음이 성립한다.

\[\begin{gather} \bar{f} = \epsilon_B \circ F(f) \\ \bar{g} = G(g) \circ \eta_A \end{gather}\]

증명. 다음 가환 도식으로부터 얻어진다.

2. 단원과 쌍단원을 이용한 어드조인트의 정의

$F \dashv G$라는 것은 어떤 자연적 변환 $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF, \epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}}$가 존재하여, 임의의 $A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}$에 대해 다음 가환 도식을 언제나 만족한다는 것이다.

위 두 조건을 삼각 항등식_{triangle identity}이라고 부른다.

3. 초기 대상_{initial object}을 이용한 어드조인트의 정의

정의. $P: \mathcal{A} \to \mathcal{C}$, $Q: \mathcal{B} \to \mathcal{C}$가 함자일 때, 콤마 범주_{comma category} $(P \Rightarrow Q)$를 다음과 같이 정의한다.

• 대상: $\mathcal{C}$의 사상 $h: P(A) \to Q(B)$에 대해, 삼중쌍_triplet $(A, h, B)$
• 사상: 다음의 가환 도식이 성립할 때, $(f, g): (A, h, B) \to (A’, h’, B’)$

$F \dashv G$라는 것은 어떤 자연적 변환 $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$가 존재하여, 각 $A \in \mathcal{A}$에 대해 $A$를 홑원소 범주 $\mathbf{1}$에서 $\mathcal{A}$로 가는 함자 $A: 1 \mapsto A$로 간주했을 때 $\eta_A : A \to GF(A)$가 콤마 범주 $(A \Rightarrow G)$의 초기 대상이라는 것이다.

4. 동치 증명

1, 2, 3의 정의는 모두 동치이다. 구체적으로 다음의 정리가 성립한다.

정리 3. $\mathcal{A}, \mathcal{B}$가 범주이고 $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}, G: \mathcal{B} \to \mathcal{A}$가 함자라고 하자. 1, 2, 3은 서로 일대일 대응된다.

1. 자연성 공리를 만족하는 일대일대응 $\Psi$
2. 삼각 항등식을 만족하는 자연적 변환의 쌍 $(\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF, \epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}})$
3. 각 $A \in \mathcal{A}$에 대해 $\eta_A : A \to GF(A)$가 $(A \Rightarrow G)$의 초기 대상이 되도록 하는 자연적 변환 $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$

증명. 1과 2가 일대일 대응됨을 보이고, 2와 3이 일대일 대응됨을 보인다.

1과 2는 일대일 대응된다.

$\Psi$가 주어졌을 때, $\eta$와 $\epsilon$을 각각 단원과 쌍단원으로 정의한다. 이때, $\eta$와 $\epsilon$이 삼각 항등식을 만족함은 정리 2로부터 쉽게 따라 나온다.

역으로 삼각 항등식을 만족하는 자연적 변환의 쌍 $(\eta, \epsilon)$이 주어졌다고 하자. 이로부터 다음과 같이 $\Psi$를 정의한다. $f: A \to G(B), g: F(A) \to B$에 대해,

먼저 $\Psi_{A, B}^{-1}$이 실제로 $\Psi_{A, B}$의 역사상임을, 즉 $\bar{\bar{g}} = g, \bar{\bar{f}} = f$임을 보인다. 전자는 다음 가환 도식으로부터 얻어진다. 후자는 도식에서 $F, G$를 각각 $G, F$로 바꾼 뒤 적절히 쌍대_dual을 취하면 된다.

이제 $\Psi$가 자연성 공리를 만족함을 보인다. 한쪽 공리만 보이도록 한다. $f: A \to G(B), q: B \to B’$에 대해 $\overline{G(q) \circ f} = q \circ \bar{f}$임을 보인다. 먼저,

이고,

이므로, $\epsilon_{B’} \circ FG(q) = q \circ \epsilon_B$임을 보이면 충분하다. 이것은 자연적 변환의 정의에 다름 아니다. 따라서 $\Psi$는 자연성 공리를 만족한다.

2와 3은 일대일 대응된다.

삼각 항등식을 만족하는 자연적 변환의 쌍 $(\eta, \epsilon)$이 주어졌을 때, 각 $A \in \mathcal{A}$에 대해 $\eta_A : A \to GF(A)$가 $(A \Rightarrow G)$의 초기 대상임을 보이자.

역으로 $\eta$가 각 $A \in \mathcal{A}$에 대해 $\eta_A : A \to GF(A)$가 $(A \Rightarrow G)$의 초기 대상이 되도록 하는 자연적 변환일 때, 어떤 $\epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}}$가 유일하게 존재하여 $(\eta, \epsilon)$이 삼각 항등식을 만족함을 보이자.

Three Approaches to Adjoints

This post was machine translated and has not yet been proofread. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.

The content of this text is based on Tom Leinster, Basic Category Theory.

Let $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ be categories and $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}, G: \mathcal{B} \to \mathcal{A}$ be functors.

1. Definition of Adjoint Using the Naturality Axiom

$F \dashv G$ means that for any $A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}$, there exists a bijection $\Psi_{A, B} : \mathrm{Hom}_\mathcal{A}(A, G(B)) \to \mathrm{Hom}_\mathcal{B}(F(A), B)$ such that for any $p: A’ \to A, q: B \to B’$, the following commutative diagram is satisfied.

For convenience, we denote $\Psi_{A, B}(f) = \bar{f}$ for $f: A \to G(B)$, and $\Psi_{A, B}^{-1}(g) = \bar{g}$ for $g: F(A) \to B$. Accordingly, the above commutative diagram can be expressed as follows:

The above two conditions are called the naturality axioms. From the naturality axioms, we can prove the following:

Theorem 1. The transformation $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$ defined by $\eta_A := \overline{1_{F(A)}} : A \to GF(A)$ is a natural transformation. Moreover, the transformation $\epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}}$ defined by $\epsilon_B := \overline{1_{G(B)}} : FG(B) \to B$ is also a natural transformation. We call $\eta$ the unit and $\epsilon$ the counit.

Proof. This follows from the following commutative diagram.

Theorem 2. For $f: A \to G(B), g: F(A) \to B$, the following holds:

\[\begin{gather} \bar{f} = \epsilon_B \circ F(f) \\ \bar{g} = G(g) \circ \eta_A \end{gather}\]

Proof. This follows from the following commutative diagram.

2. Definition of Adjoint Using Unit and Counit

$F \dashv G$ means that there exist natural transformations $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$ and $\epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}}$ such that for any $A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}$, the following commutative diagrams are always satisfied:

The above two conditions are called the triangle identities.

3. Definition of Adjoint Using Initial Objects

Definition. When $P: \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ and $Q: \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ are functors, we define the comma category $(P \Rightarrow Q)$ as follows:

• Objects: For a morphism $h: P(A) \to Q(B)$ in $\mathcal{C}$, the triplet $(A, h, B)$
• Morphisms: When the following commutative diagram holds, $(f, g): (A, h, B) \to (A’, h’, B’)$

$F \dashv G$ means that there exists a natural transformation $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$ such that for each $A \in \mathcal{A}$, when we regard $A$ as a functor $A: 1 \mapsto A$ from the singleton category $\mathbf{1}$ to $\mathcal{A}$, $\eta_A : A \to GF(A)$ is an initial object in the comma category $(A \Rightarrow G)$.

4. Proof of Equivalence

The definitions 1, 2, and 3 are all equivalent. Specifically, the following theorem holds:

Theorem 3. Let $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ be categories and $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}, G: \mathcal{B} \to \mathcal{A}$ be functors. Then 1, 2, and 3 are in one-to-one correspondence.

1. A bijection $\Psi$ satisfying the naturality axioms
2. A pair of natural transformations $(\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF, \epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}})$ satisfying the triangle identities
3. A natural transformation $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$ such that for each $A \in \mathcal{A}$, $\eta_A : A \to GF(A)$ is an initial object in $(A \Rightarrow G)$

Proof. We show that 1 and 2 are in one-to-one correspondence, and that 2 and 3 are in one-to-one correspondence.

1 and 2 are in one-to-one correspondence.

Given $\Psi$, we define $\eta$ and $\epsilon$ as the unit and counit respectively. That $\eta$ and $\epsilon$ satisfy the triangle identities follows easily from Theorem 2.

Conversely, suppose we are given a pair of natural transformations $(\eta, \epsilon)$ satisfying the triangle identities. From this, we define $\Psi$ as follows. For $f: A \to G(B), g: F(A) \to B$:

First, we show that $\Psi_{A, B}^{-1}$ is indeed the inverse of $\Psi_{A, B}$, i.e., that $\bar{\bar{g}} = g, \bar{\bar{f}} = f$. The former follows from the following commutative diagram. The latter can be obtained by replacing $F, G$ with $G, F$ respectively in the diagram and then taking the appropriate dual.

Now we show that $\Psi$ satisfies the naturality axioms. We shall prove only one axiom. For $f: A \to G(B), q: B \to B’$, we show that $\overline{G(q) \circ f} = q \circ \bar{f}$. First,

and

Therefore, it suffices to show that $\epsilon_{B’} \circ FG(q) = q \circ \epsilon_B$. This is nothing other than the definition of a natural transformation. Hence $\Psi$ satisfies the naturality axioms.

2 and 3 are in one-to-one correspondence.

Given a pair of natural transformations $(\eta, \epsilon)$ satisfying the triangle identities, let us show that for each $A \in \mathcal{A}$, $\eta_A : A \to GF(A)$ is an initial object in $(A \Rightarrow G)$.

Conversely, when $\eta$ is a natural transformation such that for each $A \in \mathcal{A}$, $\eta_A : A \to GF(A)$ is an initial object in $(A \Rightarrow G)$, let us show that there exists a unique $\epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}}$ such that $(\eta, \epsilon)$ satisfies the triangle identities.

정신은 기계로 환원될 수 있는가: 괴델의 조건문과 펜로즈-루카스 논증

이 글은 Peter Koellner, On the question of whether the mind can be mechanized (2018)을 정리한 것이다.

초록. 처치-튜링 논제와 괴델의 불완전성 정리는 기계로 증명할 수 없는 수학적 참의 존재를 시사한다. 그러나 만약 이상적인 인간 정신은 모든 수학적 참을 증명할 수 있다면, 이상적인 인간 정신은 기계와 같지 않다는 결론이 얻어진다. 이 글에서는 이같은 방식으로 반기계주의를 입증하려는 루카스와 펜로즈의 논증을 검토하고, 이 논증을 반박하는 형식 증명을 소개한다.

서론

다음은 논리학에서 잘 알려진 결과들이다.

• 처치-튜링 논제. 이상적인 기계에 의해 계산 가능하다_computable는 것은 튜링 기계로 구현 가능하다는 것이다.

• 괴델의 불완전성 정리. $F$가 특정 조건을 만족하는 형식 체계라면, 참이지만 $F$로 증명 불가능한 문장이 존재한다.

• 형식 체계-튜링 기계 대응. $F$가 특정 조건을 만족하는 형식 체계라면, $F$로 증명 가능한 명제들을 열거하는 튜링 기계가 존재한다.

위 세 가지 논제에 더해, 우리 인간은 형식 체계가 포착하지 못하는 수학적 참 — 이를테면 산술의 무모순성 — 또한 포착할 수 있는 것으로 보인다는 사실을 종합해 보면, 불완전성 정리는 이상적인 인간 정신이 도출할 수 있는 수학적 결과들의 외연이 이상적인 유한 기계로 도출할 수 있는 결과들의 외연을 초과함을 시사하는 것으로 보인다. 즉, 불완전성 정리는 정신이 기계로 환원될 수 없다는 반기계주의를 시사하는 것으로 보인다.

이 글에서는 과연 이 시사 관계가 얼마나 정당화될 수 있는지 검토한다. 그 결과, 불완전성 정리는 반기계주의 또는 플라톤주의를 시사하긴 하지만 반기계주의를 직접적으로 시사하지는 않음을 보일 것이다.

1. 괴델 조건문

괴델은 불완전성 정리로부터, 다음 두 입장 중 적어도 하나가 참이라는 결론이 따라 나온다고 주장했다. 이것을 괴델 조건문_{Gödel’s Disjunction}이라고 부르자.

1. 반기계주의: 이상적인 인간 정신이 도출할 수 있는 수학적 결과들은 언제나 이상적인 유한 기계가 도출하는 수학적 결과들을 초과한다. 따라서 인간 정신은 기계로 환원될 수 없다.

2. 플라톤주의: 이상적인 인간 정신이 포착할 수 없는 수학적 참이 존재한다. 따라서 수학적 참은 인간 정신과 독립적으로 존재한다.

두 입장 모두 유물론적 철학에 반한다는 점이 주목할 만하다. 괴델은 평소 철학적 논증에 유보적이었지만, 해당 논증에 관해서만큼은 “수학적으로 입증된 사실”이라고 강하게 주장했다. 우리의 첫 번째 과제는, 과연 이 논증이 “수학적으로 입증된 사실”인지를 검증하는 것이다.

1.1. 괴델의 세 가지 주장

몇 가지 기호를 도입하자.

1. $F$는 형식 체계 $F$가 증명할 수 있는 모든 문장들의 집합이다.

2. $K$는 이상적인 인간 정신이 증명할 수 있는 모든 문장들의 집합이다.

3. $T$는 참인 문장들의 집합이다.

이 글에 걸쳐 $K \subseteq T$를 가정할 것이다. 또한 $F$는 괴델의 불완전성 정리가 적용되는 형식 체계 — 즉, 페아노 산술(사실 이 조건은 로빈슨 산술로 약화시킬 수 있다)을 포함하는 무모순적인 체계 — 임을 전제한다.

본론에 들어가기 앞서 괴델의 불완전성 정리를 복습해 보자.

괴델의 불완전성 정리. $F$가 산술을 포함하는 무모순적인 수학 체계일 때, 다음이 성립한다.

• 제1정리. 참이지만 $F$로 증명 불가능한 명제가 존재한다.
• 제2정리. $F$의 무모순성이 제1정리의 실례에 해당한다.

첨언하자면 전통적으로 불완전성 정리가 대상으로 하는 산술은 페아노 산술이지만, 로빈슨 산술을 비롯한 더 약한 산술 체계에서도 불완전성 정리가 성립한다.

1.1.1. 첫 번째 주장

괴델은 먼저 다음을 주장한다.

주장 1. $F \subseteq T \implies F \subsetneq T$

증명은 다음과 같다. $F \subseteq T$라면 $\mathrm{Con}(F) \in T$이다. 그런데 제2불완전성 정리에 의해 $\mathrm{Con}(F) \notin F$이다. 따라서 $F \subsetneq T$이다.

1.1.2. 두 번째 주장

괴델의 두 번째 주장은 다음과 같다.

주장 2. $K(F \subseteq T) \implies F \subsetneq K$

증명은 다음과 같다. $K(F \subseteq T)$라면 $\mathrm{Con}(F) \in K$이다. 하지만 앞서 보았듯이 $F \subseteq T \implies \mathrm{Con}(F) \notin F$이므로 $F \subsetneq K$이다.

그런데 만약 $F \subsetneq K$가 참이라면, 이것을 어떤 식으로 이해해야 할까? 한 가지 방식은 형식 체계의 위계를 생각하는 것이다.

괴델은 불완전성 정리가 시사하는 증명 불가능한 문장들이, 절대적으로 증명 불가능할 필요는 없다고 강조한다. 형식 체계 $F$에서 증명 불가능한 문장이 $F$보다 고차적인 체계에서는 증명 가능해질 수 있기 때문이다. 예를 들어 $\mathsf{PA}$가 무모순적이라면 $\mathsf{PA}$는 $\mathrm{Con}(\mathsf{PA})$를 증명하지 못하지만, 2차 페아노 산술 $\mathsf{PA}_2$는 $\mathrm{Con}(\mathsf{PA})$를 증명할 수 있음이 알려져 있다. 물론 $\mathsf{PA}_2$는 $\mathrm{Con}(\mathsf{PA}_2)$를 증명하지는 못하지만, 이것은 3차 페아노 산술에서 증명 가능하며, 이런 식의 위계가 이어진다.

그리고 이 위계 전체는 $K$에 포섭되는 것으로 보인다. 이 관점으로 보았을 때 각각의 형식 체계는 집합과 같고, $K$는 모든 집합을 모은 것과 같다. 그리고 모든 집합의 모임이 집합일 수 없듯이, $K$는 형식 체계일 수 없다는 유비가 성립한다.

1.1.3. 세 번째 주장

그런데 이런 의문이 든다. ”주장 2“를 조건문으로 적는 대신, $K(F \subsetneq T)$가 참이라고 주장함으로써 $F \subsetneq K$를 주장할 수는 없을까?

괴델은 불완전성 정리만으로 그런 주장에 도착할 수는 없다고 지적한다. 왜냐하면 $K$와 일치하는 형식 체계 $F^\ast$의 존재 가능성을 완전히 배제할 수는 없기 때문이다 (앞선 고차 페아노 산술과 관련된 논의는 어디까지나 유비였음에 유의하라).

이에 대해 괴델은 다음과 같이 말한다.

[만약 그러한 형식 체계가 존재한다면] 인간 이성은 — 적어도 수학적인 측면에서는 — 유한한 기계와 동등하다. 그러나 그 기계는 자기 자신의 동작을 [스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 점에서] 완전히 이해할 수는 없다. 이 불능은 인간에게 있어 정신의 무한한 확장성으로 오인될 것이다.

대신 괴델의 세 번째 주장은 다음과 같다. 이 주장이 괴델의 조건문이다.

주장 3. $\forall F (F \subsetneq K) \; \lor \; K \subsetneq T$

증명은 다음과 같다. $F^\ast = K$인 형식 체계 $F^\ast$가 있다고 가정하자. $K \subset T$를 가정했으므로 $F^\ast \subset T$이며, 주장 1에 의해 $F^\ast \subsetneq T$이다.

전자는 반기계주의를, 후자는 플라톤주의를 의미한다.

1.2. 괴델 조건문의 형식화

지금까지 우리는 괴델의 세 가지 주장을 제시하고, 그에 대한 간략한 증명을 소개했다. 하지만 이 증명들은 사실 정확하지 않았다. 왜냐하면 $F, K, T$의 엄밀한 정의를 도입하지 않았을 뿐더러, 어디까지가 형식 체계 내에서 증명 가능한 내용이고 어디까지가 형식 체계 외에서만 증명 가능한 내용인지 구분하지 않았기 때문이다. 이 한계를 극복하기 위해, $F, K, T$ 및 괴델의 세 가지 주장에 대한 증명을 엄밀하게 형식화해 보도록 한다.

1.2.1. $F$

$F$는 가장 형식화하기 쉬운 개념이다. 특히 다음 사실들이 알려져 있다.

형식 체계-튜링 기계 대응. $F$가 재귀적으로 공리화 가능한_{recursively axiomatisable} 형식 체계일 때, $F$로부터 증명 가능한 명제들을 재귀적으로 열거_{recursively enumerate}하는 튜링 기계가 존재한다.

덧붙이자면, 우리가 관심을 가질 만한 형식 체계는 재귀적으로 공리화 가능하다.

클레이니 술어의 재귀성. 튜링 기계의 작동은 페아노 산술 내에서 형식화될 수 있다. 구체적으로, 괴델 수가 $x$인 튜링 기계가 자연수 $y$를 입력받았을 때 괴델 수가 $z$인 작동 기록_{computation record}으로 끝나는지를 판단하는 1차 논리 술어 $K(x, y, z)$가 존재한다.

위 두 정리의 따름정리로 다음을 얻는다.

따름정리. 형식 체계는 재귀적으로 열거 가능하다. 즉, ”$e$번째 형식 체계“ $F_e$를 페아노 산술에서 정의할 수 있다.

예를 들어 $F_{123}$은 로빈슨 산술, $F_{456}$은 ZFC 등과 같은 식이다. $F_{123}(\ulcorner 1 + 1 = 2 \urcorner)$은 $1 + 1 = 2$가 로빈슨 산술에서 증명 가능하다는 것이다. 그리고 $\mathsf{PA} \vdash F_{123}(\ulcorner 1 + 1 = 2 \urcorner)$이다.

1.2.2. $T$

$T$의 형식적 정의로는 타르스키의 유형적 참 정의_{Tarski’s typed truth definition}가 가장 유망하다. 타르스키의 유형적 참 정의는 의미론적 정의가 아니라 형태론적 정의이지만, 현 논의의 목적으로는 적합하다. 타르스키의 정의는 다음을 비롯한 공리들로 이루어져 있다.

• $\forall x : \mathrm{Sent}(x) \rightarrow (T(\hat{\lnot} x) \leftrightarrow \lnot T(x))$

• $\forall x, y : [\mathrm{Sent}(x) \land \mathrm{Sent}(y)] \rightarrow [T(x\; \hat{\lor} \;y) \leftrightarrow T(x) \lor T(y)]$

여기서 $\mathrm{Sent}$는 주어진 문장(의 괴델 수)가 적형식인지를 판단한다. 한편 $\hat{\quad}$은 언어와 메타언어를 구분하기 위해 도입되는데, 자세한 설명은 크게 중요하지 않기 때문에 이 정도로 줄인다.

1.2.3. $K$

$K$는 세 개념 중 가장 까다로운 개념이다. 완전한 의미론적 정의를 제시할 수 없음은 물론, 형태론적 정의를 제시하기에도 의문스러운 구석이 많다. 그러나 이 글의 목표는 불완전성 정리로부터 $F \subsetneq K$를 직접적으로 보일 수 없음을 논증하는 것이므로, 자비의 원칙에 따라 $K$의 외연을 최대한으로 보장하는 다음의 형태론적 정의를 제시하도록 하겠다.

$K$의 형태론적 정의.

1. $\phi$가 논리적으로 참일 때, $K\phi$이다.
2. 임의의 문장 $\phi, \psi$에 대해 $(K(\phi \rightarrow \psi) \land K\phi) \rightarrow K\psi$이다.
3. 임의의 문장 $\phi$에 대해 $K\phi \rightarrow \phi$이다.
4. 임의의 문장 $\phi$에 대해 $K\phi \rightarrow KK\phi$이다.

여기서 $K$는 논리 연산자이다. 때문에 $K(\phi)$ 또는 $K(\ulcorner \phi \urcorner)$가 아닌 $K\phi$와 같이 적었다. $K$가 술어가 아닌 논리 연산자로 간주되어야 하는 이유는 본 논문의 주석 29를 참고하라.

1.2.4. $\mathsf{EA}$와 $\mathsf{EA}_T$

$F, K, T$에 대해 추론할 수 있는 형식 체계를 구성해 보자. 먼저 1.2.1에서 보았듯이 $F$는 이미 $\mathsf{PA}$에서 형식화 가능하므로 별다른 조치가 필요하지 않다.

$L_{\mathsf{EA}}$를 $\mathsf{PA}$에 함수 $K$를 추가한 것으로 정의하자. $\Sigma$를 $\mathsf{PA}$의 공리들과, $K$의 형태론적 정의의 공리들의 모임이라고 하자 (단, $\mathsf{PA}$의 귀납 공리꼴을 $L_{\mathsf{PA}}$가 아닌 $L_{\mathsf{EA}}$의 문장들에 대해 취한다). $\mathsf{EA}$의 공리는 $\Sigma \cup K\Sigma$이다.

$L_{\mathsf{EA}_T}$를 $\mathsf{EA}$에 술어 $T$를 추가한 것으로 정의하자. $\Sigma^\ast$를 $\Sigma$와, $T$의 형태론적 정의의 공리들의 모임이라고 하자 (단, $\mathsf{PA}$의 귀납 공리꼴을 $L_{\mathsf{EA}_T}$의 문장들에 대해 취한다. $\mathsf{EA}_T$의 공리는 $\Sigma^\ast \cup K\Sigma^\ast$이다.

1.3. 괴델 조건문의 형식적 증명

괴델의 세 가지 주장은 $\mathsf{EA}_T$에서 형식적으로 증명 가능함을 보인다.

1.3.1. 첫 번째 주장

주장 1. $F \subseteq T \implies F \subsetneq T$

이 주장은 $\mathsf{EA}_T$에서 쉽게 증명 가능하다. 괴델의 불완전성 정리의 직접적인 결과이기 때문이다.

1.3.2. 두 번째 주장

주장 2. $K(F \subseteq T) \implies F \subsetneq K$

이 주장 또한 $\mathsf{EA}_T$에서 증명 가능하다. 사실 다음의 더 강한 결과가 증명 가능하다.

라인하르트 제1정리. 임의의 문장 $\phi$에 대해

\[\mathsf{EA} \vdash K(F(\ulcorner \phi \urcorner) \rightarrow \phi)\]

라면, 어떤 문장 $\psi$가 존재하여

\[\mathsf{EA} \vdash K\psi \land K\lnot F(\ulcorner \psi \urcorner)\]

이다 (즉, $\mathsf{EA} \vdash F \subsetneq K$이다).

1.3.3. 세 번째 주장

주장 3. $\forall F (F \subsetneq K) \; \lor \; K \subsetneq T$

위 주장에서 $F \subsetneq K$를 풀어 쓰면 다음과 같다.

그리고 $K \subsetneq T$를 풀어 쓰면 다음과 같다.

그런데 여기에는 문제가 있다. 앞서 말했듯이 $K$는 술어가 아닌 논리 연산자이기 때문에 양화 맥락에 속할 수 없다. 이를테면 $\exists \phi : \lnot\phi$가 문법적으로 올바르지 않듯이 말이다. 이 문제를 회피하기 위해, $\exists x \; K(x)$라고 적는 대신 $\exists x\; T(\hat{K}x)$와 같이 적도록 한다. 따라서 주장 3의 올바른 형식화는 다음과 같다.

위 논리식을 $\mathrm{GD}$라고 하자. 다음 정리가 알려져 있다.

라인하르트 제2정리. $\mathsf{EA}_T \vdash \mathrm{GD}$.

따라서 괴델 조건문은 적절한 형식 체계 하에서 증명 가능하다.

2. 루카스와 펜로즈

2.1. 무모순성 판별 문제

루카스와 펜로즈는 $K(F \subseteq T)$임을 주장함으로써 $F \subsetneq K$를 직접적으로 보이고자 한다. 즉, 루카스와 펜로즈는 이상적인 인간 정식은 주어진 임의의 형식 체계가 모순적인지 아닌지를 판별할 능력이 있으며, 이에 따라 $\forall F \subseteq T: F \subsetneq K$라고 주장한다.

그러나 과연 이상적인 인간 정신에게 임의의 형식 체계의 무모순성을 판별할 능력이 있는지는 매우 의문스럽다. 일례로 $R$이 리만 가설이라고 하자. $R$은 페아노 산술에서 $\Pi_1$ 명제로 형식화될 수 있다. 그리고 앞서 언급했듯이 $\mathsf{PA}$는 $\Sigma_1$-완전하기 때문에, $\mathsf{PA} + R$의 무모순성은 $R$과 동치이다. 이 예시는 형식 체계의 무모순성 판별 문제가 리만 가설 이상으로 어려운 문제인 경우도 있음을 보여준다.

2.2. 기계주의의 상대적 무모순성

이 사실만으로 루카스와 펜로즈의 기획은 난관에 봉착하겠으나, 여기서 나아가 우리는 더 강력한 사실을 보일 수 있다. 그 사실이란, $K(F\subseteq T)$는 형식적으로 증명 불가능하다는 것이다. 왜냐하면 기계주의적 논제들이 $\mathsf{EA}_T$와 무모순적이기 때문이다.

이것을 보이기에 앞서, 기계주의적 논제들을 그 강도에 따라 분류하는 것이 유용하다. 이 글에서 채택하는 라인하르트의 구분법은 다음과 같다.

• 약한 기계주의_{Weak Mechanical Thesis, WMT}: $\exists e \; ( K = F_e )$
• 강한 기계주의_{Strong Mechanical Thesis, SMT}: $K\exists e\; (K = F_e)$
• 아주 강한 기계주의_{Super Strong Mechanical Thesis, SSMT}: $\exists e \; K(K = F_e)$

각각 풀어 설명하자면,

• WMT: 이상적인 인간 정신은 어떠한 튜링 기계와 동등하다.
• SMT: 이상적인 인간 정신은, 자신이 어떠한 튜링 기계와 동등함을 안다.
• SSMT: 이상적인 인간 정신은, 자신이 특정한 튜링 기계와 동등함을 안다.

다음이 알려져 있다.

라인하르트 제3정리. $\mathsf{EA}_T + \mathsf{SSMT}$는 모순적이다.

따라서 $\mathsf{EA}_T$의 공리를 가정하면 아주 강한 기계주의는 거짓이다. 요컨데 설령 이상적인 인간 정신과 동등한 컴퓨터가 주어지더라도, 우리는 그것이 정말로 인간 정신과 동등한지 알 수는 없다.

그러나 이 사실만으로 루카스와 펜로즈의 손을 들어주기는 어렵다. 기계주의의 핵심 논제는 우리와 동등한 능력을 가지는 기계의 판별법이 아닌 우리와 동등한 능력을 가지는 기계의 존재성이기 때문이다. 그리고 이에 관해서는 다음이 알려져 있다.

라인하르트 제4정리. $\mathsf{EA}_T + \mathsf{WMT}$는 무모순적이다.

더 나아가 다음이 알려져 있다.

칼슨의 정리. $\mathsf{EA}_T + \mathsf{SMT}$는 무모순적이다.

즉 $\mathsf{EA}_T$는 이상적인 인간 정신과 동등한 기계의 존재 가능성을 열어둘 뿐 아니라, 그 사실을 인간 정신이 스스로 입증하는 가능성 또한 열어둔다. 위 사실들은 불완전성 정리만으로 반기계주의를 입증하려는 시도가 수포로 돌아갈 수밖에 없음을 보여준다.

2.3. 괴델의 혜안

놀랍게도 괴델은 처음부터 이 모든 논의를 꿰고 있었던 것으로 보인다. 왕_Wang이 남긴 괴델과의 대화 회고에 따르면,

불완전성 정리는 인간의 수학적 직관과 동등한 결과를 내놓는 컴퓨터의 가능성 [$\exists e\; (F_e = K)$]을 배제하지 않는다. 그러나 다음을 시사하기는 한다. 만약 그 가능성이 — 비록 다른 고려 사항으로 인해 확률은 지극히 낮지만 — 사실이라면, 우리는 그러한 컴퓨터의 설계를 알 수 없거나 [$\lnot K (F_e = K)$], 그 컴퓨터가 올바르게 작동한다는 사실을 알 수 없다 [$\lnot K (F_e \subseteq T)$].

3. 결론

지금까지의 논의는 괴델의 조건문으로부터 반기계주의를 직접적으로 이끌어내려는 더이상의 시도를 방지하는 데 충분할 것이다. 그러나 논리학의 결과로부터 반기계주의를 논증하려는 또다른 접근 방식이 있다. 흔히 펜로즈의 새 논증이라고 불리는 이 논증은 타르스키의 유형적 참과는 구별되는, 유형 독립적 참_{type-free truth}을 내세우는 논증이다. 해당 논증의 형식화와 그것이 시사하는 바는 본 논문의 2편에서 다루도록 한다.

Can the Mind Be Reduced to a Machine: Gödel's Disjunction and the Penrose-Lucas Argument

This post was machine translated and has not yet been proofread. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.

This article is a summary of Peter Koellner, On the question of whether the mind can be mechanized (2018).

Abstract. The Church-Turing thesis and Gödel’s incompleteness theorems suggest the existence of mathematical truths that cannot be proved mechanically. However, if an ideal human mind can prove all mathematical truths, then the conclusion follows that the ideal human mind is not equivalent to a machine. This article examines the arguments of Lucas and Penrose, who attempt to establish anti-mechanism in such a manner, and introduces formal proofs that refute these arguments.

Introduction

The following are well-known results in logic:

• Church-Turing Thesis. To be computable by an ideal machine is to be implementable by a Turing machine.

• Gödel’s Incompleteness Theorem. If $F$ is a formal system satisfying certain conditions, then there exists a sentence that is true but unprovable in $F$.

• Formal System-Turing Machine Correspondence. If $F$ is a formal system satisfying certain conditions, then there exists a Turing machine that enumerates the propositions provable in $F$.

Combining these three theses with the fact that we humans appear to be capable of grasping mathematical truths not captured by formal systems—such as the consistency of arithmetic—the incompleteness theorem appears to suggest that the extension of mathematical results derivable by an ideal human mind exceeds the extension of results derivable by an ideal finite machine. That is, the incompleteness theorem appears to suggest anti-mechanism: that the mind cannot be reduced to a machine.

In this article, we examine how far this suggestion can be justified. As a result, we shall show that while the incompleteness theorem suggests anti-mechanism or Platonism, it does not directly suggest anti-mechanism.

1. Gödel’s Disjunction

Gödel argued that from the incompleteness theorem, it follows that at least one of the following two positions is true. We shall call this Gödel’s Disjunction.

1. Anti-mechanism: The mathematical results derivable by an ideal human mind always exceed the mathematical results derivable by an ideal finite machine. Therefore, the human mind cannot be reduced to a machine.

2. Platonism: There exist mathematical truths that cannot be grasped by an ideal human mind. Therefore, mathematical truth exists independently of the human mind.

It is noteworthy that both positions are contrary to materialist philosophy. while Gödel was generally reserved about philosophical arguments, he argued strongly that this particular argument was a “mathematically established fact”. Our first task is to verify whether this argument is indeed a “mathematically established fact”.

1.1. Gödel’s Three Claims

Let us introduce some notation.

1. $F$ is the set of all sentences that the formal system $F$ can prove.

2. $K$ is the set of all sentences that an ideal human mind can prove.

3. $T$ is the set of true sentences.

Throughout this article, we shall assume $K \subseteq T$. We also presuppose that $F$ is a formal system to which Gödel’s incompleteness theorem applies—that is, a consistent system containing Peano arithmetic (in fact, this condition can be weakened to Robinson arithmetic).

Before proceeding to the main discussion, let us review Gödel’s incompleteness theorem.

Gödel’s Incompleteness Theorem. When $F$ is a consistent mathematical system containing arithmetic, the following holds:

• First Theorem. There exists a proposition that is true but unprovable in $F$.
• Second Theorem. The consistency of $F$ is an instance of the First Theorem.

Incidentally, while the incompleteness theorem traditionally targets Peano arithmetic, the incompleteness theorem also holds for weaker arithmetic systems, including Robinson arithmetic.

1.1.1. First Claim

Gödel first claims the following:

Claim 1. $F \subseteq T \implies F \subsetneq T$

The proof is as follows. If $F \subseteq T$, then $\mathrm{Con}(F) \in T$. However, by the Second Incompleteness Theorem, $\mathrm{Con}(F) \notin F$. Therefore, $F \subsetneq T$.

1.1.2. Second Claim

Gödel’s second claim is as follows:

Claim 2. $K(F \subseteq T) \implies F \subsetneq K$

The proof is as follows. If $K(F \subseteq T)$, then $\mathrm{Con}(F) \in K$. However, as we have seen, $F \subseteq T \implies \mathrm{Con}(F) \notin F$, so $F \subsetneq K$.

But if $F \subsetneq K$ is true, how should we understand this? One approach is to consider a hierarchy of formal systems.

Gödel emphasises that the unprovable sentences suggested by the incompleteness theorem need not be absolutely unprovable. This is because sentences unprovable in formal system $F$ may become provable in systems of higher order than $F$. For example, if $\mathsf{PA}$ is consistent, then while $\mathsf{PA}$ cannot prove $\mathrm{Con}(\mathsf{PA})$, it is known that second-order Peano arithmetic $\mathsf{PA}_2$ can prove $\mathrm{Con}(\mathsf{PA})$. Of course, $\mathsf{PA}_2$ cannot prove $\mathrm{Con}(\mathsf{PA}_2)$, but this is provable in third-order Peano arithmetic, and such a hierarchy continues.

This entire hierarchy appears to be subsumed under $K$. From this perspective, each formal system is like a set, and $K$ is like the collection of all sets. And just as the collection of all sets cannot be a set, an analogy holds that $K$ cannot be a formal system.

1.1.3. Third Claim

However, one might wonder: instead of writing “Claim 2” as a conditional, could we not claim $F \subsetneq K$ by asserting that $K(F \subsetneq T)$ is true?

Gödel points out that the incompleteness theorem alone cannot lead to such a claim. This is because the possibility of the existence of a formal system $F^*$ that coincides with $K$ cannot be completely ruled out (note that the previous discussion regarding higher-order Peano arithmetic was merely an analogy).

Regarding this, Gödel says:

[If such a formal system exists] human reason—at least in its mathematical aspect—is equivalent to a finite machine. However, that machine cannot completely understand its own operation [in the sense that it cannot prove its own consistency]. This inability would be mistaken by humans as the infinite extensibility of the mind.

Instead, Gödel’s third claim is as follows. This claim is Gödel’s disjunction.

Claim 3. $\forall F (F \subsetneq K) \; \lor \; K \subsetneq T$

The proof is as follows. Suppose there is a formal system $F^$ such that $F^ = K$. Since we have assumed $K \subset T$, we have $F^* \subset T$, and by Claim 1, $F^* \subsetneq T$.

The former signifies anti-mechanism, while the latter signifies Platonism.

1.2. Formalisation of Gödel’s Disjunction

So far, we have presented Gödel’s three claims and introduced brief proofs thereof. However, these proofs were not actually precise. This is because we did not introduce rigorous definitions of $F, K, T$, nor did we distinguish between what content can be proved within a formal system and what content can only be proved outside a formal system. To overcome this limitation, let us rigorously formalise $F, K, T$ and the proofs of Gödel’s three claims.

1.2.1. $F$

$F$ is the easiest concept to formalise. In particular, the following facts are known:

Formal System-Turing Machine Correspondence. When $F$ is a recursively axiomatisable formal system, there exists a Turing machine that recursively enumerates the propositions provable from $F$.

Additionally, the formal systems of interest to us are recursively axiomatisable.

Recursiveness of Kleene Predicates. The operation of Turing machines can be formalised within Peano arithmetic. Specifically, there exists a first-order logical predicate $K(x, y, z)$ that determines whether a Turing machine with Gödel number $x$, when given natural number $y$ as input, terminates with a computation record with Gödel number $z$.

As a corollary of the above two theorems, we obtain:

Corollary. Formal systems are recursively enumerable. That is, the “$e$-th formal system” $F_e$ can be defined in Peano arithmetic.

For example, $F_{123}$ might be Robinson arithmetic, $F_{456}$ might be ZFC, and so forth. $F_{123}(\ulcorner 1 + 1 = 2 \urcorner)$ means that $1 + 1 = 2$ is provable in Robinson arithmetic. And $\mathsf{PA} \vdash F_{123}(\ulcorner 1 + 1 = 2 \urcorner)$.

1.2.2. $T$

The most promising formal definition of $T$ is Tarski’s typed truth definition. while Tarski’s typed truth definition is a syntactic rather than semantic definition, it is suitable for the purposes of the present discussion. Tarski’s definition consists of axioms including the following:

• $\forall x : \mathrm{Sent}(x) \rightarrow (T(\hat{\lnot} x) \leftrightarrow \lnot T(x))$

• $\forall x, y : [\mathrm{Sent}(x) \land \mathrm{Sent}(y)] \rightarrow [T(x\; \hat{\lor} \;y) \leftrightarrow T(x) \lor T(y)]$

Here, $\mathrm{Sent}$ determines whether a given sentence (or its Gödel number) is well-formed. Meanwhile, $\hat{\quad}$ is introduced to distinguish between language and meta-language; a detailed explanation is not particularly important, so we shall leave it at this.

1.2.3. $K$

$K$ is the most challenging of the three concepts. Not only can we not provide a complete semantic definition, but there are also questionable aspects to providing a syntactic definition. However, since the goal of this article is to demonstrate that $F \subsetneq K$ cannot be directly shown from the incompleteness theorem, according to the principle of charity, we shall present the following syntactic definition that maximally guarantees the extension of $K$.

Syntactic Definition of $K$.

1. When $\phi$ is logically true, $K\phi$.
2. For arbitrary sentences $\phi, \psi$: $(K(\phi \rightarrow \psi) \land K\phi) \rightarrow K\psi$.
3. For arbitrary sentence $\phi$: $K\phi \rightarrow \phi$.
4. For arbitrary sentence $\phi$: $K\phi \rightarrow KK\phi$.

Here, $K$ is a logical operator. Therefore, we write $K\phi$ rather than $K(\phi)$ or $K(\ulcorner \phi \urcorner)$. For the reason why $K$ should be regarded as a logical operator rather than a predicate, see footnote 29 of the original paper.

1.2.4. $\mathsf{EA}$ and $\mathsf{EA}_T$

Let us construct a formal system capable of reasoning about $F, K, T$. Firstly, as we saw in 1.2.1, $F$ is already formalisable in $\mathsf{PA}$, so no special measures are required.

Let $L_{\mathsf{EA}}$ be defined as $\mathsf{PA}$ with the function $K$ added. Let $\Sigma$ be the collection of axioms of $\mathsf{PA}$ and the axioms of the syntactic definition of $K$ (where the induction schema of $\mathsf{PA}$ is taken over sentences of $L_{\mathsf{EA}}$ rather than $L_{\mathsf{PA}}$). The axioms of $\mathsf{EA}$ are $\Sigma \cup K\Sigma$.

Let $L_{\mathsf{EA}T}$ be defined as $\mathsf{EA}$ with the predicate $T$ added. Let $\Sigma^*$ be the collection of $\Sigma$ and the axioms of the syntactic definition of $T$ (where the induction schema of $\mathsf{PA}$ is taken over sentences of $L{\mathsf{EA}_T}$). The axioms of $\mathsf{EA}_T$ are $\Sigma^* \cup K\Sigma^*$.

1.3. Formal Proof of Gödel’s Disjunction

We show that Gödel’s three claims are formally provable in $\mathsf{EA}_T$.

1.3.1. First Claim

Claim 1. $F \subseteq T \implies F \subsetneq T$

This claim is easily provable in $\mathsf{EA}_T$. This is because it is a direct consequence of Gödel’s incompleteness theorem.

1.3.2. Second Claim

Claim 2. $K(F \subseteq T) \implies F \subsetneq K$

This claim is also provable in $\mathsf{EA}_T$. In fact, the following stronger result is provable:

Reinhardt’s First Theorem. For arbitrary sentence $\phi$, if

\[\mathsf{EA} \vdash K(F(\ulcorner \phi \urcorner) \rightarrow \phi)\]

then there exists some sentence $\psi$ such that

\[\mathsf{EA} \vdash K\psi \land K\lnot F(\ulcorner \psi \urcorner)\]

(that is, $\mathsf{EA} \vdash F \subsetneq K$).

1.3.3. Third Claim

Claim 3. $\forall F (F \subsetneq K) \; \lor \; K \subsetneq T$

Expanding $F \subsetneq K$ in the above claim gives:

And expanding $K \subsetneq T$ gives:

However, there is a problem here. As mentioned earlier, since $K$ is a logical operator rather than a predicate, it cannot be placed within a quantified context. Just as $\exists \phi : \lnot\phi$ is not grammatically correct. To circumvent this problem, instead of writing $\exists x \; K(x)$, we write $\exists x\; T(\hat{K}x)$. Therefore, the correct formalisation of Claim 3 is as follows:

Let us call the above formula $\mathrm{GD}$. The following theorem is known:

Reinhardt’s Second Theorem. $\mathsf{EA}_T \vdash \mathrm{GD}$.

Therefore, Gödel’s disjunction is provable under an appropriate formal system.

2. Lucas and Penrose

2.1. The Consistency Decision Problem

Lucas and Penrose attempt to directly show $F \subsetneq K$ by claiming $K(F \subseteq T)$. That is, Lucas and Penrose argue that the ideal human mind has the ability to determine whether any given formal system is consistent or not, and accordingly claim $\forall F \subseteq T: F \subsetneq K$.

However, it is highly questionable whether the ideal human mind has the ability to determine the consistency of arbitrary formal systems. For instance, let $R$ be the Riemann hypothesis. $R$ can be formalised as a $\Pi_1$ proposition in Peano arithmetic. And as mentioned earlier, since $\mathsf{PA}$ is $\Sigma_1$-complete, the consistency of $\mathsf{PA} + R$ is equivalent to $R$. This example shows that there are cases where the consistency decision problem for formal systems is at least as difficult as the Riemann hypothesis.

2.2. Relative Consistency of Mechanism

This fact alone would put Lucas and Penrose’s project in difficulty, but we can go further and show a more powerful fact. That fact is that $K(F\subseteq T)$ is formally unprovable. This is because mechanistic theses are consistent with $\mathsf{EA}_T$.

Before showing this, it is useful to classify mechanistic theses according to their strength. Reinhardt’s classification adopted in this article is as follows:

• Weak Mechanical Thesis (WMT): $\exists e \; ( K = F_e )$
• Strong Mechanical Thesis (SMT): $K\exists e\; (K = F_e)$
• Super Strong Mechanical Thesis (SSMT): $\exists e \; K(K = F_e)$

To explain each:

• WMT: The ideal human mind is equivalent to some Turing machine.
• SMT: The ideal human mind knows that it is equivalent to some Turing machine.
• SSMT: The ideal human mind knows that it is equivalent to a specific Turing machine.

The following is known:

Reinhardt’s Third Theorem. $\mathsf{EA}_T + \mathsf{SSMT}$ is inconsistent.

Therefore, assuming the axioms of $\mathsf{EA}T$, the super strong mechanical thesis is false. In short, even if a computer equivalent to the ideal human mind were given, we could not know whether it is _truly equivalent to the human mind.

However, this fact alone is insufficient to support Lucas and Penrose. This is because the core thesis of mechanism is not the method of identifying machines with capabilities equivalent to ours, but the existence of machines with capabilities equivalent to ours. Regarding this, the following is known:

Reinhardt’s Fourth Theorem. $\mathsf{EA}_T + \mathsf{WMT}$ is consistent.

Furthermore, the following is known:

Carlson’s Theorem. $\mathsf{EA}_T + \mathsf{SMT}$ is consistent.

That is, $\mathsf{EA}_T$ not only leaves open the possibility of the existence of a machine equivalent to the ideal human mind, but also leaves open the possibility that the human mind can prove this fact itself. These facts show that attempts to establish anti-mechanism solely through the incompleteness theorem are bound to fail.

2.3. Gödel’s Insight

Remarkably, Gödel appears to have understood all of this discussion from the beginning. According to Wang’s recollections of conversations with Gödel:

The incompleteness theorem does not rule out the possibility of a computer that produces results equivalent to human mathematical intuition [$\exists e\; (F_e = K)$]. However, it does suggest the following: if that possibility—though the probability is extremely low due to other considerations—is true, then either we cannot know the design of such a computer [$\lnot K (F_e = K)$], or we cannot know that the computer operates correctly [$\lnot K (F_e \subseteq T)$].

3. Conclusion

The discussion thus far should be sufficient to prevent further attempts to directly derive anti-mechanism from Gödel’s disjunction. However, there is another approach to arguing for anti-mechanism from logical results. This argument, commonly called Penrose’s new argument, is an argument that puts forward type-free truth, as distinguished from Tarski’s typed truth. The formalisation of this argument and its implications will be addressed in Part 2 of this paper.

산술 위계

주의. 이 글은 뇌피셜로 쓰였기 때문에 엄밀하지 않고, 심지어 틀린 내용이 있을 수 있습니다.

산술 위계(arithmetical hierarchy)는 산술 — 엄밀히는 1차 페아노 산술 — 의 명제들을 양화사의 복잡도에 따라 분류한 것이다. 산술 위계는 증명 이론 및 계산 복잡도 이론의 핵심 개념이며, 기술적 집합론과도 연관이 있다.

1. $\Delta_0$ 명제

1.1. 정의

정의. $\Sigma_0 = \Pi_0 = \Delta_0$는 상한이 있는 양화사만을 가지는 명제들의 집합이다.

왜 같은 부류의 명제를 세 개의 이름으로 부르는지는 곧 명확해질 것이다. 이 글에서는 특별한 이유가 없을 때에는 세 이름 중 $\Delta_0$라는 이름을 대표로 사용하겠다.

예를 들어 다음 네 명제들은 모두 $\Delta_0$ 명제들이다.

$\phi_1$은 거짓인 문장이다. $\phi_2$는 $x$가 짝수일 때, $\phi_3$는 $x$가 $y$의 약수일 때 참인 명제이다.

$\Delta_0$ 명제들은 양화사에 상한이 걸려 있기 때문에, 임의의 $x$가 주어졌을 때 $x$가 해당 명제에 부합하는지를 튜링 기계로 판단할 수 있다. 예를 들어 $x$가 $\phi_2$를 만족하는지 판단하는 튜링 기계는 다음과 같다.

for y < x:
   if y + y == x:
      return true;

return false;

위 튜링 기계는 $x$번의 반복 이내에 정지한다. 따라서 $\Delta_0$는 또는 튜링 기계 등의 기계 장치로 결정 가능(decidable)한, 또는 재귀적인(recursive), 또는 계산 가능(computable)한 명제들이다(세 표현은 동의어이다). 그러나 뒤에서 자세히 설명하듯이, 모든 결정 가능한 명제들이 $\Delta_0$인 것은 아니다.

괴델의 표현가능성 정리에 따라 결정 가능한 참인 명제는 증명 가능하다. 그리고 이 글에서 $\phi$가 ‘참’이라 함은, $\mathsf{PA} \vDash \phi$가 아니라, 표준 자연수 모형 $\mathcal{N}$에 대해 $\mathcal{N} \vDash \phi$라는 의미이다. 다시 말해, 다음이 성립한다.

정리. 참인 $\Delta_0$ 문장들의 집합은 완전하다. (즉, $\phi$가 참인 $\Delta_0$ 문장이라면 $\mathsf{PA} \vdash \phi$이다.)

1.2. 계산 이론에서의 $\Delta_0$

프로그래밍 언어의 관점에서 보았을 때 $\Delta_0$ 문장들은 다음만을 허용하는 코드의 집합과 대응된다.

• 조건문
• 상한이 있는 반복문
• 덧셈과 곱셈

주의할 점은, 상한이 없는 반복문과 변수 재지정은 허용되지 않는다는 것이다. 예를 들어 다음의 코드는 소수 판별이 $\Delta_0$임을 입증한다.

for y < x:
  for z <= y:
    if yz == x:
      return false;

return true;

그러나 $x^y$를 계산하는 다음의 코드는 $\Delta_0$에 해당되지 않는다.

let a = 1
for 1<= z <= y:
   a = a * x

return a

그렇다면 지수 연산은 $\Delta_0$가 아닌 것일까? 그렇지는 않다. 복잡하긴 하지만, $\Delta_0$ 명제로 지수를 표현하는 방법이 있다. 이 사례는 주어진 연산 또는 술어가 $\Delta_0$인지 판단하는 일이 까다로울 수 있음을 방증한다. 일례로 다음이 알려져 있다.

정리. 팩토리얼은 $\Delta_0$이지만 테트레이션은 $\Delta_0$가 아니다.

그러나 테트레이션은 결정 가능하다. 따라서 모든 결정 가능한 명제들이 $\Delta_0$인 것은 아니다.

2. 한 단계 올라가기

정의.

\[\begin{gather} \Sigma_1 := \{ \exists x_1 \cdots \exists x_n \;\phi : \phi \in \Pi_0 \}\\ \Pi_1 := \{ \forall x_1 \cdots \forall x_n \;\phi : \phi \in \Sigma_0 \}\\ \Delta_1 := \Sigma_1 \cap \Pi_1 \end{gather}\]

2.1. $\Sigma_1$ 명제

다음 명제들은 $\Sigma_1$이다.

$\phi_1$은 집합 $\lbrace 1, 3, 7, 13, \dots \rbrace$에서 참이다. $\phi_2$는 골드바흐의 추측으로, 모든 $x$가 이를 만족하는지는 알려져 있지 않다.

$\Sigma_1$은 재귀적으로 열거 가능(recursively enumerable)한 집합들의 모임이다. 즉, $\phi \in \Sigma_1$이라면 다음의 튜링 기계 $M$이 존재한다.

• $\phi(c)$가 참이라면 $M$이 $\phi(c)$를 결정함이 보장된다.
• $\phi(c)$가 거짓이라면 $M$이 $\phi(c)$를 결정함이 보장되지 않는다.

예를 들어 다음의 튜링 기계는 $\phi_2$가 재귀적으로 열거 가능함을 보여준다.

for y > 1:
   for z > 1:
      if isPrime(y) & isPrime(z) & x = y + z & isEven(x):
         return true;

return false;

return false 문이 있기는 하지만, 반복문에서 빠져나올 break 문이 없으므로 return false는 도달 불가능하다. 즉, $\phi_2(c)$가 참이라면 위의 튜링 기계는 참을 반환하지만 거짓이라면 무한 루프에 빠진다.

$\phi \in \Sigma_1$이 표준 자연수 모형에서 참인 문장이라면 $\mathsf{PA} \vdash \phi$이다. $\phi : \exists x \; \psi(x)$ 꼴의 명제가 표준 자연수 모형에서 참이라는 것은 어떤 $c \in \mathbb{N}$에 대해 $\psi(c)$가 참이라는 의미이며, $\psi(c)$는 참인 $\Pi_0$ 문장이므로 증명 가능하기 때문이다. 따라서 다음이 성립한다.

정리. 참인 $\Sigma_1$ 문장들의 집합은 완전하다.

2.2. $\Sigma_1 \setminus \Delta_0$ 명제

그런데 사실 지금까지 필자는 독자를 오도했다. 앞서 $\Sigma_1$의 예시로 나열한 명제들은 사실 $\Delta_0$로 쓸 수 있기 때문이다.

그렇다면 $\Delta_0$에 속하지 않는 $\Sigma_1$ 명제는 어떻게 생겼을까? 한 가지 답은 정지 문제에서 찾을 수 있다.

먼저 $\mathrm{HaltsIn}(x, n)$를, “괴델 수가 $x$인 튜링 기계”가 $n$회의 연산 이내에 출력값을 내놓는지를 판별하는 술어라고 하자. 이 술어는 클레이니 술어로부터 쉽게 정의할 수 있으며, 클레이니 술어는 $\Sigma_0$임이 알려져 있다. 예를 들어 3의 제곱을 2회의 연산으로 계산하는 튜링 기계의 괴델 수가 $123$이라면 $\mathrm{HaltsIn}(123, 3)$은 참이지만 $\mathrm{HaltsIn}(123, 1)$는 거짓이다.

이제 다음 명제를 고려하자.

위 명제가 말하는 바는, 괴델 수가 $x$인 튜링 기계가 언젠가 정지한다는 것이다. 즉, 위 명제는 정지 문제와 동치이다. 그런데 정지 문제는 결정 불가능하다. 앞서 $\Delta_0$ 명제는 모두 결정 가능함을 보았으므로, $\phi$는 $\Delta_0$에 속하지 않는 $\Sigma_1$ 명제이다.

다른 예시로, 다음 명제를 고려하자.

여기서 $\mathrm{Proves}(x, y)$는 “괴델 수가 $x$인 문장의 증명”의 괴델 수가 $y$일 때 참인 술어이다. 즉, $\phi_2(x)$는 괴델 수가 $x$인 문장이 증명 가능하다는 술어이다. 그런데 이 술어는 결정 가능하지 않다. 만약 $\phi_2$가 결정 가능하다면 (PA가 무모순적이라는 가정 하에) $\phi_2(\ulcorner 0 = 1 \urcorner)$이 거짓이라는 증명이 PA에 존재하게 되어 괴델의 불완전성 정리와 상충하기 때문이다.

2.3. $\Pi_1$ 명제

$\Sigma_1$ 명제가 재귀적으로 열거 가능한 명제들의 모임이라면, $\Pi_1$ 명제는 쌍대-재귀적으로 열거 가능한(co-recursively enumerable) 명제들의 모임이다. 즉 $\Pi_1$의 문장은 거짓이라면 결정 가능하지만 참이라면 결정 가능성이 보장되지 않는다. 예를 들어 다음 두 명제는 $\Delta_0$가 아닌 $\Pi_1$ 문장이다.

$\Sigma_1$의 경우와 달리, $\Pi_1$은 완전하지 않다. $\Sigma_1$ 문장의 부정이 $\Pi_1$이기 때문에, $\Pi_1$ 또한 완전하다면 $\Sigma_1 = \Pi_1=$ (결정 가능한 명제들의 모임)이 되기 때문이다.

정리. 참인 $\Pi_1$ 문장들의 집합은 완전하지 않다.

2.4. $\Delta_1$ 명제

$\Delta_1$ 명제는 $\Sigma_1$과 $\Pi_1$에 모두 속한다. 따라서 $\Delta_1$은 결정 가능한 명제들의 모임이다. 앞서 본 테트레이션은 $\Delta_0$가 아닌 $\Delta_1$ 명제이다.

3. 한 단계 더 올라가기

정의.

\[\begin{gather} \Sigma_2 := \{ \exists x_1 \cdots \exists x_n \;\phi : \phi \in \Pi_1 \}\\ \Pi_2 := \{ \forall x_1 \cdots \forall x_n \;\phi : \phi \in \Sigma_1 \}\\ \Delta_2 := \Sigma_2 \cap \Pi_2 \end{gather}\]

이제 패턴이 보일 거라 생각한다. $\Sigma_2$ 명제의 예시로, 다음을 보자.

여기서 $\mathrm{DoesNotHaltOn}(x, y)$는, “괴델 수가 $x$인 튜링 기계”에 $y$를 입력했을 때 정지하지 않으면 참인 술어이다. 앞선 논의로부터 $\mathrm{DoesNotHaltOn}$이 $\Pi_1$임을 어렵지 않게 알 수 있다.

정리. $\phi_5 \notin \Pi_1$

증명. $\phi_5 \in \Pi_1$이라고 가정하자. 우리의 목표는 이 가정이 “참인 $\Pi_1$ 문장들의 집합은 완전하다”를 시사함을 보이는 것이다.

$\psi(x)$가 임의의 $\Delta_0$ 명제라고 하자. $\theta : \forall x \;\psi(x)$는 $\Pi_1$ 문장이다. 다음의 튜링 기계 $M$을 생각하자.

if ψ(x):
   return 1;

while True:

이 튜링 기계는 값 $x$에 대해 $\psi(x)$가 참이면 정지하고 거짓이면 정지하지 않는다. 따라서 $\theta$가 참이라는 것은 모든 $x$에 대해 $M$이 정지한다는 것과 동치이며, 이것은 $\phi_5(\ulcorner M \urcorner)$이 거짓임과 동치이다. 그리고 가정에 의해 $\phi_5 \in \Pi_1$이므로, $\phi_5(\ulcorner M \urcorner)$이 거짓이라면 $\mathsf{PA} \vdash \lnot \phi(\ulcorner M \urcorner)$이다. 즉, $\mathsf{PA} \vdash \theta$가 되어 모든 참인 $\Pi_1$ 문장은 증명 가능하게 된다. 이것은 모순이다. ■

Remark. 엄밀히는 위의 증명이 PA 내에서 표현 가능함을 보여야 한다.

앞서 $\Sigma_1$ 명제는 참일 때 결정 가능하고, $\Pi_1$ 명제는 거짓일 때 결정 가능하다고 했다. 그런데 $\Sigma_2$ 문장은 $\forall$과 $\exists$가 섞여 있기 때문에, 참일 때에도, 거짓일 때에도 결정이 불가능한 문장이 있을 수 있다.

3.1. 오라클

정의. $\mathcal{O}$가 단 한 번의 연산으로 문제 $P$의 결과를 구할 수 있을 때 $\mathcal{O}$을 $P$의 오라클이라고 한다.

예를 들어 정지 문제의 오라클은 주어진 튜링 기계의 정지 연부를 단 한 번의 연산으로 알아낼 수 있는, 그야말로 신적인 존재다.

산술 위계를 오르는 것은 점점 더 강한 오라클이 주어지는 것과 같다. 앞서 $\Sigma_1$ 명제의 예시로 다음을 보았다.

그런데 만약 정지 문제 오라클 $\mathcal{O}$가 주어졌다면, $\phi_1$은 $\Delta_0$ 명제로 단순하게 표현 가능하다.

또한 앞서 $\Sigma_2$ 명제의 예시로 다음을 보았다.

정지 문제 오라클 $\mathcal{O}$가 주어졌다면, $\phi_5$는 $\Sigma_1$ 명제로 표현 가능하다.

여기서 $x|_y$는 괴델 수가 $x$인 튜링 기계에 $y$를 입력한 상태의 괴델 수이다. 즉, $\Sigma_2$ 명제는 정지 문제의 오라클이 주어졌을 때 $\Sigma_1$ 명제로 환원된다. 비슷한 원리로, $\Pi_2$ 명제와 $\Delta_2$ 명제는 각각 정지 문제의 오라클이 주어졌을 때 $\Pi_1$ 명제와 $\Delta_1$ 명제로 환원된다.

나아가 2차 오라클을 정의할 수 있다. 2차 정지 문제 오라클은, 정지 문제 오라클을 사용하는 튜링 기계들에 대한 정지 문제 오라클이다. 예를 들어 $\mathcal{O}$가 다음 코드의 정지 여부를 판단하는 데 그치는 데 반해,

for x > 0:
   for y > 0:
      for z > 0:
         for n > 2:
            if x^n + y^n == z^n:
               return True;
return False;

$\mathcal{O}^2$은 다음 코드의 정지 여부를 판단할 수도 있다. 다음의 코드는 NP 튜링 기계의 괴델 수 $x$를 입력받았을 때, $x$와 출력이 일치하는 P 튜링 기계가 존재하면 정지하고 존재하지 않으면 정지하지 않는다.

let x ∈ NP;
for y ∈ P:
   if !Halts(
      let z = 0
      while x(z) == y(z):
         z = z + 1
   ):
      return 1; // x가 P에 속하는 NP일 때 정지

일반적으로 다음이 성립한다.

정리. $\Pi_n, \Sigma_n, \Delta_n$의 명제들은 $k$차 오라클이 주어졌을 때 각각 $\Pi_{n - k}, \Sigma_{n - k}, \Delta_{n - k}$의 명제들이 된다.

Arithmetic Hierarchy

This post was machine translated and has not yet been proofread. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.

Warning. This article was written informally and may therefore lack rigour or even contain incorrect content.

The arithmetic hierarchy is a classification of propositions in arithmetic — more precisely, first-order Peano arithmetic — according to the complexity of their quantifiers. The arithmetic hierarchy is a central concept in proof theory and computational complexity theory, and is also related to descriptive set theory.

1. $\Delta_0$ Propositions

1.1. Definition

Definition. $\Sigma_0 = \Pi_0 = \Delta_0$ is the set of propositions containing only bounded quantifiers.

Why the same class of propositions is referred to by three names will become clear shortly. In this article, unless there is a specific reason otherwise, we shall use $\Delta_0$ as the representative name among the three.

For example, the following four propositions are all $\Delta_0$.

$\phi_1$ is a false statement. $\phi_2$ is true when $x$ is even, and $\phi_3$ is true when $x$ is a divisor of $y$.

Since $\Delta_0$ propositions have bounded quantifiers, it is possible to determine whether an arbitrary $x$ satisfies the corresponding proposition using a Turing machine. For instance, a Turing machine that determines whether $x$ satisfies $\phi_2$ is as follows:

for y < x:
   if y + y == x:
      return true;

return false;

The above Turing machine halts within $x$ iterations. Therefore, $\Delta_0$ propositions are decidable, recursive, or computable (the three expressions are synonymous). However, as we shall explain in detail later, not all decidable propositions are $\Delta_0$.

According to Gödel’s representability theorem, decidable true propositions are provable. In this article, when we say that $\phi$ is ‘true’, we mean $\mathcal{N} \vDash \phi$ for the standard model of arithmetics $\mathcal{N}$, rather than $\mathsf{PA} \vDash \phi$.

The following holds:

Theorem. The set of true $\Delta_0$ sentences is complete. (That is, if $\phi$ is a true $\Delta_0$ sentence, then $\mathsf{PA} \vdash \phi$.)

1.2. $\Delta_0$ in Computational Theory

From a programming language perspective, $\Delta_0$ sentences correspond to the set of code that permits only the following:

• Conditional statements
• Bounded loops
• Addition and multiplication

It should be noted that unbounded loops and variable reassignment are not permitted. For example, the following code demonstrates that primality testing is $\Delta_0$:

for y < x:
  for z <= y:
    if yz == x:
      return false;

return true;

However, the following code that computes $x^y$ does not correspond to $\Delta_0$:

let a = 1
for 1<= z <= y:
   a = a * x

return a

So is exponentiation not $\Delta_0$? Not necessarily. Although complex, there are methods to express exponentiation with a $\Delta_0$ proposition. This case demonstrates that determining whether a given operation or predicate is $\Delta_0$ can be intricate. For instance, the following is known:

Theorem. Factorial is $\Delta_0$, but tetration is not $\Delta_0$.

However, tetration is decidable. Therefore, not all decidable propositions are $\Delta_0$.

2. Moving Up One Level

Definition.

\[\begin{gather} \Sigma_1 := \{ \exists x_1 \cdots \exists x_n \;\phi : \phi \in \Pi_0 \}\\ \Pi_1 := \{ \forall x_1 \cdots \forall x_n \;\phi : \phi \in \Sigma_0 \}\\ \Delta_1 := \Sigma_1 \cap \Pi_1 \end{gather}\]

2.1. $\Sigma_1$ Propositions

The following propositions are $\Sigma_1$:

$\phi_1$ is true in the set $\lbrace 1, 3, 7, 13, \ldots\rbrace $. $\phi_2$ is Goldbach’s conjecture; it is not known whether all $x$ satisfy this.

$\Sigma_1$ is the collection of recursively enumerable sets. That is, if $\phi \in \Sigma_1$, then there exists a Turing machine $M$ such that:

• If $\phi(c)$ is true, then $M$ is guaranteed to decide $\phi(c)$.
• If $\phi(c)$ is false, then $M$ is not guaranteed to decide $\phi(c)$.

For example, the following Turing machine shows that $\phi_2$ is recursively enumerable:

for y > 1:
   for z > 1:
      if isPrime(y) & isPrime(z) & x = y + z & isEven(x):
         return true;

return false;

Although there is a return false statement, since there is no break statement to exit the loop, return false is unreachable. That is, if $\phi_2(c)$ is true, the above Turing machine returns true, but if it is false, it falls into an infinite loop.

If $\phi \in \Sigma_1$ is a sentence that is true in the standard model of arithmetics, then $\mathsf{PA} \vdash \phi$. A proposition of the form $\phi : \exists x \; \psi(x)$ being true in the standard model of arithmetics means that $\psi(c)$ is true for some $c \in \mathbb{N}$, and since $\psi(c)$ is a true $\Pi_0$ sentence, it is provable. Therefore, the following holds:

Theorem. The set of true $\Sigma_1$ sentences is complete.

2.2. $\Sigma_1 \setminus \Delta_0$ Propositions

However, I have in fact been misleading the reader thus far. The propositions I listed earlier as examples of $\Sigma_1$ can actually be written as $\Delta_0$:

So what do propositions that strictly belong to $\Sigma_1$ look like? One answer can be found in the halting problem.

First, let $\mathrm{HaltsIn}(x, n)$ be a predicate that determines whether “the Turing machine with Gödel number $x$” produces an output within $n$ operations. This predicate can be easily defined from the Kleene predicate, and the Kleene predicate is known to be $\Sigma_0$. For example, if the Gödel number of a Turing machine that computes the square of 3 in 2 operations is $123$, then $\mathrm{HaltsIn}(123, 3)$ is true but $\mathrm{HaltsIn}(123, 1)$ is false.

Now consider the following proposition:

What this proposition states is that the Turing machine with Gödel number $x$ eventually halts. That is, the above proposition is equivalent to the halting problem. However, the halting problem is undecidable. Since we showed earlier that all $\Delta_0$ propositions are decidable, $\phi$ is a $\Sigma_1$ proposition that does not belong to $\Delta_0$.

As another example, consider the following proposition:

Here, $\mathrm{Proves}(x, y)$ is a predicate that is true when the Gödel number of “a proof of the sentence with Gödel number $x$” is $y$. That is, $\phi_2(x)$ is a predicate stating that the sentence with Gödel number $x$ is provable. However, this predicate is not decidable. If $\phi_2$ were decidable, then (under the assumption that PA is consistent) there would exist a proof in PA that $\phi_2(\ulcorner 0 = 1 \urcorner)$ is false, which would conflict with Gödel’s incompleteness theorem.

2.3. $\Pi_1$ Propositions

If $\Sigma_1$ propositions are the collection of recursively enumerable propositions, then $\Pi_1$ propositions are the collection of co-recursively enumerable propositions. That is, a $\Pi_1$ sentence is decidable if false, but not necessarily decidable if true. For example, the following two propositions are $\Pi_1$ sentences that are not $\Delta_0$:

Unlike the case of $\Sigma_1$, $\Pi_1$ is not complete. Since the negation of a $\Sigma_1$ sentence is $\Pi_1$, if $\Pi_1$ were also complete, then $\Sigma_1 = \Pi_1 =$ (collection of decidable propositions).

Theorem. The set of true $\Pi_1$ sentences is not complete.

2.4. $\Delta_1$ Propositions

$\Delta_1$ propositions belong to both $\Sigma_1$ and $\Pi_1$. Therefore, $\Delta_1$ is the collection of decidable propositions. The tetration we saw earlier is a $\Delta_1$ proposition that is not $\Delta_0$.

3. Moving Up Another Level

Definition.

\[\begin{gather} \Sigma_2 := \{ \exists x_1 \cdots \exists x_n \;\phi : \phi \in \Pi_1 \}\\ \Pi_2 := \{ \forall x_1 \cdots \forall x_n \;\phi : \phi \in \Sigma_1 \}\\ \Delta_2 := \Sigma_2 \cap \Pi_2 \end{gather}\]

I believe the pattern should now be clear. As an example of a $\Sigma_2$ proposition, consider the following:

Here, $\mathrm{DoesNotHaltOn}(x, y)$ is a predicate that is true if “the Turing machine with Gödel number $x$” does not halt when given input $y$. From the preceding discussion, it is not difficult to see that $\mathrm{DoesNotHaltOn}$ is $\Pi_1$.

Theorem. $\phi_5 \notin \Pi_1$

Proof. Suppose $\phi_5 \in \Pi_1$. Our goal is to show that this assumption implies “the set of true $\Pi_1$ sentences is complete”.

Let $\psi(x)$ be an arbitrary $\Delta_0$ proposition. Then $\theta : \forall x \;\psi(x)$ is a $\Pi_1$ sentence. Consider the following Turing machine $M$:

if ψ(x):
   return 1;

while True:

This Turing machine halts for value $x$ if $\psi(x)$ is true and does not halt if it is false. Therefore, $\theta$ being true is equivalent to $M$ halting for all $x$, which is equivalent to $\phi_5(\ulcorner M \urcorner)$ being false. By assumption, $\phi_5 \in \Pi_1$, so if $\phi_5(\ulcorner M \urcorner)$ is false, then $\mathsf{PA} \vdash \lnot \phi(\ulcorner M \urcorner)$. That is, $\mathsf{PA} \vdash \theta$, making all true $\Pi_1$ sentences provable. This is a contradiction. ■

Remark. Strictly speaking, one should show that the above proof is expressible within PA.

We said earlier that $\Sigma_1$ propositions are decidable when true, and $\Pi_1$ propositions are decidable when false. However, since $\Sigma_2$ sentences have mixed $\forall$ and $\exists$ quantifiers, there may be sentences that are undecidable both when true and when false.

3.1. Oracles

Definition. When $\mathcal{O}$ can obtain the result of problem $P$ in a single operation, we call $\mathcal{O}$ an oracle for $P$.

For example, an oracle for the halting problem is a truly divine entity that can determine whether a given Turing machine halts in a single operation.

Ascending the arithmetic hierarchy is equivalent to being given increasingly powerful oracles. We saw earlier the following as an example of a $\Sigma_1$ proposition:

However, if a halting problem oracle $\mathcal{O}$ were given, $\phi_1$ could be expressed simply as a $\Delta_0$ proposition:

Also, we saw earlier the following as an example of a $\Sigma_2$ proposition:

If a halting problem oracle $\mathcal{O}$ were given, $\phi_5$ could be expressed as a $\Sigma_1$ proposition:

Here, $x|_y$ is the Gödel number of the state where input $y$ is given to the Turing machine with Gödel number $x$. That is, $\Sigma_2$ propositions reduce to $\Sigma_1$ propositions when given an oracle for the halting problem. By similar principles, $\Pi_2$ and $\Delta_2$ propositions reduce to $\Pi_1$ and $\Delta_1$ propositions, respectively, when given an oracle for the halting problem.

Furthermore, we can define second-order oracles. A second-order halting problem oracle is a halting problem oracle for Turing machines that use halting problem oracles. For example, while $\mathcal{O}$ is limited to determining whether the following code halts:

for x > 0:
   for y > 0:
      for z > 0:
         for n > 2:
            if x^n + y^n == z^n:
               return True;
return False;

$\mathcal{O}^2$ can also determine whether the following code halts. The following code takes as input the Gödel number $x$ of an NP Turing machine, halts if there exists a P Turing machine whose output matches $x$, and does not halt if no such machine exists:

let x ∈ NP;
for y ∈ P:
   if !Halts(
      let z = 0
      while x(z) == y(z):
         z = z + 1
   ):
      return 1; // halts when x is an NP that belongs to P

In general, the following holds:

Theorem. Propositions in $\Pi_n$, $\Sigma_n$, $\Delta_n$ become propositions in $\Pi_{n-k}$, $\Sigma_{n-k}$, $\Delta_{n-k}$, respectively, when given a $k$-th order oracle.

곱군과 위수에 관한 노트: 페르마 소수 정리와 윌슨의 정리

Remarks

• 소수 $p$에 대해 $p - 1$에 대한 정보가 주어졌다면 위수가 $p - 1$인 곱군 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$을 생각해 보자.
• 유한체의 곱군은 순환군이다.
• 순환적 곱군 $G$에 대해 $nm \mid |G|$는, $x^{nm} = 1$이지만 $x^n, x^m \neq 1$인 원소 $x$의 존재성과 동치이다.
• 위수는 주기와 다르다. 일반적으로 (주기) = (위수) + 1이다.

페르마 소수 정리

정리. 소수 $p$가 두 정수 $a, b$에 대해 $p = a^2 + b^2$ 꼴로 나타내어질 필요충분조건은 $p \bmod 1 = 4$인 것이다.

증명.

(⇒) 자명

(⇐) $G = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$라고 하자. 조건에 의해 $4 \mid |G|$이다. 따라서 $n^4 = 1$이지만 $n^2 \neq 1$인 원소 $n$이 존재한다. 즉, $n^2 = -1$이다. 따라서 $p \mid n^2 + 1$이다. 이제 $\mathbb{Z}[i]$에서 생각해 보면 $p \mid (n + i)(n - i)$이다. 만약 $p$가 $\mathbb{Z}[i]$에서 기약이었다면 $p \mid n + i$ 또는 $p \mid n - i$인데 둘 다 불가능하다. 따라서 $p$는 기약이 아니며, 켤레성에 의해

이다. ■

윌슨의 정리

정리. $p$가 소수일 필요충분조건은 $(p - 1)! \equiv -1 \mod p$인 것이다.

증명.

(⇒) $G = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$라고 하자. $G$의 원소를 모두 곱한 값은 $(p - 1)!$이다. $x^2 = 1$의 근인 $\pm 1$을 제외한 $G$의 모든 원소는 자기 자신을 역원으로 가지지 않는다. 따라서 $(p - 1)! \equiv -1$이다.

(⇐) $N = (p - 1)! + 1$이라고 하자. 조건에 의해 $p \mid N$이다. 만약 $p$가 소수가 아니라면 어떤 소수 $q < p$에 대해 $q \mid N$이다. 그러나 $N \bmod q = 1$이므로 모순이다. ■