강제법 개론

28 Jan 2026

괴델은 1938년에 구성가능성 공리를 도입함으로써 연속체 가설의 부정이 ZFC에서 증명 불가능함을 보였다. 구성가능 전체 $L$이 연속체 가설이 성립하는 ZFC의 모델이기 때문이다. 이후 1963년에 코헨이 강제법을 개발하여, 연속체 가설이 성립하지 않는 ZFC의 모델을 발견했다. 이로써 연속체 가설은 ZFC와 독립적임이 보여졌다. 이 글에서는 코헨의 강제법과, 연속체 가설의 독립성 증명의 개요를 살펴본다. 미리 말해두자면 이 글의 증명들은 다소 엄밀하지 않으며 아이디어 위주로 정리했으니, 엄밀한 논증은 전공 서적(Kunen)을 통해 확인하길 바란다.

당연한 말이지만, 이 글에서는 ZFC가 무모순하다고 가정할 것이다.

1. 가산 추이적 모델

$V$가 누적 위계_{cumulative hierarchy}라고 하자. $(V, \in)$은 ZFC의 “모델”이다.

정리. 다음의 성질을 만족하는 $V$의 부분모델_submodel $(M, \in)$가 존재한다.

1. $M$은 ZFC의 모델이다.
2. $M$은 가산이다.
3. $M$은 추이적_transitive이다. 즉, 임의의 $x \in M$과 $y \in V$에 대해,

\[V \vDash y \in x \implies V \vDash y \in M\]

증명. 다음 정리를 사용한다.

모스토프스키 붕괴 정리_{Mostowski collapse lemma}. 모임_class $X$ 위의 이항 관계 $R$이 다음을 만족한다고 하자.

1. 크기 제한_smallness: $R^{-1}(x) = \lbrace y \in X : yRx \rbrace $는 집합이다.
2. 기초성_{well-foundedness}: 공집합이 아닌 $X$의 부분집합 $S$는 $R$-극소 원소를 가진다.
3. 외연성_{extensionality}: $x = y$일 필요충분조건은 $R^{-1}(x) = R^{-1}(y)$이다.

이때, 어떤 $V$의 추이적 모델 $(M, \in)$이 유일하게 존재하여 $(M, \in)$과 $(X, R)$이 동형이다.

이 정리의 증명은 비교적 자명하나 쓸 게 많으므로 Hrbacek & Jech, 14장을 대신 참고로 달아놓는다.

하향 뢰벤하임-스콜렘 정리에 의해 $(V, \in)$의 가산 부분모델 $(N, \in)$이 존재한다. 크기 제한, 기초성, 외연성은 모두 1차 논리로 표현 가능한 성질이므로, $(V, \in)$이 모스토프스키 붕괴 정리의 조건들을 만족한다는 사실로부터 $(N, \in)$ 또한 만족한다는 사실이 따라 나온다. 따라서 $(N, \in)$과 동형인 추이적 모델 $(M, \in)$이 존재한다. $N, M$이 동형이므로 $M$은 가산이다. ■

따라서 $V$는 가산 추이적 부분모델 $M$을 가진다. $M$의 가산성과 추이성은 나중에 강제법에서 중요하게 쓰일 것이다.

2. 표기에 관해

앞서 $V$가 모델이라고 할 때 큰따옴표를 쳤는데, 그 이유는 엄밀히 말해 모델은 집합이어야 하기 때문이다. 즉, $V$는 모델이 되기에 너무 크다. 때문에 방금 증명에서 한 것처럼 $V$에 대해 뢰벤하임-스콜렘 정리를 마냥 사용할 수는 없다.

그러나 이 문제는 $V$를 $V_\kappa$ ($\kappa$는 도달 불가능 기수), 또는 (ZFC의 무모순성을 가정했을 때 괴델의 완전성 정리로부터 보장되는) ZFC의 다른 집합-모델로 바꿔치기 함으로써 해결할 수 있다. 따라서 이 글에서는 편의를 위해 $V$를 모델(집합)처럼 다룰 것이지만, 이것이 불편한 독자는 이 글의 모든 $V$를 $V_\kappa$로 바꿔치기 하면 된다.

추가적으로 다음 규약을 사용하겠다.

규약.

1. “집합론의 모델”을 “ZFC의 모델”과 동의어로 사용한다.
2. $V \vDash \phi$를 간단히 $\phi$라고 적는다. 즉, 모든 명제의 배경은 $V$이다.

3. 상대화

$M$이 집합론의 추이적 모델이라고 하자. ZFC는 단 하나의 이항 관계 $\in$를 가지는 언어의 이론이기 때문에 임의의 $x, y \in M$에 대해 다음은 보장이 되지만, (앞선 규약에 따라 우변의 $x \in y$는 $V \vDash x \in y$임을 유의하라)

\[M \vDash x \in y \iff x \in y\]

이외의 관계에서는 이것이 자동적으로 보장되지는 않는다. 예를 들어 $x, z \in M$에 대해,

\[M \vDash y = \mathcal{P}(x)\]

이지만

\[y \neq \mathcal{P}(x)\]

일 수 있다.¹ 따라서 ($V$에서의) 명제 $\phi$와 $M$ “내부”에서 본 명제 $\phi$를 구별할 필요가 있다. 이를 위해 다음을 정의한다.

정의. 명제 $\phi$에 대해, $\phi^M$을 $M$에 대해 상대화_{relativization}한 $\phi$라고 부르며, 다음과 같이 재귀적으로 정의한다.

1. $x, y \in M$에 대해 $(x \in y)^M$은 $x \in y$와 같다.
2. $x, y \in M$에 대해 $(x = y)^M$은 $x = y$와 같다.
3. $(\phi \land \psi)^M$은 $\phi^M \land \psi^M$과 같다.
4. $(\phi \lor \psi)^M$은 $\phi^M \lor \psi^M$과 같다.
5. $(\lnot \phi)^M$은 $\lnot \phi^M$과 같다.
6. $(\forall x:\phi)^M$은 $\forall x \in M: \phi^M$과 같다.
7. $(\exists x:\phi)^M$은 $\exists x \in M : \phi^M$과 같다.

즉, $M$에 대해 상대화한 명제는 기존의 명제에서 양화사의 범위를 모두 $M$으로 제한한 것이다.

Remark. 상대화의 정의로부터 $\phi^M \iff M \vDash \phi$이다. 때문에 이런 의문이 들 수 있다. 이미 $\vDash$가 있는데 왜 상대화를 정의하는 것일까? 그 이유는, $M \vDash \phi$는 (모델론의) 메타명제인 반면, $\phi^M$은 (집합론의) 명제이기 때문이다. 즉, 상대화를 사용하면 “$\phi$가 $M$에서 성립한다”는 사실을 $V$에서 표현할 수 있다. 이는 이후 강제 관계 $\Vdash$를 정의할 때 중요해질 것이다.

4. 절대성

정의. $M, N$이 집합론의 추이적 “모델”이고, $M$이 $N$의 부분”모델”이라고 하자. $\phi$가 $n$항 명제라고 하자. 임의의 $x_1, \dots, x_n \in M$에 대해,

\[\phi^M(x_1, \dots x_n) \leftrightarrow \phi^N(x_1, \dots, x_n)\]

가 성립한다면 $\phi$가 $M, N$ 사이에서 절대적_absolute이라고 한다. $N = V$인 경우, $V$에 대한 언급을 생략하여 $\phi$가 $M$ 위에서 절대적이라고 한다.

즉, $\phi$가 $M$ 위에서 절대적이라는 것은 $M$ 내부에서 본 $\phi$가, 전체에서 본 $\phi$와 일치한다는 것이다.

정의. $\exists x \in A, \forall x \in A$와 같이 범위가 특정 집합으로 한정되어 있는 양화사를 한정 양화사라고 한다. 모든 양화사가 한정 양화사인 명제를 $\Delta_0$ 명제라고 한다.

예를 들어 $y \subseteq x$의 정의는 다음과 같은데, $\forall z$가 $y$로 한정되어 있으므로 $\Delta_0$ 명제이다.

\[\forall z \in y (z \in x)\]

정리.

1. 절대적 명제들의 합성은 절대적이다.
2. $\Delta_0$ 명제는 추이적 모델 사이에서 절대적이다.

증명. 명제에 대한 귀납법으로 증명한다. ■

따름정리. 다음 명제들은 추이적 모델 사이에서 절대적이다.

1. $y \subseteq x$
2. $f$는 함수이다, $f$는 전사이다, $f$는 단사이다

명제에 대한 절대성을 확장하여, 집합에 대한 절대성을 정의할 수 있다. 예를 들어 $\omega$는 가장 작은 귀납적 집합으로 정의된다. 구체적으로,

\[\mathrm{IsInductive}(x) : 0 \in x \land \forall y( y \in x \rightarrow y\cup \{y\} \in x)\]

로 정의하고,

\[\mathrm{IsOmega}(x) : \mathrm{IsInductive}(x) \land \forall z\Big(\mathrm{IsInductive}(z) \rightarrow z \subseteq x \Big)\]

로 정의하자. 이때 $\mathrm{IsOmega}$를 만족하는 집합이 유일하게 존재함을 보일 수 있으며, 그 집합을 $\omega$로 정의한다.

이와 같이 집합 $s$의 정의가 명제 $\phi$로 주어지는 경우², 만약 $\phi$가 $M, N$ 사이에서 절대적이라면, 집합 $s$가 $M, N$ 사이에서 절대적이라고 한다. 예를 들어 위의 따름정리로부터 $\mathrm{IsOmega}$가 추이적 모델 사이에서 절대적임을 알 수 있다. 따라서 $\omega$는 추이적 모델 사이에서 절대적이다.

따름정리. 다음 집합들은 추이적 모델 사이에서 절대적이다.

1. $\varnothing$
2. $x \times y, \lbrace x, y \rbrace , (x, y)$
3. $\bigcup x, \bigcap x$
4. $x$가 순서쌍들의 집합일 때, $\operatorname{dom} x$
5. $\omega\; (=\aleph_0)$

절대적이지 않은 명제/집합들의 예시를 보자.

정리. 다음 명제/집합들은 추이적 모델 사이에서 절대적이지 않다.

1. $\mathcal{P}(x)$
2. $x$는 가산이다.
3. $x$는 기수이다.
4. $\aleph_n \; (n > 0)$

$\mathcal{P}(x)$가 절대적이지 않은 이유를 훑어보자. $\mathcal{P}(x)$의 정의는 다음과 같다.

\[y = \mathcal{P}(x) : \underbrace{\forall z \subseteq x (z \in y)}_{(1)} \land \underbrace{\forall z \in y (z \subseteq x)}_{(2)}\]

(2)는 $\Delta_0$이기 때문에 괜찮지만, (1)이 문제다. (1)은 한정 양화사인 척을 하고 있지만, 사실 풀어쓰면 다음과 같다.

\[(1) : \forall z (z \subseteq x \rightarrow z \in y)\]

즉, (1)의 양화사는 비한정이다. 따라서 $\mathcal{P}(x)$는 $\Delta_0$가 아니며, 실제로도 절대적이지 않다. 2, 3, 4에 또한 $\Delta_0$로 표현되지 않음을 확인할 수 있다.

5. 강제 부분순서집합

드디어 강제법과 관련된 용어들이 등장하기 시작한다.

정의. $(\mathbb{P}, \leq, 1)$이 강제 부분순서집합_{forcing poset}이라는 것은 $(\mathbb{P}, \leq)$가 $1$을 극대 원소로 가지는 부분순서집합이라는 것이다.

강제법의 맥락에서 $p \leq q$는 보통 $p$가 $q$보다 “자세하다”, “엄격하다”, “까다롭다”, “일어날 확률이 작다” 등의 의미를 가진다. 또는, $p$는 $q$의 “확장”이다. 예를 들어,

• $p:$ 주사위를 굴려서 나온 수가 4 이하의 짝수인 사건
• $q:$ 주사위를 굴려서 나온 수가 짝수인 사건

라고 하자. $p$는 $q$보다 자세하고, 엄격하며, 까다롭고, 일어날 확률이 작은 사건이다. 또한 $p$는 조건이 추가된 $q$라는 점에서 $q$의 확장이기도 하다. 따라서 강제법의 맥락에서는 $p \leq q$로 순서를 주는 것이 자연스럽다.

조금 더 수학적인 예시로,

\[\mathrm{Fn}(\omega, \omega) = \{ f \; | \; f : \omega \to \omega \text{ is a partial function with finite domain}\}\]

에 대해 다음과 같이 순서를 주자.

\[f \leq g \iff f|_{\operatorname{dom}g} = g\]

예를 들어 $\lbrace (0, 1), (1, 2) \rbrace \leq \lbrace (1, 2) \rbrace $이다. 즉, $f \leq g$일 때 $f$는 $g$보다 “자세한” 함수이다. 다르게 말하면, $f$는 $g$의 확장이다. 또한 $\mathrm{Fn}(\omega, \omega)$는 $\varnothing$를 극대 원소로 가지므로, $\mathrm{Fn}(\omega, \omega)$는 강제 부분순서집합이다.

이후 특별한 언급이 없다면 $\mathbb{P}$는 강제 부분순서집합인 것으로 생각한다.

6. 필터

정의. $\mathbb{P}$의 부분집합 $\mathcal{F}$가 $\mathbb{P}$ 위의 필터_filter라는 것은 다음을 만족한다는 것이다.

1. $1 \in \mathcal{F}$
2. $x \in \mathcal{F}$이고 $x \leq y$라면, $y \in \mathcal{F}$이다.
3. $x, y \in \mathcal{F}$라면, 어떤 $z \in \mathcal{F}$가 존재하여 $z \leq x, z \leq y$이다.

필터에 대해서는 이미 이 블로그에서 여러 번 다루었는데, 필터의 핵심 성질은 3번이다. 즉, 필터의 임의의 두 원소는 공통 확장을 가진다. 이는 필터에 일종의 방향성을 준다. 위상수학에서는 이 방향성을 이용하여 필터를 점으로 수렴시키기도 하고, 모델론에서는 필터로부터 새로운 구조(초곱)를 구성하기도 한다. 이에 착안하여, 강제법은 필터로부터 새로운 집합론의 모델을 얻어낼 것이다.

예를 들어 앞선 $\mathbb{P} = \mathrm{Fn}(\omega, \omega)$의 예시로 돌아가자면, 전함수_{total function} $f: \omega \to \omega$에 대해 다음은 필터이다.

\[\mathcal{F}_f = \{ g \in \mathrm{Fn}(\omega, \omega) : f \leq g\}\]

특히, $\mathcal{F}_f$는 함수 $f$를 “표현”하는 필터라고 볼 수 있다. 구체적으로, 다음이 성립한다.

\[\bigcup \mathcal{F}_f = f\]

정리하자면, 부분함수_{partial function}들의 순서로부터 필터를 정의하여 전함수를 얻을 수 있다. 이는 다음의 흥미로운 가능성을 시사한다. 집합론의 모델 $M$에 대해, $\mathbb{P}$는 $M$의 원소이지만, $\mathbb{P}$의 필터 $\mathcal{F}$와 $\bigcup \mathcal{F}$는 $M$의 원소가 아닐 수 있다. 그렇다면 $M$에 $\mathcal{F}$를 “추가”하여, 새로운 집합론의 모델을 얻어봄직하다. 실제로 이것이 강제법의 아이디어이다.

조금 더 구체적으로 이후의 과정을 개괄해 보자. $M$이 가산 추이적인 $V$의 부분모델이라고 하자. 먼저 적절한 강제 부분순서집합 $\mathbb{P} \in M$과 필터 $\mathcal{F} \subseteq \mathbb{P}$를 정의할 것이다. 특히, $\mathcal{F}$와 $\mathbb{P}$가 특정 조건 — 구체적으로, $\mathcal{F}$는 제너릭이어야 하고 $\mathbb{P}$는 분리적이어야 한다 — 을 만족하게끔 정의하면 $\mathcal{F} \notin M$이 될 것이다. 이에 따라 $M$에 $\mathcal{F}$를 “추가”함으로써 새로운 집합론의 모델 $M[\mathcal{F}]$를 얻을 수 있다. 이는 체론에서 체 $F$에 원소 $a$를 추가하여 $F(a)$를 얻는 것과 개념적으로 비슷하다.

물론 $M[\mathcal{F}]$가 집합론의 모델이기 위해서는, $M$에 $\mathcal{F}$뿐 아니라, $\mathcal{F}$와 $M$의 원소들의 집합 연산으로부터 얻어질 수 있는 모든 집합들 또한 추가해야 한다. 이 또한 체론에서 $F$에 $a$를 추가하기 위해서는 $a^2, a + 1, 3a$ 등도 함께 추가해줘야 하는 것과 비슷하다. 이 과정을 일률적으로 달성하기 위해 $\mathbb{P}$-이름이라는 개념을 도입할 것이다.

7. 조밀성과 제너릭 필터

정의. $D \subseteq \mathbb{P}$가 다음을 만족할 때, $D$는 조밀_dense하다고 한다.

\[\forall x \in \mathbb{P} \; \exists y \in D : y \leq x\]

즉, $D$는 임의의 $x \in \mathbb{P}$보다 자세한 원소를 언제나 가지고 있다. 이는 마치 $A = \lbrace 0.9, 0.99, 0.999, …\rbrace $가 임의의 $x \in \mathbb{R}\setminus\lbrace 1\rbrace $보다 1에 가까운 원소를 언제나 가지고 있는 것과 비슷하다. 특히 $A$가 1 주변에서 조밀하다는 것을 생각해 보면, 위와 같은 이름이 붙은 이유를 이해할 수 있다. (여담: 스톤 이중성을 사용하여 이것보다 더 자연스러운 “조밀성”의 해석을 얻을 수 있다. 이에 관해서는 나중에 다뤄보겠다.)

다시 $\mathbb{P} = \mathrm{Fn}(\omega, \omega)$의 예시로 돌아가자면, 임의의 $n \in \omega$에 대해 다음의 $D_n$는 조밀하다.

\[D_n = \{ g \in \mathrm{Fn}(\omega, \omega) : n \in \operatorname{dom}g\}\]

왜냐하면 임의의 부분함수는 정의역이 $n$을 포함하도록 확장될 수 있기 때문이다.

한편 조밀한 $D$는 “흔한 성질”을 표현하는 것으로 이해될 수 있다. 예를 들어 앞서 정의한 $D_n$은, “정의역이 $n$을 포함함”이라는 성질을 표현하는데, 이는 “흔한” 성질이다. 왜냐하면 모든 부분함수는 정의역이 $n$을 포함하도록 확장될 수 있기 때문이다.

직관적으로 생각했을 때, $\mathbb{P}$ 위의 필터 $\mathcal{F}$가 $M$에 없는 새로운 원소이기를 바란다면 $\mathcal{F}$는 정의하기 어려워야 한다. 만약 $\mathcal{F}$가 $\phi$로 정의된다면, $\exists! x \lnot\phi(x)$는 ZFC의 정리일 것이고, 이에 따라 이미 $\mathcal{F} \in M$일 것이기 때문이다. 그리고 $\mathcal{F}$가 정의하기 어렵다는 것은 $\mathcal{F}$가 특출난 데가 없다는 의미이다. 즉, $\mathcal{F}$는 모든 흔한 특징을 가져야 한다.

이는 다음의 정의로 이어진다.

정의. $M$이 집합론의 추이적 모델이고, $\mathbb{P} \in M$이며, $G \subseteq \mathbb{P}$가 필터라고 하자 ($G \in M$일 필요는 없음). 임의의 $\mathbb{P}$의 조밀한 부분집합 $D \in M$에 대해 $D \cap \mathcal{F} \neq \varnothing$라면, $\mathcal{F}$가 $M$ 위에서 $\mathbb{P}$-제너릭_generic하다고 한다.

여기서 $D \cap \mathcal{F} \neq \varnothing$은 직관적으로 $\mathcal{F}$가 $D$라는 성질을 가진다는 의미이다. 제너릭의 정의는 배경이 되는 집합론의 모델 $M$에 상대적임에 유의하라.

구체적인 예시를 들어 보자. $\mathrm{id}:\omega \to \omega$가 항등함수라고 하자. 필터 $\mathcal{F}_{\mathrm{id}}$는 제너릭하지 않다. 왜냐하면

\[D = \{ f \in \mathrm{Fn}(\omega, \omega) \;|\; \exists n \in \operatorname{dom} f : f(n) \neq n \}\]

가 조밀함에도 불구하고 $D \cap \mathcal{F} = \varnothing$이기 때문이다. 이는 $\mathrm{id}$가 쉽게 정의 가능하며, $\mathrm{id} \in M$이라는 사실과 일맥상통한다.

그렇다면 역으로, 제너릭 필터는 정말 $M$의 원소가 아닐까? 이를 보장하기 위해서는 한 가지 조건이 더 필요하다.

정의. $x, y \in \mathbb{P}$에 대해 $z \leq x, z \leq y$를 만족하는 $z \in \mathbb{P}$가 없다면 $x$와 $y$가 양립 불가능_incompatible하다고 하며, $x \perp y$라고 적는다.

정의. $\mathbb{P}$가 분리적_separative이라는 것은, 임의의 $z \in \mathbb{P}$에 대해 어떤 $x \leq z, y \leq z$가 존재하여 $x \perp y$라는 것이다.

정리. $M$이 집합론의 추이적 모델이라고 하자. $\mathbb{P} \in M$이 분리적이고 $G \subseteq \mathbb{P}$가 $M$ 위의 $\mathbb{P}$-제너릭 필터라면 $G \notin M$이다.

증명. $G \in M$이라고 하자. 그러면 $D = \mathbb{P} \setminus G$는 $M$의 원소이다. $D$가 조밀함을 보이자. 만약 $D$가 조밀하지 않다면 어떤 $x \in \mathbb{P}$가 존재하여 $y \leq x$라면 $y \notin D$이다. 즉, $y \in G$이다. $\mathbb{P}$가 분리적이므로, $y_1 \perp y_2$인 $y_1, y_2 \leq x$가 존재한다. 따라서 $y_1, y_2 \in G$이다. 필터의 정의에 의해 어떤 $z \in \mathbb{P}$가 존재하여 $z \leq y_1, y_2$이다. 그런데 이는 $y_1 \perp y_2$에 모순된다.

따라서 $D$는 조밀하다. $G$는 제너릭하므로 $G \cap D \neq \varnothing$이어야 한다. 그런데 이는 $D$의 정의에 모순된다. 따라서 $G \notin M$이다. ■

제너릭 필터의 특징상, 제너릭 필터의 예시를 구체적으로 구성하기는 쉽지 않다. 대신 다음의 정리가 제너릭 필터의 존재성을 보장해 준다.

정의. $\mathcal{C}$가 $\mathbb{P}$에서 조밀한 집합들의 모임이라고 하자. 필터 $G \subseteq \mathbb{P}$가 $\mathcal{C}$-제너릭하다는 것은, 임의의 $D \in \mathcal{C}$에 대해 $D \cap G \neq \varnothing$이라는 것이다.

정리. $\mathcal{C}$가 $\mathbb{P}$에서 조밀한 집합들의 가산 모임이라면 $\mathcal{C}$-제너릭 필터가 존재한다.

증명. $\mathcal{C} = \lbrace D_n \rbrace _{n \in \omega}$라고 하자. 먼저 $x_0 \in D_0$를 선택한다. $x_n \in D_n$이 선택되었을 때, $x_{n+1} \in D_{n + 1}$을 $x_{n + 1} \leq x_n$을 만족하도록 선택한다 ($D_{n + 1}$이 조밀하므로 그러한 $x_{n+1}$은 언제나 존재한다). $G = \lbrace x_n \rbrace _{n \in \omega}$가 구하고자 하는 제너릭 필터이다. ■

따름정리. $M$이 가산 추이적 모델이라면 $M$ 위의 $\mathbb{P}$-제너릭 필터 $G$가 존재한다.

증명. $M$이 가산이므로 $\mathcal{C} = \lbrace D \in M : D \text{ is }\mathbb{P}\text{-dense}\rbrace $는 가산이다. ■

따라서 가산 추이적 모델에서는 언제나 $\mathbb{P}$-제너릭 필터를 상정할 수 있다. 이것이 도입부에서 가산성이 중요하다고 말한 이유이다.

(여담) 8. 마틴 공리

$\mathcal{C}$가 가산이 아닐 때에는 $\mathcal{C}$-제너릭 필터가 존재하지 않을 수 있다. 그러나 $\mathbb{P}$의 크기에 제한을 건다면, 가능한 조밀 집합들의 가능성이 한정되고, 이에 따라 비가산인 $\mathcal{C}$ 또한 제너릭 필터를 가지게 될 수 있다.

정의. $\mathbb{P}$의 부분집합 $A$가 반체인_antichain이라는 것은, 임의의 $x, y \in A$에 대해 $x \perp y$라는 것이다.

정의. $\mathbb{P}$가 가산 체인 성질_{countable chain condition}을 가진다는 것은 $\mathbb{P}$의 반체인이 기껏 가산이라는 것이다.

반체인과 가산 체인 성질에 대해서는 이 글에서 다룬 바 있는데, 그때 가산 체인 성질이 순서 집합(트리)의 “너비”를 제한한다고 설명했다.

정의. $\kappa$가 기수라고 하자. $\mathrm{MA}_\kappa$를 다음 진술로 정의한다: $\mathbb{P}$가 가산 체인 성질을 가지고, $\mathcal{C}$가 $\mathbb{P}$-조밀한 집합들의 모임이며, $|\mathcal{C}| \leq \kappa$라면, $\mathcal{C}$-제너릭 필터가 존재한다.

앞선 정리에 의해 $\mathrm{MA}_{\aleph_0}$는 자명하게 성립한다. 한편 $\mathrm{MA}_{\kappa}$는 $\kappa < 2^{\aleph_0}$를 시사하기 때문에 $\kappa \geq 2^{\aleph_0}$에 대해 $\mathrm{MA}_\kappa$는 성립하지 않는다.

마틴 공리_{Martin’s axiom}. 모든 $\kappa < 2^{\aleph_0}$에 대해 $\mathrm{MA}_{\kappa}$가 성립한다.

만약 연속체 가설이 참이라면 $\kappa < 2^{\aleph_0} \rightarrow \kappa = \aleph_0$이므로 마틴 공리가 성립한다. 그러나 마틴 공리와 연속체 가설의 부정이 무모순적임이 알려져 있다 (이 사실의 증명 또한 강제법을 사용한다. 개요: $2^{\aleph_0} = \aleph_2$이도록 강제한 다음, 추가로 $\mathrm{MA}_{\aleph_1}$을 강제한다.). 따라서 마틴 공리는 연속체 가설의 약화된 버전으로 생각될 수 있다.

9. $\mathbb{P}$-이름

$\mathbb{P}$가 분리적이고 $G$가 $\mathbb{P}$-제너릭할 때 $G \notin M$임을 보았다. 따라서 $M$에서는 $G$에 관해 진술할 수 있는 방법이 없는 것으로 보인다. 그러나 굉장히 기발한 트릭을 사용하면 $M$에서도 어느 정도 $G$에 관해 진술할 수 있다. 사실 이것이 강제법의 천재성이다.

아이디어는 다음과 같다. 이 글에서 필터는 “참”인 원소들의 모임으로 생각할 수 있다고 설명했다. 즉, $\mathbb{P}$를 사건들의 모임으로 본다면, $\mathcal{F}$는 실제로 일어난 사건들의 모임으로 생각할 수 있다.

이에 착안해, $\mathbb{P}$를 이용하여 원소를 확률적으로 가지는 집합이라는 개념을 떠올릴 수 있다. 예를 들어 $p \in \mathbb{P}$가 실제로 일어난다면 $a$를 원소로 가지는 집합 $X$는 다음과 같이 적는 것이다.

\[(a, p) \in X\]

필터 $G$는 실제로 일어난 사건들이 무엇인지를 명시한다. 만약 $p \in G$라면, $X$는 실제로 $a$를 원소로 가진다. 이를 다음과 같이 표현하자.

\[p \in G \iff a \in X_G\]

비유하자면, $X$는 양자 중첩 상태이고 $X_G$은 관측 후의 상태이다.

그런데 $X$와 같은 확률적 집합이 또다른 집합의 원소일 수도 있을 것이다. 거꾸로 말해, $(a, p) \in X$에서 $a$ 또한 확률적 집합일 수도 있다. 따라서 다음과 같이 적는 것이 정확하다.

\[p \in G \iff a_G \in X_G\]

이상의 논의를 엄밀하게 정리하면 $\mathbb{P}$-이름의 정의를 얻는다.

정의. 다음 꼴의 집합을 $\mathbb{P}$-이름_{$\mathbb{P}$-name}이라고 한다.

\[\sigma = \{ (\tau, p) : p \in \mathbb{P}, \tau \text{ is a }\mathbb{P}\text{-name}\}\]

$\mathbb{P}$-이름들 중 $M$에 속하는 이름들의 집합을 $M^\mathbb{P}$와 같이 적는다.

정의에 의해 $M^\mathbb{P} \subseteq M$이지만, $M^\mathbb{P} \in M$은 보장되지 않음에 유의하라.

정의. $G$가 $\mathbb{P}$ 위의 필터이고 $\sigma$가 $\mathbb{P}$-이름일 때, $G$에서 $\sigma$의 평가_valuation $\sigma_G$를 다음과 같이 정의한다.

\[\sigma_G = \{ \tau_G \;|\; \exists p \in G :(\tau, p) \in \sigma \}\]

위 정의는 순환 정의처럼 보이지만, 정확한 재귀 정의이다.[^3] 일례로 $\varnothing$이 $\mathbb{P}$-이름이며, 이에 따라 임의의 $p \in \mathbb{P}$에 대해 $\sigma = \lbrace (\varnothing, p) \rbrace $ 또한 $\mathbb{P}$-이름이다. 특히,

\[p \in G \iff \sigma_G = \{\varnothing \}\]

이다. 조금 더 복잡한 예시로, $p, q, r \in \mathbb{P}$일 때

\[\tau = \bigg\{ \Big(\big\{ ( \{ (\varnothing, r) \}, p), (\varnothing, q) \big\}, q\Big), (\varnothing, r) \bigg\}\]

또한 $\mathbb{P}$-이름이며, 특히 $q, r \in G, p \notin G$일 때 다음과 같음을 확인하라.

\[\tau_G = \{\{ \varnothing\}, \varnothing\}\]

이쯤에서 다음의 표기법을 도입하자.

\[\check{x} = \{(y, 1): y \in x\}\]

$1$은 $\mathbb{P}$의 극대 원소였음에 유의하라. 이로부터, 임의의 필터 $G$에 대해 $\check{x}_G = x$임을 알 수 있다. 즉, $\check{x}$는 $x$의 “이름표”이다.

앞서 $\mathbb{P}$-이름을 사용하면 $M \notin G$임에도 $M$ 내에서 $G$에 관해 어느 정도 진술할 수 있다고 했다. 이는 다음의 $\mathbb{P}$-이름이 $G$의 “이름표”이기 때문이다.

\[\Gamma = \{ (\check{p}, p) : p \in \mathbb{P} \}\]

$\Gamma$가 $G$의 이름표라는 말의 의미는, $\Gamma_G = G$가 성립한다는 것이다 (직접 확인해 보라). 그리고 이 점이 중요한데, $\mathbb{P} \in M$이므로 $\Gamma \in M$이다. 즉, $G$는 $M$의 원소가 아닐지언정 $G$의 이름표는 $M$의 원소인 것이다.

이제 다음과 같이 $M[G]$를 정의하자.

정의.

\[M[G] = \{\sigma_G : \sigma \in M^\mathbb{P} \}\]

$x \in M$일 때 $\check{x}_G = x$이므로 $M \subset M[G]$이며, $\Gamma_G = G$이므로 $G \in M[G]$이다.

유추했겠다시피, 바로 이 $M[G]$가 우리가 얻고자 했던 “새로운” 집합론의 모델이다. 즉, $M$이 집합론의 추이적 모델일 때 $M[G]$ 또한 집합론의 추이적 모델이다. 이 사실을 증명하기 위해, 우선 강제 관계를 정의하도록 하자.

10. 강제 관계

$G$가 어떤 원소를 가지느냐에 따라 $M[G]$의 생김새는 크게 달라진다. 다시 앞선 $\mathrm{Fn}(\omega, \omega)$의 예시로 돌아가자. 앞서 $f: \omega \to \omega$가 전함수일 때, 필터 $\mathcal{F}_f$가 존재하여 $\bigcup \mathcal{F}_f = f$라고 했다. 이의 역도 어느 정도 성립한다. 만약 $G$가 $\mathrm{Fn}(\omega, \omega)$의 제너릭 필터라면, $\bigcup G: \omega \to \omega$는 전함수이다. 추가로 $(1, 2) \in G$라면, $\bigcup G : 1 \mapsto 2$이다. 이를 다음과 같이 표현해 봄직하다.

\[(1, 2) \text{ forces } \Big(\bigcup G \Big)(1) = 2\]

그런데 우리는 위 진술이 $M$ 안에서도 표현 가능하기를 바라기 때문에, $\mathbb{P}$-이름을 대신 사용할 것이다. 즉,

\[(1, 2) \text{ forces } \Big(\bigcup \Gamma \Big)(\check{1}) = \check{2}\]

이를 엄밀히 정의하면 강제 관계를 얻는다.

정의. $\phi(x_1, \dots, x_n)$가 $n$개의 자유변수를 가지는 명제라고 하자. 임의의 $\tau_1, \dots, \tau_n \in M^\mathbb{P}$와 $p \in \mathbb{P}$에 대해,

\[p \Vdash \phi(\tau_1, \dots, \tau_n)\]

을 다음으로 정의한다: 임의의 $M$ 위의 $\mathbb{P}$-제너릭한 필터 $G$에 대해,

\[p \in G \rightarrow \phi^{M[G]}\big((\tau_1)_G, \dots, (\tau_n)_G\big)\]

(이쯤에서 명제의 성립은 $V$를 기준으로 한다는 사실을 리마인드하는 것이 좋겠다)

$\Vdash$는 forces로 읽는다.

예시로, 다음이 성립한다.

\[(1, 2) \Vdash \Big(\bigcup \Gamma \Big)(\check{1}) = \check{2}\] \[\varnothing \Vdash \bigcup \Gamma \text{ is a function}\]

11. 강제법의 기본 정리

이제 우리는 강제법의 핵심이라고 부를 수 있는 정리에 다다랐다. 안타깝게도 이 정리의 증명은 필자도 아직 공부 중이기에 생략하지만, 관심 있는 독자는 Kunen (1980)을 참고하기를 바란다 (제1정리와 제2정리는 7장, Theorem 3.6에서 등장한다).

강제법 제1정리. $\mathbb{P}$가 주어졌을 때, $M$ 내에서 정의 가능한 관계 $\Vdash^\ast$가 존재하여, 다음이 성립한다: 임의의 명제 $\phi$와 $\mathbb{P}$-이름 $\tau_1, \dots, \tau_n$이 대해,

\[p \Vdash \phi(\tau_1, \dots, \tau_n) \longleftrightarrow \Big( p \Vdash^* \phi(\tau_1, \dots, \tau_n) \Big)^M\]

즉, $M$ 내부에서도 강제 관계 $\Vdash$를 정확하게 흉내낼 수 있다. 또다른 중요한 정리는 다음과 같다.

강제법 제2정리. 임의의 명제 $\phi$와 $\mathbb{P}$-이름 $\tau_1, \dots, \tau_n$이 대해,

\[\bigg( \phi\Big((\tau_1)_G, \dots, (\tau_n)_G \Big) \bigg)^{M[G]} \longleftrightarrow \;\;\exists p \in G : p \Vdash \phi(\tau_1, \dots, \tau_n)\]

즉, 만약 $\phi(\vec{\tau}_G)$가 $M[G]$에서 참이라면, 이는 $\phi(\vec{\tau})$를 강제하는 $p$가 $G$에 있기 때문이다. 직관적으로 이는 다음과 같이 이해할 수 있다. $G$가 제너릭하다는 것은 $G$가 어떠한 우연성이나 특이점 없이 극히 평범하다는 의미이므로, 만약 $M[G]$가 $M$에서는 만족되지 않는 명제 $\phi$를 새롭게 만족하게 되었다면, 이는 외부의 우연에 의해서가 아닌 $G$ 내부 조건에 의한 것이어야 한다.

제1정리와 제2정리로부터, 다음이 얻어진다.

정리. $M$이 집합론의 추이적 모델이라면, $M[G]$ 또한 집합론의 추이적 모델이다.

(이 증명은 필자가 스스로 끄적여 본 것이기 때문에 틀릴 수도 있다.)

증명. 먼저 추이성을 증명하자. $x \in M[G]$이고, $y \in x$라고 하자. $y \in M[G]$를 보여야 한다.

$M[G]$의 정의에 의해 어떤 $\sigma \in M^{\mathbb{P}}$가 있어 $x = \sigma_G$이다. 따라서 $y \in x$로부터 다음을 알 수 있다: 어떤 $\mathbb{P}$-이름 $\tau$와 $p \in G$가 존재하여 $(\tau, p) \in \sigma$이고 $y = \tau_G$이다. $M$이 추이적이므로,

\[(\tau, p) \in \sigma \in M\]

으로부터 $(\tau, p) \in M$임을, 즉 $\tau \in M$임을 알 수 있다. 따라서 $\tau_G = y \in M[G]$이다.

이제 $M[G]$가 ZFC의 모델임을 증명하자. $\theta$가 ZFC의 공리일 때, $\theta^{M[G]}$가 성립함을 보이면 된다. 예를 들어 $\theta$가 $\phi(x, \vec{\tau}_G)$에 대한 분리 공리라고 하자 ($\vec{\tau}_G$는 $M[G]$의 원소들). 즉,

\[\theta \Leftrightarrow \forall x \;\exists y : y = \{z \in x : \phi(z, \vec{\tau}_G)\}\]

이며,

\[\theta \Leftrightarrow \forall x \in M[G] \;\exists y\in M[G] : y = \{z \in x : \phi^{M[G]}(z, \vec{\tau}_G)\}\]

이다.

$\forall$의 정의에 의해 어떤 $x = \sigma_G$에 대해 $\theta^{M[G]}$가 성립함을 보이면 충분하다.

\[y = \{ z \in \sigma_G : \phi^{M[G]}(z, \vec{\tau}_G) \} \in M[G]\]

$y$를 다음과 같이 정리할 수 있다.

\[y = \Big\{ \pi_G : \big( \exists p\in G\; (\pi, p) \in \sigma \big)\land\phi^{M[G]}(\pi_G, \vec{\tau}_G) \Big\}\]

제2정리에 의해,

\[\phi^{M[G]}(\pi_G, \vec{\tau}_G) \longleftrightarrow \exists q \in G: q \Vdash \phi(\pi, \vec{\tau})\]

제1정리에 의해,

\[q\Vdash \phi(\pi, \vec{\tau}) \longleftrightarrow \Big( q \Vdash^* \phi(\pi, \vec{\tau}) \Big)^M\]

따라서,

\[y = \Big\{ \pi_G : \big( \exists p\in G\; (\pi, p) \in \sigma \big)\land \big(\exists q \in G\; (q \Vdash^* \phi(\pi, \vec{\tau}))^M \big) \Big\}\]

여기서 다음의 보조정리를 사용하자.

보조정리. $\sigma \in M^{\mathbb{P}}$일 때, 다음과 같이 정의한다.

\[\overline{\sigma} = \Big\{ (\tau, q) : \exists p \in \mathbb{P} \; \Big( (\tau, p) \in \sigma \land q \leq p \Big) \Big\}\]

이때, $\sigma_G = \overline{\sigma}_G$이며, $\overline{\sigma} \in M^{\mathbb{P}}$이다.

증명은 필터의 정의로부터 거의 자명하다. 보조정리와, 필터의 방향성 및 $\Vdash^\ast$의 방향성으로부터 다음을 얻는다 $(r \leq p, q)$.

\[y = \Big\{ \pi_G : \exists r\in G\; \big( (\pi, r) \in \overline{\sigma} \land (r \Vdash^* \phi(\pi, \vec{\tau}))^M \big) \Big\}\]

따라서,

\[\check{y} = \Big\{ (\pi, r) \in \overline{\sigma} : \big(r \Vdash^* \phi(\pi, \vec{\tau})\big)^M \ \Big\}\]

일 때 $\check{y}_G = y$이다. 그런데 $\check{y}$는 $M$에서 $\sigma$를 $p \Vdash^\ast \phi(\pi, \vec{\tau})$에 대해 분리한 집합이고, $M$은 분리 공리를 만족하므로, $\check{y} \in M$이며, 이에 따라 $y \in M[G]$이다.

나머지 공리에 대해서도 비슷하게 증명할 수 있다. ■

---

이로써 강제 관계를 정의하고, 그 성질을 살펴본 뒤, 제너릭 필터로부터 주어지는 $M[G]$가 집합론의 모델임을 간단히 증명해 보았다. 다음 글에서는 이 글에서 얻은 결과들을 이용하여 연속체 가설의 무모순성을 증명할 것이다.

Reference

• 전한울, What is forcing? (2015)
• K. Kunen, Set theory: an introduction to independence proofs (1980)
• K. Hrbacek & T. Jech, Introduction to Set Theory, 3rd edition (1999)