곱군과 위수에 관한 노트: 페르마 소수 정리와 윌슨의 정리

05 Feb 2025

Remarks

곱군	합군
1이 항등원	0이 항등원
$x$의 위수가 $r$일 때, $x^r = 1$	$x$의 위수가 $r$일 때, $rx = 0$

• 소수 $p$에 대해 $p - 1$에 대한 정보가 주어졌다면 위수가 $p - 1$인 곱군 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$을 생각해 보자.
• 유한체의 곱군은 순환군이다.
• 순환적 곱군 $G$에 대해 $nm \mid |G|$는, $x^{nm} = 1$이지만 $x^n, x^m \neq 1$인 원소 $x$의 존재성과 동치이다.
• 위수는 주기와 다르다. 일반적으로 (주기) = (위수) + 1이다.

페르마 소수 정리

정리. 소수 $p$가 두 정수 $a, b$에 대해 $p = a^2 + b^2$ 꼴로 나타내어질 필요충분조건은 $p \bmod 1 = 4$인 것이다.

증명.

(⇒) 자명

(⇐) $G = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$라고 하자. 조건에 의해 $4 \mid |G|$이다. 따라서 $n^4 = 1$이지만 $n^2 \neq 1$인 원소 $n$이 존재한다. 즉, $n^2 = -1$이다. 따라서 $p \mid n^2 + 1$이다. 이제 $\mathbb{Z}[i]$에서 생각해 보면 $p \mid (n + i)(n - i)$이다. 만약 $p$가 $\mathbb{Z}[i]$에서 기약이었다면 $p \mid n + i$ 또는 $p \mid n - i$인데 둘 다 불가능하다. 따라서 $p$는 기약이 아니며, 켤레성에 의해

\[p = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2\]

이다. ■

윌슨의 정리

정리. $p$가 소수일 필요충분조건은 $(p - 1)! \equiv -1 \mod p$인 것이다.

증명.

(⇒) $G = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$라고 하자. $G$의 원소를 모두 곱한 값은 $(p - 1)!$이다. $x^2 = 1$의 근인 $\pm 1$을 제외한 $G$의 모든 원소는 자기 자신을 역원으로 가지지 않는다. 따라서 $(p - 1)! \equiv -1$이다.

(⇐) $N = (p - 1)! + 1$이라고 하자. 조건에 의해 $p \mid N$이다. 만약 $p$가 소수가 아니라면 어떤 소수 $q < p$에 대해 $q \mid N$이다. 그러나 $N \bmod q = 1$이므로 모순이다. ■