이데아를 여행하는 히치하이커
Alice in Logicland
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Definition. A mapping $f: X \to Y$ is said to be continuous if for any open set $V \subseteq Y$, the preimage $f^{-1}[V] \subseteq X$ is also an open set.
Students learning topology for the first time often experience confusion with this definition. Intuitively, it seems more natural to define continuity as “if $U \subseteq X$ is open, then $f[U] \subseteq V$ is also open,” but the actual definition is the inverse. The reasoning behind this intuition might roughly be as follows.
According to the epsilon-delta definition, a function $f: X \to Y$ is continuous if the following holds:
\[\forall \epsilon > 0 \; \exists \delta > 0 : |x - y| < \delta \rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon\]Here the antecedent contains $x, y \in X$, and the consequent contains $f(x), f(y) \in Y$. Therefore, it seems natural for the topological definition of continuity to also have $U \subseteq X$ in the antecedent and $f[U] \subseteq Y$ in the consequent.
When first learning topology, one often thinks of an open set as a “collection of points that are close to each other.” That is, if $U$ is an open set, then $x, y \in U$ implies that $x$ and $y$ are “close.” Thus, if continuous function are those that map “close points” to “close points,” it seems natural to require that they map open sets to open sets.
However, both of these reasonings are fundamentally flawed.
Judging the antecedent and consequent based solely on $\rightarrow$ can easily lead to misunderstandings. One must also consider the quantifiers. The quantifiers of the epsilon-delta definition can be read linguistically as “for any positive $\epsilon$, there exists some positive $\delta$ such that…” In other words, “if $\epsilon$ is a positive number, then there exists some positive $\delta$ such that…”
Here we see that the “true” antecedent regards $\epsilon$\, not $\delta$. And indeed, the space related to $\epsilon$ is not $X$, but $Y$. Therefore, it is only natural that $V \subseteq Y$ appears in the antecedent of the topological definition.
For convenience, let us denote that $x$ and $y$ are “close” as $x \sim y$. The said reasoning is based on the following incorrect intuition.
Incorrect Intuition about Open Sets. If $x \in U$ and $y \in U$, then $x \sim y$.
This should be corrected as follows:
Correct Intuition about Open Sets. If $x \in U$ and $x \sim y$, then $y \in U$.
A little thought reveals that this is quite trivial. For example, the set of all real numbers $\mathbb{R}$ is an open set. But surely, that does not mean that two arbitrary real numbers are always “close”. Conversely, the set $\lbrace 0 \rbrace $ is not an open set, but when $x, y \in \lbrace 0 \rbrace $, we have $x = y$, so $x$ and $y$ are as “close” as possible. Thus, according to the “incorrect intuition,” $\lbrace 0 \rbrace $ should be an open set.
On the other hand, with the “correct intuition,” it is evident that $\mathbb{R}$ is an open set while $\lbrace 0 \rbrace $ is not. When $x \in \mathbb{R}$, the real number $y$ that is “close” to $x$ is trivially included in $\mathbb{R}$. Meanwhile, $\lbrace 0 \rbrace $ does not include the real numbers that are “not equal to, but in the neighbourhood of” $0$, so it is not an open set.
Furthermore, with the “correct intuition,” the reason why the topological definition of continuous functions should be “backwards” also becomes clear. Let us first note that the following intuition about continuity are indeed correct.
Correct Intuition about Continuous Functions. If $x \sim y$, then $f(x) \sim f(y)$.
Now let us show that this intuitive deifinition of continuity is equivalent to the topological definition of continuity.
Let $f$ be “intuitively continuous”. We need to show that for an open set $V$, the preimage $U = f^{-1}[V]$ is an open set. Let $x \in U$ and assume $x \sim y$. Since $f$ is continuous, we have $f(x) \sim f(y)$. Moreover, since $V$ is an open set and $f(x) \in V$, it follows that $f(y) \in V$. Therefore, $y \in U$. □
Let $f$ be “topologically continuous”. We need to show that if $x \sim y$, then $f(x) \sim f(y)$. Let $V$ be a set that contains only points “close” to $f(x)$. Since $V$ is an open set, if $z \in V$ and $z \sim w$, then by the definition of $V$, we have $f(x) \sim z$, which implies by transitivity of $\sim$ that $f(x) \sim w$, hence $w \in V$. Furthermore, since $U = f^{-1}[V]$ is an open set containing $x$, it follows that $y \in U$. Therefore, $f(y) \in V$, which means $f(x) \sim f(y)$. ■
Of course, the above discussion uses the somewhat dubious relation $\sim$, which is not rigorously defined. This may have caused some to feel uneasy in invoking the “transitivity of $\sim$”. However, I think using $\sim$ to understand open sets and continuity serves as a helpful intuition for those studying topology for the first time. Additionally, using non-standard analysis, one can rigorously define $x \sim y$ as $|x - y| = \epsilon$ — but that is a story for another time.
이 글은 James Conant, The Search for Logically Alien Thought: Descartes, Kant, Frege, and the Tractatus (1991)를 정리한 것이다. 괄호 안의 내용은 필자가 보충한 것이다 (다시 말해 뇌피셜이다).
서양 철학사의 주요 논의 중 하나는 논리 법칙의 필연성에 관한 것이다. 논리 법칙은 필연적으로 필연적인가, 혹은 우연적으로 필연적인가? 즉, 우리의 논리와는 상이한 논리 법칙을 가지는 세계, 또는 상이한 논리 법칙으로 사고하는 외계인이 가능한가?
이에 대한 철학자들의 답변을 개괄하자면 이렇다.
아퀴나스는 신 또한 논리 법칙에 의거한다는 점에서 논리 법칙은 필연적으로 필연적이라고 주장했다.
그러나 데카르트는 신이 진정으로 권능하다면 신은 논리 법칙 또한 바꿀 수 있어야 하며, 이에 따라 논리 법칙은 우연적으로 필연적이라고 주장했다.
칸트는 논리 법칙을 이성적 사고의 초월적1 조건으로서 제시함으로써 데카르트의 입장을 극복했다.
그러나 데카르트의 입장은, 논리 또한 인간 사고의 일부이므로 논리학은 심리학으로 환원된다는 심리학주의Psychologism로 살아남었다.
프레게는 칸트의 입장을 빌려 심리학주의를 신랄하게 공격했으나, 논리 법칙을 초월적 조건으로 보는 동시에 ‘자연의 가장 보편적인 법칙’으로 보는 그의 입장은 내적 긴장을 일으켰다.
비트겐슈타인은 논리 법칙이 무의미Sinnlos하다고 주장했다. 나아가, 프레게의 내적 긴장의 원인은 “논리 법칙은 필연적으로 필연적인가?”라는 질문이 의미를 결여Unsinn하기 때문이라고 진단했다.
이러한 철학사적 흐름을 통해 저자는 비트겐슈타인의 《논고》가 형언할 수 없는 진리에 대한 저술이라는 기존의 해석에 대항하여, 《논고》에는 아무런 철학적 주장도 담겨 있지 않으며 이 사실을 깨닫게 하는 것이 《논고》의 최종 목표라는 “새로운 비트겐슈타인New Wittgenstein” 진영의 해석을 옹호한다.
스콜라 철학자들에게 논리 법칙의 필연성 논의는 심각한 문제였다. 신의 권능과 논리 법칙의 필연성은 양립할 수 없는 것으로 여겨졌기 때문이다. 아퀴나스는 이 딜레마를 극복하기 위해 절대적 가능possible absolutely과 절대적 불가능impossible absolutely이라고 부를 수 있는 구별을 제시했다. 절대적 가능은 지성체가 이해할 수 있는 사태를 의미하고, 절대적 불가능은 이해조차 불가능한 사태를 의미한다. 신의 권능이 뜻하는 바는 절대적으로 가능한 모든 일 — 이를테면 지구를 평평하게 만드는 일 — 은 신에게 가능하다는 것이며, 절대적으로 불가능한 일 — 이를테면 배중률을 위배하는 일 — 은 신의 권능을 논하는 데 무관하다는 것이 아퀴나스의 주장이다.
그러나 데카르트는 아퀴나스의 주장이 신성 모독적이라고 반박한다. 아퀴나스가 절대적 가능과 절대적 불가능을 구별할 때 근거로 삼은 “지성체”는 인간의 지성임이 암시적으로 전제되어 있다. 즉, 아퀴나스는 인간 지성의 한계 — 우리는 빨간색인 동시에 빨간색이 아닌 사과를 상상할 수 없다 — 와 신의 권능의 한계 — 따라서 신은 빨간색인 동시에 빨간색이 아닌 사과를 창조할 수 없다 — 를 동일시했다. 데카르트는 이것이 인간 지성의 월권이라고 비판한다. 신은 인간이 이해할 수 없는 방식으로도 행할 수 있다. 그러한 신에게 논리 법칙은 자신의 의지대로 변경이 가능한 우연적 산물이라는 것이 데카르트의 주장이다.
그렇다면 어째서 인간은 논리 법칙을 필연적인 것으로 인식하는가? 데카르트의 답변은, 신이 인간에게 내려 준 이성이 논리 법칙을 필연적인 것으로 이해하도록 설계되었기 때문이라는 것이다. 신이 이 세계를 특정 논리 법칙에 따라 창조했다면, 자애로운 신은 이 세계에 거주할 피조물인 인간에게 해당 논리 법칙을 필연적인 것으로 인식하는 지성을 내려 줄 것이다 (이 대목을 데카르트의 유명한 악마 논변과 대조해 보라). 즉, 데카르트에 따르면 논리 법칙의 표면적 필연성은 (신이 내려 준) 이성의 설계에서 기원한다.2 데카르트의 주장에서 신학적인 표현들을 신경생리학적 표현들로 대체하기만 하면, 논리 법칙의 표면적 필연성은 뇌의 작동에서 기원한다는 심리학주의의 주장을 얻는다.
그러나 데카르트주의에는 내적 모순이 있어 보인다. 데카르트는 다음의 세 명제를 동시에 주장하고자 한다.
① 인간은 논리적으로 불가능한 사태를 이해할 수 없다.
② 신은 논리적으로 불가능한 사태를 창조할 수 있다.
③ 인간은 ②의 진술을 이해할 수 있으며 나아가 참인 것으로 판단할 수 있다.
여기서 ①과 ③은 상충하는 것으로 보인다. ’논리적으로 불가능한 사태’가 인간에게 이해 불가능한 개념이라면, 신이 그것을 행할 수 있다는 진술 또한 마찬가지로 이해 불가능하지 않겠는가? 마치 연속체 가설을 이해하지 못하는 사람에게는 ‘연속체 가설이 참인 수학 체계가 가능하다’라는 진술 또한 마찬가지로 이해 불가능하듯이 말이다. 이 문제에 답할 필요를 느낀 데카르트는 이해comprehend와 직관apprehend의 미묘한 구별을 제시했다. 이해가 무언가를 이성 속에서 완전히 파악하는 일이라면, 직관은 이성이 무언가에 닿는 일이다.
나는 신이 만물의 창조주이며, 불변하는 진리가 있으며, 신이 그것의 창조주임을 안다. 나는 내가 이것을 안다고 말하지, 내가 그것을 인식한다든가, 파악한다고 말하지 않는다. 왜냐하면 비록 우리의 정신은 유한하기에 신을 인식하거나 파악할 수 없지만, 신이 무한하며 전능하다는 사실은 알 수 있기 때문이다. 이것은 우리의 손이 산에 닿을 수는 있지만 우리가 두 팔로 산을 감쌀 수는 없는 것과 마찬가지이다.
따라서 데카르트는 ③을 다음과 같이 수정할 것이다.
③ 인간은 ②의 진술을 직관할 수 있으며 나아가 참인 것으로 판단할 수 있다.
나중에 우리는 이와 같이, 엄밀히 따지자면 무의미하지만 그럼에도 유효한 진리로 통하는 명제가 있음을 단어의 미묘한 구별 — 감히 말하자면 말장난 — 을 통해 정당화하려는 시도를 비트겐슈타인의 ⟪논고⟫에 대한 전통적 해석에서 다시 마주할 것이다.
라이프니츠는 신이 논리 법칙을 임의로 창조했다는 데카르트의 주장에 반대했다. 데카르트를 반박하기 위해 라이프니츠는 “신이 행하기 때문에 선한 일인가, 선한 일이기 때문이 신이 행하는 것인가?” 라는 스콜라 철학의 논쟁을 재등장시킨다. 라이프니츠는 후자를 주장한다. 신은 선한 일이기 때문에 그것을 행한다. 그러나 라이프니츠에 따르면 이는 신이 ‘선’의 개념에 얽매여 있음을 시사하지 않는다. 오히려 이 사실은, 그것이 선하다는 것을 신이 이해한다는 것을 보여준다. 즉 ‘선’의 개념은 신의 의지를 선행하지만, 신의 이성에는 포섭된다.
라이프니츠는 신의 의지에 선행되는 ‘선’의 개념이 신의 자유에 반하기는커녕, 신의 자유가 성립하기 위한 조건임을 강조한다. 만약 신의 의지에 선행되는 원리가 전무하다면, 신은 특정 행동을 행할 어떠한 근거도 없을 것이다. (그럼에도 신이 무언가를 행한다면, 그것은 무작위적인 선택에 의한 것이라고밖에 볼 수 없다. 그러나 우리는 무작위적인 행동을 두고 자유의지에 의한 선택이라고 말하지 않는다. 이중 슬릿을 통과하는 전자들이 자유의지에 의해 통과할 슬릿을 선택한다고 말하지 않는 것과 같다. 따라서 자유의지는 무작위랑 구별되기 위한 원리를 요구한다.)
마찬가지로 라이프니츠는 논리 법칙이 신의 이성에 포섭되어 있되 신의 의지에 선행하는 원리이자, 신의 자유가 성립하기 위한 조건이라고 주장한다. 이러한 라이프니츠의 철학은 칸트로 계승된다. 데카르트가 논리 법칙을 이성의 산출물로서 보았다면, 칸트는 데카르트의 주장을 이른바 ‘코페르니쿠스적 전회’를 통해 뒤집는다. 칸트에 따르면 논리 법칙은 이성의 산출물이 아니라 이성의 구성 조건이다. 그리고 라이프니츠적인 의미에서, 자유로운 이성이란 논리 법칙을 따르는 이성이다. 논리 법칙을 따르지 않는 이성은 엄격한 의미에서 이성이라 불릴 수 없다. (이는 마치 체스의 규칙을 따르지 않는 체스는 엄격한 의미에서 체스라 불릴 수 없는 것과 같다.) 이러한 칸트의 논리철학에 대해 퍼트넘은 다음과 같이 적는다.
칸트의 ⟪논리학 강의⟫는 오늘날의 우리가 ‘심리학주의’라고 부르는 입장과 극단적으로 대립하는 입장을 제시하는 선구적인 — 어쩌면 최초의 — 저술이다. […] 나의 관심을 끄는 것은, 비논리적인 생각은 엄격히 말해 애초에 생각이 아니라는 [칸트의] 반복적인 주장이다.
확실히 논리학에는 아무런 형이상학적 가정이 없다. 규범적 의미에서의 생각, 즉 참 [또는 거짓]으로 판명될 수 있는 판단이 논리를 따른다는 것은 형이상학이 설명해야 할 무언가가 아니기 때문이다. 무언가를 설명한다는 것은 논리를 전제한다. 칸트에게 있어 논리는 모든 이성적 활동에 선행한다.
특히 칸트는 논리가 심리학과 엄격히 구별되어야 함을 강조한다. 경험적 사실들에 대한 학문으로서 심리학은 이성의 판단 활동을 통해 도달하는 이론인 반면, 논리학은 그러한 이성의 활동이 가능하기 위해 전제되어야 하는 조건이기 때문이다. 따라서 논리학을 심리학으로 환원하려는 시도는 범주론적 오류이다. 여기서 칸트가 논하는 대상은 ‘인간 이성’이 아닌 이성 일반임에 주목하라.
그러나 칸트는 라이프니츠보다 더 엄격한 논리의 경계를 긋는다. 칸트에 따르면 논리학은 오직 문장의 순수 형식에 관한 것이다. (따라서 배중률, 전건 긍정modus ponens, 대우법 등은 논리의 범주에 속하지만, 오늘날의 우리가 집합론, 모델론, 양상 논리라고 부르는 것은 속하지 않는다.) 이것이 함의하는 바는, 논리학은 세계에 관해 아무것도 진술하는 바가 없다는 것이다. (무한 공리 — 적어도 하나의 무한집합이 존재한다는 공리 — 나 공집합 공리 — 공집합이 존재한다는 공리 — 와 같은 존재론적 진술을 포함하는 집합론과 달리, 칸트적인 의미의 논리학은 어떠한 존재론적 진술도 주장하지 않는다.)
이처럼 논리학은 세계의 사태로부터 유리되어 있으므로, 논리학의 필연성을 정당화하려는 시도나, 논리학으로부터 형이상학적 통찰을 얻으려는 시도는 초험적 비판의 대상이 된다. 그것은 영원의 불멸성에 관한 질문이나 신의 존재에 관한 질문만큼이나 이성의 한계를 벗어난 것이다. 나중에 우리는 비트겐슈타인이 칸트의 주장을 수용하면서도, 그의 주장을 더 원초적인 층위로 옮기는 것을 볼 것이다. 요컨대 칸트가 논리학에 관한 철학적 혼란의 원인을 이성이 그 한계를 넘어섰기 때문으로 진단했다면, 비트겐슈타인은 혼란의 원인이 이성이 부딪히고야 마는 한계가 있다는 환상 때문으로 진단한다.
프레게는 칸트와 마찬가지로 논리학이 이성의 산출물이 아니라 이성 — 인간 이성이 아닌 이성 일반 — 의 구성 조건임을 강조한다. 특히 프레게는 판단의 성립 요건으로서 그것이 참과 거짓의 여부를 따질 수 있는 명제일 것을 주장한다. 판단의 성립 요건을 만족하지 않는 생각은 가짜 생각Scheingedanke이다. 이는 프레게가 논리 법칙으로 내세우는 — 칸트의 경우 유일한 논리 법칙으로 내세우는 — 배중률의 요구이다.
이러한 입장을 바탕으로 프레게는 당대에 유행하던 심리학주의를 강하게 비판했다. 프레게는 심리학주의가 원인의 질문과 정당화의 질문을 혼동한다고 비판한다. 인간의 뇌에 대한 심리적, 생리학적 연구는 우리가 어째서 논리 법칙을 절대적 참으로 받아들이는지에 대한 설명을 제공할 수는 있다. 그러나 그 설명이 어째서 논리 법칙이 절대적으로 참인지를 정당화하는 것은 아니다. 논리 법칙의 정당성은 심리학을 선행한다.
프레게의 논변은 우리가 약한 심리학주의 — 논리 법칙의 절대적 지위를 인정하는 한편 논리학을 심리학으로 환원하려는 입장 — 라고 부를 수 있을 입장을 성공적으로 반박한다. 그러나 강한 심리학주의 — 논리 법칙의 절대적 지위를 인정하지 않고 오로지 심리학만으로 논리학을 환원하려는 입장 — 를 반박하는 데는 아직 부족하다. 강한 심리학주의자는 논리 법칙의 절대성에 관한 질문을 무의미한 질문, 마치 신의 존재에 관한 질문으로 치부할 수 있다.
프레게의 논리적 외계인 사고실험은 강한 심리학주의의 생각에 근본적인 오류가 있음을 지적한다. 강한 심리학주의에 따르면 우리와 다른 뇌 구조를 가지고 있어, 우리의 논리 법칙과 모순되는 논리 법칙을 절대적인 참으로 생각하는 외계인이 가능하다. 실제로 그러한 외계인이 우리 앞에 나타났다고 생각해 보자. 이 상황에서 프레게는 다음 질문을 던진다. 외계인의 논리 법칙과 우리의 논리 법칙 중 무엇이 올바른가?
이 기점에서 사고실험은 두 가지 갈림길로 나눠진다. 첫째 갈림길은 심리학주의자가 프레게의 질문을 유의미한 질문으로 인정하는 경우이다. 이 경우, 심리학주의자는 외계인의 논리 법칙과 우리의 논리 법칙 둘 다를 선행하여, 둘 중 어떤 법칙이 올바른지를 따질 수 있는 논리 체계가 있음을 인정하게 된다. “외계인과 우리 중 누가 올바른가?”라는 질문은 외계인-심리학에도, 인간-심리학에도 속하는 질문이 아니다. 그것은 심리학을 초월해 있으며, 이 질문의 유의미성에 대한 인정 자체가 심리학을 초월해 있는 논리를 인정하는 것이다. 이 상위 논리에 견주었을 때, 외계인의 논리는 다른 논리가 아니라 틀린 논리임이, 즉 애초에 논리가 아님이 드러난다.
(여기서 혹자는 우리의 논리가 틀린 것일수도 있지 않냐고 물을지 모른다. 그러나 이 경우 외계인 사고실험 자체가, 나아가 우리의 모든 이성이 넌센스의 구렁으로 빠져버린다. 논리에 대한 회의주의는 그러한 회의주의를 품게 만든 논증 또한 비논리적인 것으로 만들어 버림으로써 철학적 탐구의 가능성을 완전히 함몰시킨다. 우리는 우리의 논리를 옳은 것으로 간주할 수밖에 없다. 이것은 후술할 프레게의 내적 긴장의 원인이 된다.)
둘째 갈림길은 심리학주의자가 프레게의 질문마저 무의미한 것으로 치부하는 경우이다. 이 경우 심리학주의자는 어느 누구의 논리 법칙도 절대적으로 올바른 것은 아니라고 주장할 것이다. 외계인의 논리 법칙은 외계인에게 올바르고, 인간의 논리 법칙은 인간에게 올바르며, 그 이상 주장할 것은 없다. 그러나 프레게는 이러한 심리학주의자의 태도가 심리학주의자가 견지하고자 하는 입장 — 즉, 우리와 다른 논리 법칙으로 사고하는 외계인의 존재 가능성 — 을 불가해한 입장으로 만들어버림을 지적한다.
프레게의 지적에서 핵심적인 것은, “A와 B는 논리적으로 다르다”라는 명제가 유의미하기 위해서는 A와 B의 동일성을 판별할 수 있는 논리가 전제되어야 한다는 것이다. (이해의 편의를 위해 논리학이 아닌 위상수학으로 예를 들어 보자. 우리가 구와 도넛3이 위상수학적으로 다르다고 말할 수 있는 이유는, 구와 도넛에 대해 공통적으로 유효한 위상수학적 개념 — 이를테면 구멍의 개수4 — 이 존재하여, 구와 토러스가 그 개념에 대해 차이를 보이기 때문이다.)
마찬가지로 우리와 논리적으로 다른 외계인이 존재할 수 있다는 심리학주의자의 주장은 그 자체로 우리의 논리학과 외계인의 논리학의 다름을 성립시키는 배경 논리를 전제하며, 이 경우 우리는 다시 첫째 갈림길로 돌아가게 된다. 한편 심리학주의자가 주장하는 바가 우리와 그저 다른 발화를 하는 외계인의 존재라면, 여기서의 차이는 두 소의 울음소리가 다른 것, 그 이상도 이하도 아니다. 우리와 다른 논리로 사고하는 외계인이 존재한다는 심리학주의의 주장은, 실상 그 외계인은 애초에 사고를 하지 않는다는 것 을 드러낼 뿐이다. (소와 인간은 둘 다 소리를 내지만 오직 후자만이 사고를 한다. 빙고 머신과 계산기는 둘 다 숫자를 출력하지만 오직 후자만이 계산을 한다.)
지금까지의 논증을 보았을 때 프레게가 내리는 결론은 “논리적 외계인은 존재할 수 없다”인 듯하다. 정말로 이것이 논증의 결론이라면, 우리의 사고는 다음의 과정을 따랐을 것이다.
그러나 — 적어도 프레게 본인이 제시하는 “판단의 성립 요건”에 따르면 — 여기서 우리가 겪는 것은 생각의 환영이 아닌가? 프레게의 논증을 면밀하게 들여다 보면, 그가 말하고자 하는 바는 “논리적 외계인은 이러이러한 이유로 존재할 수 없다”가 아니라 “논리적 외계인의 상정 자체가 불가해하다”는 것임을 알 수 있다. 논리적 외계인의 상정은 우리의 사고를 논리의 범위 밖으로 위치시켜버림으로써, 우리의 사고를 사고가 아닌 것으로 만들어버린다. 비유하자면 그것은 트로이 목마인 것이다.
여기서 궁극적으로 드러나는 사실은, 논리적 외계인에 대한 사고실험 자체가 일종의 가짜 생각Scheingedanke이라는 것이다. “논리적 외계인은 가능하다”는 심리학주의의 주장은 의미를 결여한 문장이다. 그것은 “참 또는 거짓의 여부를 따질 수 있는 명제일 것”이라는 판단의 성립 요건을 만족하지 않는다. 그리고 이것이 함의하는 바는, “논리적 외계인이 불가능하다”는 우리의 주장 또한 의미를 결여한다는 것이다.5
그러나 어떤 의미에서 “논리적 외계인이 불가능하다”는 문장에는 무언가 참인 진술이 있는 듯하다. 그것은 논리의 본성에 관한 어떤 진리를 드러내고 있지 않은가? 단지 우리 언어의 논리적 구조가 그 진리의 발화를 불가능하게 만드는 것이다. 전통적으로 《논고》는 이러한 맥락에서 해석되었다. 특히 해커Hacker, 기치Geach 등의 학자는 《논고》가 반구문론적 명제countersyntactic proposition를 통해 “엄밀한 의미에서는 말해질 수 없는” 진리를 “드러내 보이는” 저술이라고 해석해 왔다. 여기서 반구문론적 명제란, 언어의 자연적 구문론은 따르되 — 이를테면 주어는 서술어를 선행해야 한다 — 어느 시점에서 논리적 구문론을 위배하는 명제이다 — 이를테면 서로 다른 위계에 있는 유형론적 대상들을 같은 술어에 양화시킨다. 예를 들어 대상object과 개념concept의 구분은 엄격한 논리적 언어에서 표현될 수 있는 것이 아니다. 둘은 유형론적으로 다르기 때문이다. 대상과 개념의 구분은 ‘개념’을 대상화함으로써, 러셀의 역설과 같은 유형의 문제를 발생시킨다. 그럼에도 이 구분은 논리의 중요한 특성을 담지하는 것으로 보인다. 전통적 해석에 따르면 《논고》 또한 이러한 반구문론적 명제들 — 엄밀히 말해 무의미하지만 그럼에도 유의미한 진리를 담지하는 명제들 — 로 구성되어 있으며, “사다리를 걷어차야 한다”는 《논고》의 최종적인 메시지는 그 명제들의 반구문론적 특징을 폭로하는 대목이다.
그러나 논문의 저자는 이러한 전통적 해석을 강하게 비판한다. 전통적 해석은 데카르트의 ‘이해’와 ‘파악’의 구분과 같은, 말장난에 불과한 허황된 구분들 — “엄밀히 말해 생각”과 “생각”, “그저 무의미”와 “깊은 무의미”, “사실”과 “사실” — 을 통해 《논고》의 내적 긴장을 해소하는 시늉을 했을 뿐, 실질적으로 그 긴장을 해소하는 데는 완전히 실패했다. 전통적 해석은 이들 구분에 완전히 의존하고 있으면서도, 어떻게 논리적 규칙을 위배하는 문장이 “무의미”하지만 “그저 무의미”하지 않을 수 있는지, 어떻게 “생각은 결코 비논리적일 수 없다(§3.03)”는 《논고》의 구절을 인정하면서도 비논리적인 “생각”이 가능한지를 명료하게 해명하지 못한다. 따라서 논문의 저자는 전통적 해석과 단절된 새 해석을 제시한다. 그것은 소위 “새로운 비트겐슈타인”으로 일컬어지는 해석의 일환이다.
2편에서 계속
1. 이런 걸 신경 쓰는 독자라면, 필자는 ‘a priori’를 ‘선험적’, ‘transzendent’를 ‘초험적’, ‘transzendental’을 ‘초월적’이라고 번역한 아카넷 칸트전집의 용어를 사용한다.
2. 데카르트의 주장은 묘하게 칸트적이다. 실제로 윌슨Margaret Wilson은 논리 법칙에 대한 데카르트의 입장을 칸트의 초월철학과 현대의 자연주의의 시조로 평가한다. 그러나 이후 드러나듯이, 논리 법칙에 대한 데카르트의 입장과 칸트의 입장에는 간과할 수 없는 간극이 있다.
3. 엄밀히는 토러스. 토러스는 도넛의 겉면이다.
4. 엄밀히는 1차 호몰로지 군. 구의 경우 이는 $\mathbb{Z}$이고 토러스의 경우 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$이다.
5. 원 논문에서는 다음과 같이 말한다.
If we take the sentences “illogical thought is impossible” or “we cannot think illogically” to indeed present us with thoughts (with senses which we can affirm the truth of), then we concede what a moment ago we wished to deny (namely, that the negation of these sentences preseunt us with a genuine content, one which is able to stand up to the demand for judgment). But if we conclude that these words (which we want to utter in response to the psychologicstic logician) do not express a thought with a sense, then aren’t we, if we judge psychologism to be false, equally victims of an illusion of judgment? This is the problem at the heart of the onion.
즉, 논문의 저자는 다음의 문장이 실제로는 생각thought이 아님을 지적하고 있다.
이것을 논리식으로 옮기면 다음과 같다.
이제 이를 다음의 문장과 대조해 보자.
(1)과 (3)은 형태론적으로 같은 문장이다. 그런데 (3)은 의미가 있는 문장으로 보인다. 그 의미란, 이 세상에 초록색이면서 생각이기도 한 대상이 없다는 것이다. 실증주의자라면 (3)이 반증 가능성 원리 또한 통과한다고 말할지 모른다. 요컨대 세상의 모든 초록색 대상 중 생각에 해당하는 것이 발견되면 (3)은 기각된다는 것이다. 또한 (3)의 논리적 표현인 (4)는 어떠한 논리적 규칙도 위배하지 않는 것으로 보인다.
그러나 필자가 보기에 (1)과 (2)가 유의미하다는 생각은, 프레게의 표현을 빌리자면 “생각의 환영”에 사로잡힌 것이다. 이 입장을 논증하는 가장 효율적인 방법은 (4)에서 등장하는 무제약적 양화사 $\exists x$의 부당함을 피력하는 것이다. $x$의 범위는 어디까지인가? 내 앞의 사과가 $x$에 양화될 수 있다면, 사과의 꼭지 또한 $x$에 양화될 수 있는가? 무언가가 — 이를테면 나뭇잎 — 대상의 부분이 아니라 독립적인 대상으로 고려되어야 하는 기준은 무엇인가? 반대로, 무언가가 — 이를테면 나무 — 대상의 단순한 조합이 아니라 독립적인 대상으로 고려되어야 하는 기준은 무엇인가? 수학적 플라톤주의를 인정하여 ‘자연수 집합’ 또한 양화의 대상으로 고려해야 하는가? ‘신’ 또한 양화의 대상인가?
이렇듯 무제약적 양화사는 사용자로 하여금 강한 존재론적 개입을 요구한다. 이런 난처한 상황을 피하는 한 가지 방법은 무제약적 존재 양화를 사용하는 대신 $x$를 $T$의 진리집합으로 양화시키는 것이다. 요컨대 (4)를 (5)와 같이 수정하는 것이다.
여기서 $\mathrm{Th}$는 생각들의 집합이다. 그런데 이렇게 적고 나면, (5)는 적형식이 아니게 된다. 문제는 $G$를 정의하는 데 있다. 우리가 무제약적 양화를 피하고자 한다면, $G$의 정의역을 정의하는 데 있어서도 무제약적 양화를 피해야 한다. 즉 a는 가능하지만 b는 불가능하다.
a) G: 물리적 대상 → {T, F} (O)
b) G: 모든 대상 → {T, F} (X)
따라서 (5)는 적형식이 아니다. (5)는 정의역에 속하지 않는 대상을 술어에 적용하고 있으므로 논리적 규칙을 위배한 것이다. 다시 말해, (5)는 의미를 결여한 문장이다.
이는 다음의 수학적 예시를 통해 이해할 수 있다. 독자 분은 $0 < i$가 올바르지 않은 부등식임을 배웠을 것이다. 왜냐하면 해당 맥락에서 $<$는 실수 위에서만 정의되기 관계이기 때문이다. 그리고 $<$가 실수 위에서만 정의 가능한 이유는 실수, 허수, 그리고 $<$가 요구하는 논리적 규칙들과 연관한다. $<$의 규칙에 따르면, 양변에 0보다 큰 수를 곱하면 부등호의 방향이 유지되고, 0보다 작은 수를 곱하면 부등호의 방향이 뒤집힌다. 그런데 만약 $0 < i$라면 $0 = 0 \cdot i < i \cdot i = -1$이 되어 모순이고, $i < 0$이라면 $-1 = i \cdot i > 0 \cdot i = 0$이 되어 모순이다. 따라서 $0 < i$는 의미를 결여한 부등식이다. 이는 $0 < i$가 거짓임을 의미하지 않는다. $0 < i$가 거짓이라면 $0 > i$가 참이어야 하기 때문이다.
This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.
This article is a summary of James Conant, The Search for Logically Alien Thought: Descartes, Kant, Frege, and the Tractatus (1991). THe post includes the author’s supplementary remarks.
One of the principal debates in the history of Western philosophy concerns the necessity of logical laws. Are logical laws necessarily necessary, or are they contingently necessary? That is, is a world with logical laws different from ours, or aliens who think according to different logical laws, possible?
The responses of philosophers to this question may be summarised as follows:
Aquinas argued that logical laws are necessarily necessary, on the grounds that even God operates according to logical laws.
However, Descartes contended that if God is truly omnipotent, He must be able to alter logical laws as well, and accordingly maintained that logical laws are contingently necessary.
Kant overcame Descartes’s position by presenting logical laws as transcendental1 conditions of rational thought.
However, Descartes’s position survived as psychologismPsychologism, which held that since logic is also part of human thought, logic should be reduced to psychology.
Frege, borrowing from Kant’s position, launched a fierce attack on psychologism, but his stance of viewing logical laws simultaneously as transcendental conditions and as ‘the most universal laws of nature’ created internal tension.
Wittgenstein argued that logical laws are senselessSinnlos. Furthermore, he diagnosed that the cause of Frege’s internal tension was that the question “Are logical laws necessarily necessary?” lacks senseUnsinn.
Through this philosophical-historical trajectory, the author defends the interpretation of the “New WittgensteinNew Wittgenstein” school, which contends against the traditional interpretation that the Tractus is a work about ineffable truths, arguing instead that the Tractus contains no philosophical claims whatsoever, and that making one realise this fact is the ultimate goal of the Tractus.
For scholastic philosophers, the debate over the necessity of logical laws was a serious problem, as God’s omnipotence and the necessity of logical laws appeared incompatible. To overcome this dilemma, Aquinas presented a distinction that might be called absolute possibilitypossible absolutely and absolute impossibilityimpossible absolutely. Absolute possibility refers to states of affairs that an intellect can understand, while absolute impossibility refers to states of affairs that are incomprehensible. Aquinas’s claim is that God’s omnipotence means that everything absolutely possible—such as making the Earth flat—is possible for God, while absolutely impossible things—such as violating the law of excluded middle—are irrelevant to discussions of God’s omnipotence.
However, Descartes objects that Aquinas’s claim is blasphemous. When Aquinas distinguishes between absolute possibility and absolute impossibility, the “intellect” upon which he bases this distinction is implicitly presupposed to be human intellect. That is, Aquinas conflates the limitations of human intellect—we cannot imagine an apple that is simultaneously red and not red—with the limitations of God’s omnipotence—therefore God cannot create an apple that is simultaneously red and not red. Descartes criticises this as an overreach of human intellect. God can act in ways that humans cannot understand. For such a God, logical laws are contingent products that can be altered at will, according to Descartes.
Then why do humans perceive logical laws as necessary? Descartes’s answer is that the reason God gave to humans is designed to understand logical laws as necessary. If God created this world according to specific logical laws, a benevolent God would give humans dwelling in this world an intellect that perceives those logical laws as necessary (contrast this passage with Descartes’s famous evil demon argument). That is, according to Descartes, the apparent necessity of logical laws originates in the design of reason (given by God).2 If we merely replace theological expressions with neurophysiological ones in Descartes’s claim, we obtain the psychologist claim that the apparent necessity of logical laws originates in the workings of the brain.
However, Cartesianism appears to contain an internal contradiction. Descartes wishes to assert the following three propositions simultaneously:
① Humans cannot understand logically impossible states of affairs.
② God can create logically impossible states of affairs.
③ Humans can understand the statement in ② and furthermore judge it to be true.
Here ① and ③ seem to conflict. If ‘logically impossible states of affairs’ is a concept incomprehensible to humans, would not the statement that God can accomplish such things be equally incomprehensible? Just as the statement ‘a mathematical system in which the continuum hypothesis is true is possible’ is equally incomprehensible to someone who does not understand the continuum hypothesis. Feeling the need to address this problem, Descartes presented a subtle distinction between comprehensioncomprehend and apprehensionapprehend. If comprehension is the complete grasping of something within reason, apprehension is reason’s touching of something.
I know that God is the creator of all things, that there are immutable truths, and that God is their creator. I say that I know this, not that I perceive or grasp it. For although our mind is finite and thus cannot perceive or grasp God, we can know that God is infinite and omnipotent. This is like how our hands can touch a mountain but we cannot embrace a mountain with our two arms.
Therefore, Descartes would modify ③ as follows:
③ Humans can apprehend the statement in ② and furthermore judge it to be true.
Later, we shall encounter once again in the traditional interpretation of Wittgenstein’s Tractus such attempts to justify through subtle distinctions of words—dare one say, wordplay—the existence of propositions that are, strictly speaking, senseless but nevertheless pass for valid truths.
Leibniz opposed Descartes’s claim that God arbitrarily created logical laws. To refute Descartes, Leibniz resurrected the scholastic philosophical debate: “Is something good because God does it, or does God do it because it is good?” Leibniz argues for the latter. God acts because something is good. However, according to Leibniz, this does not suggest that God is bound by the concept of ‘good’. Rather, this fact shows that God understands that something is good. That is, the concept of ‘good’ precedes God’s will but is subsumed under God’s reason.
Leibniz emphasises that the concept of ‘good’ that precedes God’s will, far from being contrary to God’s freedom, is a condition for God’s freedom to be established. If there were no principles preceding God’s will, God would have no grounds for performing any particular action. (If God nonetheless acted, it could only be seen as random choice. However, we do not call random behaviour a choice by free will. Just as we do not say that electrons passing through a double slit choose which slit to pass through by free will. Therefore, free will requires principles to distinguish it from randomness.)
Similarly, Leibniz argues that logical laws are principles subsumed under God’s reason while preceding God’s will, and are conditions for God’s freedom to be established. This Leibnizian philosophy is inherited by Kant. Where Descartes viewed logical laws as products of reason, Kant reverses Descartes’s claim through the so-called ‘Copernican revolution’. According to Kant, logical laws are not products of reason but constitutive conditions of reason. And in a Leibnizian sense, free reason is reason that follows logical laws. Reason that does not follow logical laws cannot, in the strict sense, be called reason. (This is like how chess that does not follow the rules of chess cannot, in the strict sense, be called chess.) Putnam writes the following about Kant’s philosophy of logic:
Kant’s Lectures on Logic presents a position that stands in extreme opposition to what we today call ‘psychologism’—a pioneering, perhaps the first, work. […] What interests me is [Kant’s] repeated assertion that illogical thought is not, strictly speaking, thought at all.
Certainly logic contains no metaphysical assumptions. That thought in the normative sense, i.e., judgement that can be proven true [or false], follows logic is not something that metaphysics must explain. To explain something presupposes logic. For Kant, logic precedes all rational activity.
Kant particularly emphasises that logic must be strictly distinguished from psychology. As a science of empirical facts, psychology is a theory reached through rational judgement activity, while logic is a condition that must be presupposed for such rational activity to be possible. Therefore, attempts to reduce logic to psychology constitute a categorical error. Note here that the object of Kant’s discussion is not ‘human reason’ but reason in general.
However, Kant draws stricter boundaries of logic than Leibniz. According to Kant, logic concerns only the pure form of sentences. (Therefore, the law of excluded middle, modus ponensmodus ponens, contraposition, etc., belong to the category of logic, but what we today call set theory, model theory, and modal logic do not.) What this implies is that logic states nothing about the world. (Unlike set theory, which includes ontological statements such as the axiom of infinity—the axiom that at least one infinite set exists—or the empty set axiom—the axiom that the empty set exists—Kantian logic makes no ontological claims.)
Since logic is thus divorced from worldly affairs, attempts to justify the necessity of logic or to gain metaphysical insights from logic become subjects of transcendental critique. This is as much beyond the limits of reason as questions about the immortality of eternity or the existence of God. Later we shall see Wittgenstein accepting Kant’s claim while transposing it to a more fundamental level. In short, where Kant diagnosed the cause of philosophical confusion about logic as reason overstepping its limits, Wittgenstein diagnoses the cause of confusion as the illusion that there are limits that reason inevitably encounters.
Like Kant, Frege emphasises that logic is not a product of reason but a constitutive condition of reason—not human reason but reason in general. Frege particularly argues that for judgement to be established, it must be a proposition whose truth or falsity can be assessed. Thoughts that do not satisfy the conditions for judgement are pseudo-thoughtsScheingedanke. This is a requirement of the law of excluded middle, which Frege—and Kant as the sole logical law—puts forward as a logical law.
Based on this position, Frege strongly criticised the psychologism that was fashionable in his time. Frege criticises psychologism for confusing questions of causation with questions of justification. Psychological and physiological research on the human brain can provide explanations for why we accept logical laws as absolutely true. However, such explanations do not justify why logical laws are absolutely true. The validity of logical laws precedes psychology.
Frege’s argument successfully refutes what we might call weak psychologism—the position that recognises the absolute status of logical laws while attempting to reduce logic to psychology. However, it is still insufficient to refute strong psychologism—the position that does not recognise the absolute status of logical laws and attempts to reduce logic solely to psychology. Strong psychologists can dismiss questions about the absoluteness of logical laws as meaningless questions, like questions about the existence of God.
Frege’s logically alien thought experiment points out that there is a fundamental error in strong psychologism’s thinking. According to strong psychologism, aliens with different brain structures who think of logical laws contradicting ours as absolutely true are possible. Let us suppose that such an alien actually appeared before us. In this situation, Frege poses the following question: Which is correct: the alien’s logical laws or our logical laws?
At this point, the thought experiment divides into two paths. The first path is when the psychologist acknowledges Frege’s question as meaningful. In this case, the psychologist comes to acknowledge that there exists a logical system that precedes both the alien’s logical laws and our logical laws, and can judge which of the two laws is correct. The question “Which is correct, the alien or us?” belongs neither to alien-psychology nor to human-psychology. It transcends psychology, and acknowledging the meaningfulness of this question itself acknowledges logic that transcends psychology. Compared to this higher logic, the alien’s logic is revealed to be not different logic but wrong logic—that is, not logic at all.
(Here someone might ask whether our logic might be wrong. However, in this case, the alien thought experiment itself, and indeed all our reason, falls into a pit of nonsense. Scepticism about logic makes the arguments that led to such scepticism illogical, thereby completely destroying the possibility of philosophical enquiry. We have no choice but to regard our logic as correct. This becomes the cause of Frege’s internal tension, to be discussed below.)
The second path is when the psychologist dismisses even Frege’s question as meaningless. In this case, the psychologist would claim that no one’s logical laws are absolutely correct. The alien’s logical laws are correct for the alien, human logical laws are correct for humans, and there is nothing more to claim. However, Frege points out that such a psychologist’s attitude makes the position the psychologist wishes to maintain—namely, the possibility of aliens who think according to logical laws different from ours—incomprehensible.
What is crucial in Frege’s point is that for the proposition “A and B are logically different” to be meaningful, there must be presupposed a logic that can determine the identity of A and B. (For ease of understanding, let us use an example from topology rather than logic. The reason we can say that a sphere and a torus3 are topologically different is that there exist topological concepts—such as the number of holes4—that are commonly valid for both spheres and tori, and spheres and tori show differences with respect to those concepts.)
Similarly, the psychologist’s claim that aliens who are logically different from us can exist presupposes by itself a background logic that establishes the difference between our logic and the alien’s logic, and in this case we return to the first path. On the other hand, if what the psychologist claims is the existence of aliens who merely make different utterances from us, the difference here is nothing more or less than the difference between the sounds of two cows. The psychologist’s claim that aliens who think according to different logic from ours exist merely reveals that such aliens do not think in the first place. (Cows and humans both make sounds, but only the latter thinks. Bingo machines and calculators both output numbers, but only the latter calculates.)
From the arguments thus far, Frege’s conclusion appears to be “logically alien beings cannot exist”. If this were truly the conclusion of the argument, our thinking would have followed this process:
However—at least according to the “conditions for judgement” that Frege himself presents—is what we experience here not an illusion of thought? If we examine Frege’s argument closely, we can see that what he means to say is not “logically alien beings cannot exist for such and such reasons” but “the very positing of logically alien beings is incomprehensible”. The positing of logically alien beings makes our thinking non-thinking by placing our thought outside the scope of logic. Metaphorically speaking, it is a Trojan horse.
What is ultimately revealed here is that the thought experiment about logically alien beings is itself a kind of pseudo-thoughtScheingedanke. The psychologist’s claim that “logically alien beings are possible” is a sentence that lacks sense. It does not satisfy the condition for judgement that it should be “a proposition whose truth or falsity can be assessed”. And what this implies is that our claim that “logically alien beings are impossible” also lacks sense.5
However, in some sense, the sentence “logically alien beings are impossible” seems to contain something that is a true statement. Does it not reveal some truth about the nature of logic? It is merely that the logical structure of our language makes the utterance of that truth impossible. The Tractus has traditionally been interpreted in this context. Scholars such as HackerHacker and GeachGeach have interpreted the Tractus as a work that “shows” truths that “cannot be said in the strict sense” through counter-syntactic propositionscountersyntactic proposition. Here, counter-syntactic propositions are propositions that follow the natural syntax of language—for instance, the subject must precede the predicate—but at some point violate logical syntax—for instance, quantifying over type-theoretic objects at different levels with the same predicate. For example, the distinction between objectobject and conceptconcept cannot be expressed in strict logical language because they are type-theoretically different. The distinction between object and concept generates problems of the same type as Russell’s paradox by objectifying ‘concept’. Nevertheless, this distinction seems to bear important characteristics of logic. According to traditional interpretation, the Tractus is also composed of such counter-syntactic propositions—propositions that are strictly speaking senseless but nevertheless bear meaningful truths—and the final message of the Tractus to “throw away the ladder” is the passage that exposes the counter-syntactic characteristics of those propositions.
However, the author of the paper strongly criticises such traditional interpretation. Traditional interpretation has merely pretended to resolve the internal tension of the Tractus through spurious distinctions—”strictly speaking thought” and “thought”, “merely senseless” and “deeply senseless”, “fact” and “fact“—that are no more than wordplay, like Descartes’s distinction between ‘understanding’ and ‘grasping’, but has completely failed to actually resolve that tension. Traditional interpretation is completely dependent on these distinctions while failing to clearly explain how sentences that violate logical rules can be “senseless” but not “merely senseless”, how “thought can never be illogical (§3.03)” can be acknowledged while illogical “thought” remains possible. Therefore, the author presents a new interpretation that breaks with traditional interpretation. This is part of the interpretation called the “New Wittgenstein”.
Continued in Part 2
1. Note that in Kantian philosophy, ‘transcendent’ means “beyond the limits of experience,” while ‘transcendental’ means “related to the preconditions of rational judgment.”
2. Descartes’s claim is strangely Kantian. Indeed, Margaret Wilson evaluates Descartes’s position on logical laws as the progenitor of Kant’s transcendental philosophy and modern naturalism. However, as will become apparent later, there is an unbridgeable gap between Descartes’s position on logical laws and Kant’s position.
3. Strictly speaking, a torus. A torus is the surface of a doughnut.
4. Strictly speaking, the first homology group. For a sphere this is $\mathbb{Z}$ and for a torus this is $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.
5. The original paper states:
If we take the sentences “illogical thought is impossible” or “we cannot think illogically” to indeed present us with thoughts (with senses which we can affirm the truth of), then we concede what a moment ago we wished to deny (namely, that the negation of these sentences present us with a genuine content, one which is able to stand up to the demand for judgment). But if we conclude that these words (which we want to utter in response to the psychologistic logician) do not express a thought with a sense, then aren’t we, if we judge psychologism to be false, equally victims of an illusion of judgment? This is the problem at the heart of the onion.
That is, the author of the paper is pointing out that the following sentence is not actually a thought:
Translating this into logical notation:
Now contrast this with the following sentence:
(1) and (3) are morphologically identical sentences. Yet (3) appears to be a sentence with meaning. That meaning is that there exist no objects in this world that are both green and thoughts. An empiricist might say that (3) also passes the falsifiability principle. In short, if any green object amongst all green objects in the world is discovered to correspond to a thought, then (3) is rejected. Moreover, (4), the logical expression of (3), appears to violate no logical rules.
However, in my view, the idea that (1) and (2) are meaningful is, to borrow Frege’s expression, captivated by an “illusion of thought”. The most efficient way to argue this position is to emphasise the impropriety of the unrestricted quantifier $\exists x$ appearing in (4). What is the range of $x$? If the apple in front of me can be quantified by $x$, can the stem of the apple also be quantified by $x$? What is the criterion by which something—such as a leaf—should be considered an independent object rather than part of an object? Conversely, what is the criterion by which something—such as a tree—should be considered an independent object rather than a simple combination of objects? Should we acknowledge mathematical Platonism and consider ‘the set of natural numbers’ also as an object of quantification? Is ‘God’ also an object of quantification?
Thus unrestricted quantifiers require users to make strong ontological commitments. One way to avoid this awkward situation is to quantify $x$ to the truth set of $T$ instead of using unrestricted existential quantification. In short, modifying (4) as (5):
Here $\mathrm{Th}$ is the set of thoughts. But having written this, (5) becomes ill-formed. The problem lies in defining $G$. If we wish to avoid unrestricted quantification, we must also avoid unrestricted quantification in defining the domain of $G$. That is, a) is possible but b) is not:
a) G: physical objects → {T, F} (O)
b) G: all objects → {T, F} (X)
Therefore (5) is ill-formed. (5) violates logical rules by applying a predicate to an object that does not belong to its domain. In other words, (5) is a sentence that lacks sense.
This can be understood through the following mathematical example. You will have learnt that $0 < i$ is an incorrect inequality because in that context $<$ is a relation defined only over real numbers. And the reason $<$ can only be defined over real numbers relates to real numbers, imaginary numbers, and the logical rules required by $<$. According to the rules of $<$, multiplying both sides by a number greater than 0 maintains the direction of the inequality, while multiplying by a number less than 0 reverses the direction of the inequality. But if $0 < i$, then $0 = 0 \cdot i < i \cdot i = -1$, which is contradictory, and if $i < 0$, then $-1 = i \cdot i > 0 \cdot i = 0$, which is contradictory. Therefore $0 < i$ is an inequality that lacks sense. This does not mean that $0 < i$ is false, because if $0 < i$ were false, then $0 > i$ would have to be true.
See also the discussion in: https://forum.owlofsogang.com/t/topic/6465
분석·종합의 구분과 검증가능성 원리는 논리실증주의를 이루는 두 기둥이다. 하지만 콰인은 ⟪경험주의의 두 독단⟫에서 분석·종합의 구분과 검증가능성 원리는 문제적이라고 지적한다. 콰인은 분석성의 정의는 자기순환적이며, 명제는 독립적으로 검증될 수 없고 오로지 믿음의 망web of beliefs 전체가 검증의 대상이 될 수 있다고 주장한다. 콰인이 ⟪두 독단⟫에서 제시하는 논증은 논리실증주의를 와해할 뿐 아니라, 의미의 개념 자체가 허구적이라는 의미 회의주의와, 극단적 전체론을 시사한다. 또한 콰인의 논증에 대한 반론을 검토한다.
콰인은 분석성을 정의하려는 기존의 시도는 모두 만족스럽지 않다고 주장한다. 그 사례로 칸트와 프레게의 정의를 검토한다.
분석성에 대한 칸트의 첫 번째 정의는 다음과 같다.
“모든 a는 b이다”는 분석적이다 $\iff$ a가 b에 개념적으로 포함된다
그러나 위 정의는 “개념적으로 포함”이라는 비유적 표현에 의존할 뿐 아니라 주어-술어 구조의 문장만 고려한다는 한계가 있다. 분석성에 대한 칸트의 두 번째 정의는 다음과 같다.
P는 분석적이다 $\iff$ P의 부정이 모순을 시사한다
그러나 이 정의는 모순이 무엇인지 설명해야 한다는 한계를 가진다. 만약 모순을 “분석적으로 거짓인 명제”로 정의한다면 이것은 순환 정의에 불과하다.
분석성에 대한 프레게의 정의는 다음과 같다.
P는 분석적이다 $\iff$ P는 논리 법칙이거나, 정의와 논리 법칙만으로부터 도출 가능하다
여기서 논리 법칙이란 논리 연결사를 제외한 문장 성분들을 어떻게 해석하든지 참인 문장을 말한다. 예를 들어 $(φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ)$는 $φ$와 $ψ$를 어떻게 해석하든지 참이므로 논리 법칙이다. 이에 따라 “모든 총각은 결혼하지 않았다”는 다음과 같이 “총각”의 정의와 논리 법칙만으로 도출 가능하므로 분석적이다.
그러나 콰인은 어떤 단어의 정의가 무엇인지를 어떻게 알 수 있는지를 질문한다. 즉, “a와 b는 동의어이다”가 성립할 조건이 무엇인지 질문한다. 콰인은 이 질문에 대한 가능한 답을 몇 가지 검토한다. 첫 번째 시도는 다음과 같다.
(i) a와 b는 동의어이다 $\iff$ a와 b가 사전에 동의어로 등재되어 있다.
그러나 위 시도는 부적절하다. 왜냐하면 사전은 이미 알려진 동의어의 기록에 불과하기 때문이다. 그러나 우리가 원하는 것은 사전 작성자들이 어떤 기준으로 두 단어를 동의어로 등재하냐이다. 두 번째 시도는 다음과 같다.
(ii) a와 b는 동의어이다 $\iff$ 임의의 술어 P에 대해 P(a)와 P(b)의 진릿값이 같다.
그러나 위 시도 또한 부적절하다. a = “총각”, b = “결혼하지 않는 남성”, P(x): “x는 두 글자이다”일 때 a와 b는 동의어지만 P(a)는 참이고 P(b)는 거짓이기 때문이다.
이에 콰인은 자비의 원칙에 따라 이 문제를 해결하기 위해 인지적 의미cognitive meaning를 도입한다. 인지적 의미란 단어의 길이나 시적 분위기, 화용론적 특징 등과 관련하지 않고 오직 그것이 지시하는 대상이나 개념에 관련하는 의미이다. 이에 따라 다음과 같이 (ii)를 수정해야 한다.
(iii) a와 b는 동의어이다 $\iff$ 인지적 의미에만 관련하는 임의의 술어 P에 대해 P(a)와 P(b)의 진릿값이 같다.
그러나 위 시도 또한 부적절하다. 왜냐하면 “임의의 술어”의 외연이 언어에 상대적이기 때문이다. 일례로 심장을 가진 생물을 cordate, 신장을 가진 생물을 renate라고 하자. 지금까지 보고된 생물종은 모두 심장과 신장을 둘 다 가지거나 둘 다 결여한다. 따라서 L₁이 HasHeart(x)라는 술어만 포함하는 언어라면 HasHeart(Cordate)와 HasHeart(Renate)는 둘 다 참이므로, cordate와 renate는 동의어이다. 반면 L₂가 NecessarilyHasHeart(x)라는 술어를 포함하는 언어라면 NecessarilyHasHeart(cordate)는 참이지만 NecessarilyHasHeart(renate)는 거짓이므로 둘은 동의어가 아니다.
따라서 (iii)는 동의성을 언어에 의존적인 개념으로 만든다. (iii)가 유효한 정의이기 위해서는 “…가 필연적이다”와 같이 양상 표현하는 언어를 배경 언어로 설정해야 한다. 이에 따라 다음과 같이 (iii)를 수정해야 한다.
(iv) a와 b는 동의어이다 $\iff$ 양상 표현이 포함된 언어 L에 속하고 인지적 의미에만 관련하는 임의의 술어 P에 대해 P(a)와 P(b)의 진릿값이 같다.
그러나 콰인에 따르면 위 시도 또한 부적절하다. 왜냐하면 이제는 양상성의 의미를 설명해야 하기 때문이다. 즉, “a는 필연적으로 b이다”가 성립할 조건이 무엇인지 질문한다. 만약 필연성을 다음과 같이 정의하면 순환 논증에 봉착한다.
a는 필연적으로 b이다 $\iff$ 모든 a가 b라는 것은 분석적으로 참이다.
그러므로 분석성에 대한 프레게의 정의는 동의성이나 필연성에 대한 정의가 제시되지 않는 한 순환적이다.
콰인의 공격은 동의성을 겨냥하고 있지만, 그 함의는 훨씬 광대하다.
첫째, 콰인의 공격은 논리 법칙에 대한 본인의 정의 또한 공격한다. 일례로 콰인에 따르면 $P(x) ∧ Q(x) → P(x)$ 가 논리 법칙인 이유는 $P, Q, x$에 무엇을 대입하든 참인 문장이 되기 때문이다. 그러나 이 기준이 정합적이기 위해서는 x에 대입하는 단어가 동의적이라는 조건이 필요하다.
예를 들어 P(x): “x는 둥글다”, Q(x): “x는 딱딱하다”, 그리고 x = “배”일 때 P(x) ∧ Q(x) → P(x)는 “둥글고 딱딱한 배는 둥근 배이다”가 된다. 그러나 이 문장이 참이기 위해서는 주어부의 “배”와 술어부의 “배”가 동의어야 한다A round and hard pear is a round pear. 만약 주어부의 “배”가 과일인데, 술어부의 “배”가 선박이라면 거짓인 문장이 되기 때문이다A round and hard pear is a round ship. 따라서 논리 법칙에 대한 콰인의 정의 또한 동의성에 의존한다.
둘째, 콰인의 공격은 언어 간 번역을 허구적인 것으로 만든다. 누군가 “That apple is red”라는 문장의 번역을 묻는다면 우리는 “저 사과는 빨갛다”라고 말할 것이다. 이것이 올바른 번역인 이유는, ‘that’, ‘apple, ‘red’, ‘is’는 각각 ‘저’, ‘사과’, ‘빨갛다’, ‘이다’와 동의적이기 때문이다. 일반적으로 다음이 성립하는 것으로 보인다.
$φ$의 번역은 $ψ$이다 $\iff$ $φ$는 $ψ$와 동의적이다.
그런데 우변의 정의가 모호하다면 좌변의 정의 또한 모호한 것이 된다. 결론적으로 번역의 기준이 동의성에 의존하는 한 콰인의 공격은 번역, 나아가 의미 자체가 허구적인 개념이라는 의미 회의주의를 시사한다. (번역에 대한 회의주의가 의미에 대한 회의주의로 이어지는 논증에 관해서는 곧 올라올 다른 글을 참고하라)
콰인의 공격은 다음의 구조를 가진다.
개념 C의 정의가 순환적이라면 C는 정당하지 않다unintelligible.
이것을 콰인의 소크라테스적 조건 이라고 부르자. 콰인의 소크라테스적 조건은 지나치게 강한 요구 조건이라는 반박이 가능하다. 예를 들어 “빨강”이나 “파랑”을 순환적이지 않은 방식으로 정의할 수는 없지만 그렇다고 색깔 개념들이 정당하지 않은 것은 아니다. 또한 데이빗슨 등의 논의는 언어가 학습 가능하기 위해서는 무정의 용어가 필요함을 시사한다. 따라서 언어 L의 모든 개념이 소크라테스적 조건은 만족할 경우 L은 학습 불가능하다.
그럼에도 콰인은 모든 개념이 소크라테스적 조건을 만족할 필요는 없지만 특정 개념들은 반드시 소크라테스적 조건을 만족해야 하며, 분석성이 다름아닌 그러한 개념 중 하나라고 주장할 수 있다. 일례로 다음의 문장들을 보자.
모든 초록색인 것은 외연을 가진다.
위 문장이 분석적인지의 여부는 모호하다. 콰인은 이 모호성이 “초록”이나 “외연”의 의미로부터 비롯되는 문제가 아닌, “분석적”의 의미로부터 비롯된다고 주장하며, 이것은 여타 개념과 달리 분석성은 엄밀한 정의 없이는 정당화할 수 없는 개념임을 방증한다고 주장한다.
이에 대해 그라이스와 스트로슨은 “모든 초록색인 것은 외연을 가진다”의 분석성 여부가 모호한 이유는 분석성의 의미가 모호하기 때문이 아니라 “모든 초록색인 것”의 의미가 모호하기 때문이라고 주장한다. 요컨대 “초록색 점멸” 또한 “모든 초록색인 것”에 해당하는지가 모호하므로 문장의 분석성을 결정할 수 없다는 것이다. 오히려 분석성은 거의 모든 사람에 의해 일관적인 방식으로 사용되고 있으므로, 소크라테스적 조건이 요청될 정도로 모호한 개념이라고 볼 이유는 없다고 주장한다.
논리실증주의에 따르면 모든 참은 분석적이거나 종합적이다. 이 중 분석적 참은 논리적 분석을 통해 검증할 수 있고, 종합적 참은 감각 자료를 통해 검증할 수 있다. 이에 따라 일반적으로 문장의 의미는 감각 자료의 논리적 복합체logical compound of sense data라는 환원주의적 논제가 얻어진다. 예를 들어 “고양이는 책상 위에 있거나 상자 안에 있다”의 의미는 “고양이”, “책상”, “상자”에 대응하는 감각 자료와 “또는”, “있다” 등의 논리적 연결사로 분석된다.
그러나 콰인은 의미론적 환원주의자는 자연 언어의 문장을 감각 자료의 논리적 복합체로 환원하는 것이 실제로 가능함을 보일 입증 책임burden of proof이 있다고 주장한다. 이에 콰인은 카르납이 ⟪세계의 논리적 구조⟫에서 감각 자료와 논리적 연결사만 가지고서 자연 언어를 구축하려고 시도한 사례를 언급하지만, 카르납의 프로젝트는 본인 스스로도 실패했다고 인정했다.
콰인은 환원주의의 입증 책임이 해소되지 않는 한 환원주의는 정당화될 수 없다고 주장한다.
논리실증주의에 따르면 문장의 의미는 그것의 검증 가능성이다. 이같은 의미의 검증주의적 이론verificationist theory of meaning 하에서 분석성은 다음과 같이 정의할 수 있다.
P는 분석적이다 $\iff$ P는 검증의 결과가 어떻든지 참이다
그러나 콰인은 논리실증주의의 분석성 정의 또한 문제적이라고 주장한다. 콰인에 따르면 개별 명제를 독립적으로 떼 놓고서 검증하기란 불가능하므로, 의미의 검증주의적 이론은 개별 문장의 의미를 해명할 수 없기 때문이다.
예를 들어 다음의 명제를 보자.
(i) 물은 100°C에서 끓는다
위의 명제를 검증하는 한 가지 방법은 끓는 물에 온도계를 넣는 것이다. 그런데 끓는 물에 온도계를 넣어보니 102°C가 나왔다면 우리는 (i)를 기각해야 할까? 그렇지 않다. 우리는 (i)를 기각하는 대신 “온도계가 고장났다”, “순수한 물이 아니었다”, “기포 발생이 저해되어 과가열되었다”, “내가 온도계를 잘못 읽었다” 등 수많은 다른 명제를 대신 선택할 수 있다.
따라서 콰인은 검증의 대상이 되는 것은 언제나 믿음의 망web of beliefs 전체라는 인식론적 전체론epistemological holism을 주장한다. 위의 경우에서 검증되는 것은 “물은 100°C에서 끓는다”는 명제가 아닌, “이것은 순수한 물이고, 온도계는 정상적이고, 과가열이 일어나지 않을 것이며, 물은 100°C에서 끓으며…” 등의 믿음의 망인 것이다.
콰인의 전체론은 모든 명제에 해당한다는 점에서 극단적이다. 콰인에 따르면 믿음의 망에는 분야 간 뚜렷한 경계가 없다. 따라서 수학이라고 해서 과학이나 철학에 비해 독보적인 인식론적 지위를 누리는 것은 아니다. 이것은 콰인의 자연주의로 이어진다.
콰인에 따르면 명제 $φ$가 확실certain하다는 것은, $φ$가 어떤 경우에서도 참이라는 의미가 아니라, $φ$가 믿음의 망 깊숙한 곳에 자리잡고 있다는 의미이다. 믿음의 망에 반하는 검증 결과가 제시되었을 때 우리는 믿음의 망을 수정해야 하는데, 추후에 믿음의 망에 반하는 결과들이 나올 가능성이 최소화되도록 망을 수정하는 것이 가장 실용적이다. 실용성의 원칙에 따라 핵심부에 있는 믿음을 폐기·수정하는 것보다 주변부에 있는 믿음을 폐기·수정하는 것이 바람직하다. 따라서 핵심부에 있는 믿음은 거의 영구적으로 존속하게 되어 확실성의 지위를 획득한다. 그러나 만약 핵심부에 있는 믿음 — 이를테면 논리학의 법칙들 — 을 폐기하는 것이 더욱 실용적인 상황이 닥친다면 콰인은 논리학을 폐기하는 것이 마땅하다고 본다.
라이트Crispin Wright는 콰인의 전체론이 무한 퇴행에 빠지기 때문에 비정합적이라고 주장한다. 예를 들어 다음의 두 가지 요소로 구성된 믿음의 망을 고려하자.
추가로 $p → q$가 $T$와 $\mathcal{S}$로부터 도출 가능한 법칙에 해당한다고 가정하자. 예를 들어 $T$가 뉴턴 역학이고 $\mathcal{S}$가 1차 논리라면, $p$는 “광자는 질량이 없다”이고 $q$는 “광자는 중력의 작용을 받지 않는다”일 수 있다.
이제 $T$와 $\mathcal{S}$에 반하여, $p$와 $¬q$를 시사하는 관찰 결과 — 이를테면 중력 렌즈 효과 — 가 나타났다고 가정하자. 콰인의 전체론을 따르면 다음 네 가지 명제는 모두 기각될 수 있는 명제의 후보이다.
위 4개의 후보 중 무엇을 기각할지는 실용성의 기준으로 정해진다. 일례로 실용적 고려가 다음을 시사한다고 하자.
그러나 라이트는 (5) 또한 믿음의 망에 속한다고 지적한다. 그러므로 우리는 (4)를 기각하는 대신, (5)를 기각하기로 선택할 수 있다. 반대로 (5)를 기각하지 않기 위해서는 다음의 믿음이 추가로 요청된다.
그런데 (6)을 기각하지 않기 위해서는 (6)을 기각하지 않는 것이라는 믿음이 추가로 요청되고, 이것은 무한 퇴행로 이어진다. 그러므로 라이트는 인식론이 무한 퇴행에 빠지지 않기 위해서는 (4)와 같은 일부 믿음을 실용주의적 고려의 범위 밖에 위치시켜야 한다고 주장한다.
Quine, Willard V. O. (1951). Two Dogmas of Empiricism. Philosophical Review 60 (1):20–43.
Miller, Alexander (1998). Philosophy of Language. New York: Routledge.
The distinction between analytic and synthetic propositions, and the verification principle, are the two pillars of logical positivism. However, in Two Dogmas of Empiricism, Quine argues that both the analytic-synthetic distinction and the verification principle are ungrounded. Quine argues that the definition of analyticity is circular. Furthermore, he argues that propositions cannot be verified in isolation, and that only the entire web of beliefs can stand up to verification. The arguments Quine presents in Two Dogmas not only undermine logical positivism but also suggest skepticism about meaning and a radical form of holism. This post also examines some objections to Quine’s arguments.
Quine claims that all previous attempts to define analyticity are unsatisfactory. He examines the definitions provided by Kant and Frege as examples.
Kant’s first definition of analyticity is as follows:
“All $a$ are $b$” is analytic $\iff$ $a$ is conceptually contained in b
However, not only this definition relies on the metaphorical expression “conceptually contained”, but it is also limited to propositions with a subject-predicate structure. Kant’s second definition of analyticity is as follows:
$P$ is analytic $\iff$ $\lnot P$ implies a contradiction
But this definition requires an explanation of what a contradiction is. If contradiction is defined as “a proposition that is analytically false,” then this is merely a circular definition.
Frege’s definition of analyticity is as follows:
$P$ is analytic $\iff$ $P$ is a law of logic, or is derivable solely from the definitions of terms involved and the laws of logic
By “law of logic”, Quine understands it to be a sentence that is true regardless of how the non-logical terms are interpreted. For example, $(φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ)$ is a law of logic because it is true no matter how $φ$ and $ψ$ are interpreted. Accordingly, “All bachelors are unmarried” is analytic as it can be derived solely from the definition of “bachelor” and laws of logic as follows:
Quine challenges Frege’s definition by questioning how we can determine the definition of a word. That is, he questions under what conditions “$a$ and $b$ are synonymous” holds. Quine examines several possible answers to this question. The first attempt is as follows:
(i) $a$ and $b$ are synonymous $\iff$ $a$ and $b$ are listed as synonyms in the dictionary.
But clearly this approach is flawed, since a dictionary merely records already known synonyms. What we want to know is the criterion by which dictionary compilers list two words as synonyms. The second attempt is as follows:
(ii) $a$ and $b$ are synonymous $\iff$ for any predicate $P$, $P(a)$ and $P(b)$ have the same truth value.
But this too is inadequate. For example, let $a$ = bachelor, $b$ = unmarried man, and $P(x)$: $x$ is a two-syllable word. Although $a$ and $b$ are synonymous, $P(a)$ is true while $P(b)$ is false.
To address this, Quine introduces the notion of cognitive meaning. Cognitive meaning is related only to the referent or concept, and excludes aspects such as word length, poetic mood, etc. Thus, (ii) is revised as follows:
(iii) $a$ and $b$ are synonymous $\iff$ for any predicate $P$ relevant only to cognitive meaning, $P(a)$ and $P(b)$ have the same truth value.
However, this is also inadequate. This is because the extension of “any predicate” is language-relative. (This is partly related to Quine’s skepticism about second-order logic.) For example, let us call creatures with a heart “cordate” ($c$) and those with a kidney “renate” ($r$). All known species either have both a heart and a kidney or neither. Thus in a language $L_1$ that contains only the predicate $\mathrm{HasHeart}(x)$, both $\mathrm{HasHeart}(c)$ and $\mathrm{HasHeart}(r)$ are true, so cordate and renate are synonymous. Yet in a language $L_2$ that contains the predicate $\mathrm{NecessarilyHasHeart}(x)$, $\mathrm{NecessarilyHasHeart}(c)$ is true but $\mathrm{NecessarilyHasHeart}(r)$ is false, so they are no longer synonymous.
Thus, (iii) makes synonymy language-dependent. Indeed, for (iii) to be valid, it seems that the assumed language must include modality. Accordingly, (iii) is revised as follows:
(iv) $a$ and $b$ are synonymous $\iff$ in a language $L$ with modal expressions, for any predicate $P$ relevant only to cognitive meaning, $P(a)$ and $P(b)$ have the same truth value.
However, Quine claims that even this is inadequate. For now the meaning of modality must be explained. That is, he now asks under what conditions “$a$ is necessarily $b$” holds. To define necessity as follows is to give a circular definition:
$a$ is necessarily $b$ $\iff$ “All a are b” is analytically true.
Therefore, Frege’s definition of analyticity is circular unless either a valid definitions of synonymy, or necessity, is provided.
Quine’s attack targets synonymy, but its implications are much broader.
First, Quine’s attack also undermines his own definition of laws of logic. For example, according to Quine, $P(x) ∧ Q(x) → P(x)$ is a law of logic because it is true no matter what is substituted for $P, Q, x$. However, for this criterion to be coherent, the terms substituted for x must be synonymous.
For example, let $P(x):$ $x$ is large, $Q(x):$ $x$ is wet, and $x$ = bank. Then, $P(x) ∧ Q(x) → P(x)$ becomes “A large and wet bank is a large bank.” For this sentence to be true, the two “bank”s of the subject and predicate must be synonymousA large and wet riverland is a large riverland. Otherwise, the sentence is falseA large and wet riverland is a large financial establishment. Thus, Quine’s definition of law of logic also depends on synonymy.
Second, Quine’s attack renders translation between languages fictitious. If someone asks for the translation of “Dieser Apfel ist rot,” we would say “This apple is red.” That this is the correct translation relies upon ‘dieser’, ‘Apfel’, ‘ist’, and ‘rot’ being respectively synonymous with ‘this’, ‘apple’, ‘is’, and ‘red’. Generally, the following seems to hold:
$φ$ is a translation of $ψ$ $\iff$ $φ$ is synonymous with $ψ$.
Hence if the notion in the right side is ambiguous, then that in the left is also ambiguous. Consequently, Quine’s skepticism about synonymy extends to skepticism about translation, and hence to skepticism about meaning. (For an argument connecting skepticism about translation to skepticism about meaning, see forthcoming article.)
Quine’s attack has the following structure:
If the definition of a concept $C$ is circular, then $C$ is unintelligible.
Let us call this Quine’s Socratic Condition. It may be the case that Quine’s Socratic Condition is too strong of a requirement. For example, “red” or “blue” cannot be defined in a non-circular way — a person born blind cannot “make colors appear before them”, no matter how many utterances involving color words are given to them — but that does not mean that color words are unintelligible. Indeed, Davidson and others have argued that language learning requires some primitive terms — i.e. were there a language all of whose concepts satisfy the Socratic Condition, that language would be unlearnable.
Nevertheless, Quine might argue that although not every concept should satisfy the Socratic Condition, especially those that relate to immediate sense data, certain vaguer concepts—such as analyticity—must. Consider the following sentence:
Everything green has an extension.
Whether this sentence is analytic is ambiguous. Quine claims that this ambiguity arises not because of ambiguity in “green” or “extension,” but of “analytic.” This, he argues, shows that analyticity, unlike color words, cannot be legitimised without a rigorous definition.
In response, Grice and Strawson argue that the ambiguity in whether “Everything green has an extension” is analytic arises not from “analytic,” but from “everything green.” For example, it is unclear whether a “green flash” counts as “everything green,” so the truth value of the sentence remains undetermined. On the other hand, analyticity seems to be used in a consistent way by almost every philosopher and every layman, so there is no reason to think of it so ambiguous as to require the Socratic Condition.
According to logical positivism, every truth is either analytic or synthetic. Analytic truths can be verified through logical analysis, and synthetic truths can be verified through sense data. Thus, the meaning of a sentence is generally taken to be a logical compound of sense data. This is the reductionist thesis of positivism. For example, the meaning of “The cat is on the table or in the box” is analyzed into sense data corresponding to “cat,” “table,” “box,” and logical connectives such as “or” and “is.”
However, Quine argues that semantic reductionists bear the burden of proof to show that it is actually possible to reduce natural language sentences to logical compounds of sense data. He refers to Carnap’s attempt in The Logical Structure of the World to reconstruct natural language solely from sense data and logical connectives, but notes that, as Carnap himself admitted, the project failed.
Quine claims that reductionism cannot be justified unless this burden of proof is met.
According to logical positivism, the meaning of a sentence is its verifiability. Under this verificationist theory of meaning, analyticity can be defined as follows:
P is analytic $\iff$ P is true regardless of the outcome of verification
However, Quine argues that the logical positivist definition of analyticity is also problematic. Quine claims that it is impossible to verify individual propositions in isolation, hence the verificationist theory of meaning cannot account for the meaning of individual sentences.
Consider the following proposition:
(i) Water boils at 100°C
One way to verify this proposition is to put a thermometer in boiling water. But if the thermometer reads 102°C, should we reject (i)? Not necessarily. Instead, we might reject “the thermometer is working,” “the water is pure,” “superheating did not occur,” “I read the thermometer correctly,” and so on.
Thus, Quine argues that what is subject to verification is always the entire web of beliefs. This is his holistic epistemology. In the above case, what is being tested is not the proposition “water boils at 100°C,” but the entire web of beliefs: “this is pure water, the thermometer is working, superheating did not occur, water boils at 100°C, …” and so on.
Quine’s holism is radical in that it applies to all propositions. Quine claims that there is no sharp boundary between domains within the web of beliefs. Thus, mathematics does not enjoy a privileged epistemological status over science or philosophy. This leads to Quine’s naturalism.
For Quien, that a proposition $φ$ is certain, does not mean that $φ$ is true in all cases — something which cannot be verified in isolation — but that $φ$ is located deep within the web of beliefs. When evidence contrary to the web of beliefs is presented, we must revise the web so as to minimise the likelihood of future contrary evidence. Hence in a pragmatic spirit, it is preferable to revise beliefs at the periphery rather than those at the core. Thus, beliefs at the core persist almost permanently and acquire the status of certainty. However, if it becomes more practical to abandon a core belief—such as a law of logic—Quine holds that it is appropriate to do so.
Crispin Wright argues that Quine’s holism is incoherent because it leads to infinite regress. Consider a web of beliefs consisting of the following two elements:
Suppose that $p → q$ is a law derivable from $T$ and $\mathcal{S}$. For example, if $T$ is Newtonian mechanics and $\mathcal{S}$ is first-order logic, $p$ might be “photons have no mass” and $q$ might be “photons are not affected by gravity.”
Now suppose that, contrary to $T$ and $\mathcal{S}$, an observation is made that supports $p$ and $¬q$—for example, gravitational lensing. According to Quine’s holism, the following four propositions are all candidates for rejection:
Which of these four to reject is determined by pragmatic considerations. Suppose, for example, that pragmatism suggests the following:
However, Wright points out that (5) itself is part of the web of beliefs. Thus, instead of rejecting (4), we could choose to reject (5). Conversely, to avoid rejecting (5), the following belief is required:
But to avoid rejecting (6), we require the belief that it is practical not to reject (6), and so on, leading to infinite regress. Thus, Wright argues that to avoid infinite regress in epistemology, some beliefs—such as (4)—must be placed outside the scope of pragmatic considerations.
Quine, Willard V. O. (1951). Two Dogmas of Empiricism. Philosophical Review 60 (1):20–43.
Miller, Alexander (1998). Philosophy of Language. New York: Routledge.
다음은 학부 수리논리학의 유명한 정리이다.
콤팩트성 정리. $\mathcal{L}$의 이론 $T$에 대해, $T$의 모든 유한한 부분이론이 모델을 가진다면, $T$는 모델을 가진다.
그런데 왜 이 정리의 이름은 콤팩트성 정리인 것일까? 잘 들여다 보면, 위 정리의 진술은 다음과 같이 적을 수 있다.
임의의 $\mathcal{L}$-문장들의 집합 $T$가 모델을 가지지 않는다면, 어떤 유한한 부분집합 $T’ \subset T$가 존재하여 $T’$이 모델을 가지지 않는다.
확실히 이는 위상수학에서 콤팩트의 정의와 유사하다.
임의의 열린집합들의 모임 $\mathcal{C}$가 전채 공간의 덮개라면, 어떤 유한한 부분집합 $\mathcal{C}’ \subset \mathcal{C}$가 존재하여 $\mathcal{C}’$가 전체 공간을 덮는다.
이 유사성은 단순한 관찰 이상으로 확대될 수 있다. 아이디어는 각각의 완전complete한 $\mathcal{L}$-이론을 공간의 한 점으로 본 뒤, 이들 모임에 적절한 위상을 부여하였을 때, 콤팩트성 정리가 해당 공간이 콤팩트할 필요충분조건이 되는 것이다. 먼저 다음을 정의한다.
정의. $\mathcal{L}$-구조 $\mathfrak{A}$에 대해, $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$를 $\mathfrak{A}$에서 참인 모든 $\mathcal{L}$-문장들의 집합으로 정의한다.
참고로 위 집합은 이전 글에서 초등적 동등성을 설명하며 정의한 바 있다.
$\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$는 무모순적이며 형태론적으로 완전한 이론임이 자명하다. 반대로, 이론 $T$가 무모순적이며 형태론적으로 완전한 이론일 때, 괴델의 완전성 정리에 의해 $T$는 모델 $\mathfrak{A}$를 가지며, $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$이다. 따라서 $\mathrm{Th}$는 모든 무모순적이며 형태론적으로 완전한 이론을 생성한다.
이제 위상공간의 배경이 될 공간을 정의해 보자. 먼저 언어 $\mathcal{L}$에 대해, 공간 $\mathcal{S}$를 다음과 같이 정의한다.
\[\mathcal{S} = \{ \mathrm{Th}(\mathfrak{A}) : \mathfrak{A}\text{ is a $\mathcal{L}$-structure } \}\]앞서 말했듯이 괴델의 완전성 정리에 의해 $\mathcal{S}$는 무모순적이며 형태론적으로 완전한 이론들의 모임과 사실상 같다. 그러나 후술하겠듯이, 완전성 정리를 사용하지 않더라도 $\mathcal{S}$의 위상적 콤팩트성과 1차 논리의 콤팩트성 정리가 동치임을 보이는 것이 목적이기 때문에, 일단은 $\mathcal{S}$를 그저 $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$의 모임으로서 생각하는 것이 낫다.
이제 $\mathcal{S}$의 위상 기저를 정의하자. $\mathcal{L}$-문장 $\phi$에 대해, 다음과 같이 정의한다.
\[U_\phi = \{ T \in \mathcal{S} : \phi \in T \}\]자명하게, $U_\phi \cap U_\psi = U_{\phi \land \psi}$이다. 즉, $U_\phi$의 모임 $\mathcal{B}$는 유한 교집합에 대해 닫혀 있다. 또한 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{S}$를 덮는다. $T \in \mathcal{S}$에 대해, $\phi \in T$라면 $T \in U_\phi$이기 때문이다. 따라서 $\mathcal{B}$는 위상 기저의 조건을 만족하며, 이에 따라 $\mathcal{B}$로 생성되는 위상을 $\mathcal{S}$에 부여하자.
정리. $\mathcal{S}$는 다음의 특징을 가진다.
- 하우스도르프이다.
- 완전 비연결 공간totally disconnected space이다. 즉, $\mathcal{S}$에서 연결된 공간은 오직 홑원소 집합뿐이다.
증명.
정리. 1차 논리의 콤팩트성 정리는 $\mathcal{S}$가 콤팩트 공간인 것과 동치이다.
증명.
보조정리. $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$가 $\mathcal{S}$를 덮을 필요충분조건은, $\Gamma = \lbrace \lnot \phi : U_\phi \in \mathcal{C} \rbrace $가 모델을 가지지 않는 것이다.
증명. 만약 $\Gamma$가 모델 $\mathfrak{A}$를 가진다면 $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$가 $\mathcal{C}$에 의해 덮여지지 않는다. 한편, $\mathcal{C}$가 $\mathcal{S}$를 덮지 못한다면 어떤 구조 $\mathfrak{A}$가 존재하여 $\phi \in \Gamma$에 대해 $\phi \notin \mathfrak{A}$이고, 이는 $\mathfrak{A}$가 $\Gamma$의 모델임을 의미한다. □
이제 본 정리를 증명하자. $\mathcal{S}$가 콤팩트할 필요충분조건은 임의의 기저 원소들로 이루어진 $\mathcal{S}$의 덮개가 유한 부분덮개를 가지는 것이다. $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$에 대해, $\mathcal{C}$가 $\mathcal{S}$를 덮을 필요충분조건은 (보조정리에 의해) $\Gamma$가 모델을 가지지 않는 것이다. 따라서,
$\mathcal{S}$가 콤팩트하다
$\Leftrightarrow$ 임의의 기저 원소들의 모임 $\mathcal{C}$가 덮개라면, 유한 부분덮개가 존재한다.
$\Leftrightarrow$ 임의의 이론 $\Gamma$가 모델을 가지지 않는다면, 모델을 가지지 않는 유한 부분이론이 존재한다.
$\Leftrightarrow$ 콤팩트성 정리 ■
정의. 완전 비연결인 콤팩트 하우스도르프 공간을 스톤 공간Stone space이라고 부른다.
1차 논리의 콤팩트성 정리에 의해, $\mathcal{S}$는 스톤 공간이다. 이와 같이 논리적 구조를 위상적으로 분석하는 접근은 스톤 이중성Stone duality이라고 불리는, 현대수학의 깊은 주제와 연관이 있다.
This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.
The following is a famous theorem from undergraduate mathematical logic.
Compactness Theorem. For a theory $T$ in language $\mathcal{L}$, if every finite subtheory of $T$ has a model, then $T$ has a model.
But why is this theorem called the compactness theorem? Upon closer examination, the statement of the above theorem can be written as follows:
If an arbitrary set of $\mathcal{L}$-sentences $T$ has no model, then there exists some finite subset $T’ \subset T$ such that $T’$ has no model.
This is certainly similar to the definition of compactness in topology.
If an arbitrary collection of open sets $\mathcal{C}$ covers the entire space, then there exists some finite subset $\mathcal{C}’ \subset \mathcal{C}$ such that $\mathcal{C}’$ covers the entire space.
This similarity can be extended beyond mere observation. The idea is to regard each complete $\mathcal{L}$-theory as a point in a space, and when we endow this collection with an appropriate topology, the compactness theorem becomes a necessary and sufficient condition for the corresponding space to be compact. First, we define the following:
Definition. For an $\mathcal{L}$-structure $\mathfrak{A}$, we define $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ as the set of all $\mathcal{L}$-sentences that are true in $\mathfrak{A}$.
Incidentally, this set was defined in a previous post when explaining elementary equivalence.
It is clear that $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ is a consistent and syntactically complete theory. Conversely, when a theory $T$ is consistent and syntactically complete, by Gödel’s completeness theorem, $T$ has a model $\mathfrak{A}$, and $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$. Therefore, $\mathrm{Th}$ generates all consistent and syntactically complete theories.
Now let us define the space that will serve as the background for our topological space. First, for a language $\mathcal{L}$, we define the space $\mathcal{S}$ as follows:
\[\mathcal{S} = \{ \mathrm{Th}(\mathfrak{A}) : \mathfrak{A}\text{ is a $\mathcal{L}$-structure } \}\]As mentioned earlier, by Gödel’s completeness theorem, $\mathcal{S}$ is essentially the same as the collection of consistent and syntactically complete theories. However, as we shall see later, since our goal is to show that the topological compactness of $\mathcal{S}$ is equivalent to the compactness theorem of first-order logic without using the completeness theorem, it is better to think of $\mathcal{S}$ simply as a collection of $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ for now.
Now let us define a topological basis for $\mathcal{S}$. For an $\mathcal{L}$-sentence $\phi$, we define:
\[U_\phi = \{ T \in \mathcal{S} : \phi \in T \}\]Trivially, $U_\phi \cap U_\psi = U_{\phi \land \psi}$. That is, the collection $\mathcal{B}$ of $U_\phi$ is closed under finite intersections. Moreover, $\mathcal{B}$ covers $\mathcal{S}$. For $T \in \mathcal{S}$, if $\phi \in T$, then $T \in U_\phi$. Therefore, $\mathcal{B}$ satisfies the conditions for a topological basis, and we endow $\mathcal{S}$ with the topology generated by $\mathcal{B}$.
Theorem. $\mathcal{S}$ has the following properties:
- It is Hausdorff.
- It is a totally disconnected space. That is, the only connected subspaces in $\mathcal{S}$ are singleton sets.
Proof.
Theorem. The compactness theorem of first-order logic is equivalent to $\mathcal{S}$ being a compact space.
Proof.
Lemma. A necessary and sufficient condition for $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$ to cover $\mathcal{S}$ is that $\Gamma = \lbrace \lnot \phi : U_\phi \in \mathcal{C} \rbrace $ has no model.
Proof. If $\Gamma$ has a model $\mathfrak{A}$, then $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ is not covered by $\mathcal{C}$. On the other hand, if $\mathcal{C}$ does not cover $\mathcal{S}$, then there exists some structure $\mathfrak{A}$ such that for $\phi \in \Gamma$, $\phi \notin \mathfrak{A}$, which means that $\mathfrak{A}$ is a model of $\Gamma$. □
Now we prove the main theorem. A necessary and sufficient condition for $\mathcal{S}$ to be compact is that any cover of $\mathcal{S}$ consisting of basis elements has a finite subcover. For $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$, a necessary and sufficient condition for $\mathcal{C}$ to cover $\mathcal{S}$ is (by the lemma) that $\Gamma$ has no model. Therefore,
$\mathcal{S}$ is compact
$\Leftrightarrow$ If any collection of basis elements $\mathcal{C}$ is a cover, then there exists a finite subcover.
$\Leftrightarrow$ If any theory $\Gamma$ has no model, then there exists a finite subtheory that has no model.
$\Leftrightarrow$ Compactness theorem ■
Definition. A compact Hausdorff space that is totally disconnected is called a Stone space.
By the compactness theorem of first-order logic, $\mathcal{S}$ is a Stone space. This approach of analysing logical structures topologically is connected to a deep topic in modern mathematics called Stone duality.
이전 글에서, $\mathcal{L}$-구조 $\mathfrak{A}$에서 정의가능한 집합들이 무엇인지에 관해 알아 보았다. $S \subseteq A$가 $\mathfrak{A}$에서 특정 산술 위계에 속하는 명제 $\phi$로 정의가능할 때, $S$가 그 위계에 속한다고 하자. 예를 들어 $S$가 $\Pi_1$ 문장으로 정의 가능할 때, $S \in \Pi_1$이다.
예를 들어 표준 산술 모형 $\mathfrak{N} = (\mathbb{N}, 0, S, +)$에서 짝수의 집합은 $\Sigma_1$이다.
\[\{ x \in \mathbb{N} : \mathfrak{N} \vDash \exists y (y + y = x) \}\]집합의 구조는 위계가 높아질수록 까다롭기 때문에, 가장 다루기 이상적인 상황은 모든 정의가능한 집합이 $\Delta_0$으로 환원되는 상황이다. 이같은 특징을 가지는 이론을 양화사 제거 가능한 이론이라고 부른다.
정의. $\mathcal{L}$-이론 $T$가 양화사 제거quantifier elimination 가능하다는 것은 임의의 $\mathcal{L}$-명제 $\phi$에 대해 어떤 $\Delta_0$ $\mathcal{L}$-명제 $\psi$가 존재하여 다음이 성립하는 것이다.
\[T \vdash \forall \vec{x} (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \psi(\vec{x}))\]
양화사 제거 판별법. $T$가 양화사 제거 가능할 충분조건은, $T$가 $\Sigma_1$ 명제에 대해 양화사 제거 가능한 것이다.
증명. 먼저 임의의 $\Delta_0$ 명제 $\psi$에 대해 $\forall x \psi$가 양화사 제거 가능함을 보이자. $\forall x \psi$는 $\lnot\exists x \lnot \psi$와 동치이고, 가정에 의해 $\exists x \lnot \psi$는 어떤 양화사가 없는 명제 $\theta$와 동치이다. 따라서 $\forall x \psi$는 $\lnot \theta$와 동치이며, 양화사 제거 가능하다. 이제 양화사 개수에 대한 귀납법을 적용하면 임의의 명제에 대해 양화사 제거가 가능함이 보여진다. ■
어떤 이론이 양화사 제거 가능할 경우 해당 이론이 완전함을 보일 수 있는 경우가 종종 있다. 일례로 다음을 보자.
정리. 조밀 무계 전순서 이론 $T$는 양화사 제거 가능하다.
증명. 먼저 다음 개념을 정의한다.
정의. 유한한 변수들의 배열arrangement이란, 변수들의 순서 관계의 무모순적인 논리곱을 의미한다.
예를 들어 다음은 $\lbrace v_1, v_3, v_7, v_8 \rbrace$의 배열이다.
\[(v_1 < v_3) \land (v_8 \land v_7) \land (v_3 = v_8)\]증명의 핵심은 다음의 보조정리이다.
보조정리. $\mathcal{L} = (<)$의 $\Delta_0$ 명제는 전순서 이론에서 모순과 동치이거나, 어떤 배열들의 논리합과 동치이다.
보조정리를 인정하고 본 정리를 증명해 보자. 양화사 제거 판별법에 의해, $\psi \in \Delta_0$에 대해 $\exists x \psi$가 양화사 제거 가능함을 보이면 된다. 보조정리에 의해 $\psi$는 $\theta_1 \lor \cdots \lor \theta_n$과 동치이며, 각 $\theta_i$는 변수들의 배열이다. $\exists$의 분배법칙에 의해,
\[T \vdash \exists x \psi \leftrightarrow \Big( (\exists x \theta_1) \lor \cdots (\exists x \theta_n) \Big)\]이다. 그런데 조밀 무계 전순서에서는 배열 $\theta$에 대해, $\exists x \theta$는 $\theta$의 순서 관계를 한줄로 쭉 적은 뒤, $x$를 지운 명제와 동치이다. 예를 들어 $\exists x (v_1 < x) \land (x < v_2)$는 $\exists x (v_1 < x < v_2)$로 적을 수 있고, 이는 조밀성에 의해 $v_1 < v_2$와 동치이다. 한편 $\exists x (v_1 < x)$는 무계성에 의해 항진이며, $v_1 = v_1$과 동치이다. 따라서 위 식의 우항은 양화사 제거 가능하며, 이에 따라 $\exists x \psi$ 또한 양화사 제거 가능하다. ■
따름정리. $T$는 완전하다.
증명. $T$가 양화사 제거 가능하므로, 표준 양화사 제거 형식에 의해, 최대 1개의 자유변수 $x$를 가지는 임의의 $\Delta_0$ 문장 $\psi \in \Delta_0$에 대해 $T \vdash \psi$이거나 $T \vdash \lnot\psi$임을 보이면 된다. 보조정리에 의해 $\psi$는 $x$의 배열과 동치이다. 그런데 가능한 $x$의 배열은 $x < x$와 $x = x$, 두 가지밖에 없다. 전자의 경우 모순이므로 $T \vdash \lnot\psi$이고, 후자의 경우 항진이므로 $T \vdash \psi$이다. ■
$T$가 양화사 제거 가능한 것과 대조적으로, 조밀 유계 전순서 이론 $T_{\mathrm{bd}}$는 양화사 제거 가능하지 않다. $a$가 $<$의 최솟값일 때, $\phi \equiv \exists y (y < x)$가 양화사 제거 가능하지 않기 때문이다. $T_{\mathrm{bd}}$도 전순서 이론이므로, 만약 $\phi$가 양화사 제거 가능했다면 보조정리에 의해 $\phi$는 $x < x$ 또는 $x = x$와 동치여야 하는데, $\phi$는 $x = a$일 때 참이고 그 외의 경우에는 거짓이기 때문에 전자와 후자 모두에 해당하지 않는다.
그러나 이 경우에는 양화사 제거가 가능한 $T_{\mathrm{bd}}$의 확장을 쉽게 찾을 수 있다. 먼저 언어 $\mathcal{L}$에 두 가지 새로운 상수 기호 $a$와 $b$를 추가한다. 그리고 $a$와 $b$가 각각 최솟값과 최댓값이라는 다음의 공리를 $T_{\mathrm{bd}}$에 추가한 것을 $T_{\mathrm{bd}}’$이라고 하자.
\[\lnot \exists (x < a) \quad \lnot \exists (b < x)\]정리. $T_{\mathrm{bd}}’$는 양화사 제거 가능하다.
증명. 연습문제
따름정리. $T_{\mathrm{bd}}$는 완전하다.
증명. $T_{\mathrm{bd}}$의 보존적 확장conservative extension인 $T_{\mathrm{bd}}’$가 완전하므로, $T_{\mathrm{bd}}$ 또한 완전하다. ■
This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.
In the previous article, we examined what sets are definable in an $\mathcal{L}$-structure $\mathfrak{A}$. When $S \subseteq A$ is definable by a formula $\phi$ belonging to a particular arithmetic hierarchy in $\mathfrak{A}$, we say that $S$ belongs to that hierarchy. For instance, when $S$ is definable by a $\Pi_1$ sentence, we have $S \in \Pi_1$.
For example, in the standard arithmetic model $\mathfrak{N} = (\mathbb{N}, 0, S, +)$, the set of even numbers is $\Sigma_1$.
\[\{ x \in \mathbb{N} : \mathfrak{N} \vDash \exists y (y + y = x) \}\]Since the structure of sets becomes more complex as the hierarchy level increases, the most ideal situation is when all definable sets can be reduced to $\Delta_0$. Theories possessing such a property are called theories admitting quantifier elimination.
Definition. An $\mathcal{L}$-theory $T$ admits quantifier elimination if for any $\mathcal{L}$-formula $\phi$, there exists some $\Delta_0$ $\mathcal{L}$-formula $\psi$ such that the following holds:
\[T \vdash \phi \leftrightarrow \psi\]where all free variables of $\psi$ are free variables of $\phi$.
Quantifier Elimination Test. A sufficient condition for $T$ to admit quantifier elimination is that $T$ admits quantifier elimination for formulae of the form $\exists x \psi$ where $\psi \in \Delta_0$.
Proof. First, we show that for any $\Delta_0$ formula $\psi$, the formula $\forall x \psi$ admits quantifier elimination. The formula $\forall x \psi$ is equivalent to $\lnot\exists x \lnot \psi$, and by assumption, $\exists x \lnot \psi$ is equivalent to some quantifier-free formula $\theta$. Therefore, $\forall x \psi$ is equivalent to $\lnot \theta$ and admits quantifier elimination. By applying induction on the number of quantifiers, we can show that quantifier elimination is possible for any formula. ■
When a theory admits quantifier elimination, it is often possible to show that the theory is complete. Consider the following example.
Theorem. The theory $T$ of dense unbounded linear orders admits quantifier elimination.
Proof. First, we define the following concept.
Definition. An arrangement of finite variables is a consistent conjunction of order relations amongst the variables.
For instance, the following is an arrangement of $\lbrace v_1, v_3, v_7, v_8 \rbrace$:
\[(v_1 < v_3) \land (v_8 \land v_7) \land (v_3 = v_8)\]The key to the proof is the following lemma.
Lemma. A $\Delta_0$ formula in $\mathcal{L} = (<)$ is either equivalent to a contradiction in the theory of linear orders, or equivalent to a disjunction of arrangements.
Accepting the lemma, we prove the main theorem. By the quantifier elimination test, it suffices to show that $\exists x \psi$ admits quantifier elimination for $\psi \in \Delta_0$. By the lemma, $\psi$ is equivalent to $\theta_1 \lor \cdots \lor \theta_n$, where each $\theta_i$ is an arrangement of variables. By the distributivity of $\exists$, we have
\[T \vdash \exists x \psi \leftrightarrow \Big( (\exists x \theta_1) \lor \cdots (\exists x \theta_n) \Big)\]However, in dense unbounded linear orders, for an arrangement $\theta$, the formula $\exists x \theta$ is equivalent to the formula obtained by writing out the order relations of $\theta$ in a single line and then removing $x$. For example, $\exists x (v_1 < x) \land (x < v_2)$ can be written as $\exists x (v_1 < x < v_2)$, which by density is equivalent to $v_1 < v_2$. On the other hand, $\exists x (v_1 < x)$ is a tautology by unboundedness and is equivalent to $v_1 = v_1$. Therefore, the right-hand side of the above equation admits quantifier elimination, and consequently $\exists x \psi$ also admits quantifier elimination. ■
Corollary. $T$ is complete.
Proof. Since $T$ admits quantifier elimination, by the standard quantifier elimination procedure, it suffices to show that for any $\Delta_0$ sentence $\psi \in \Delta_0$ with at most one free variable $x$, either $T \vdash \psi$ or $T \vdash \lnot\psi$. By the lemma, $\psi$ is equivalent to an arrangement of $x$. However, there are only two possible arrangements of $x$: $x < x$ and $x = x$. In the former case, since it is a contradiction, we have $T \vdash \lnot\psi$; in the latter case, since it is a tautology, we have $T \vdash \psi$. ■
In contrast to $T$ admitting quantifier elimination, the theory $T_{\mathrm{bd}}$ of dense bounded linear orders does not admit quantifier elimination. This is because when $a$ is the minimum element of $<$, the formula $\phi \equiv \exists y (y < x)$ does not admit quantifier elimination. Since $T_{\mathrm{bd}}$ is also a theory of linear orders, if $\phi$ admitted quantifier elimination, then by the lemma, $\phi$ would have to be equivalent to either $x < x$ or $x = x$. However, $\phi$ is true when $x = a$ and false otherwise, so it corresponds to neither case.
Nevertheless, in this case we can easily find an extension of $T_{\mathrm{bd}}$ that admits quantifier elimination. First, we add two new constant symbols $a$ and $b$ to the language $\mathcal{L}$. Then we define $T_{\mathrm{bd}}’$ as $T_{\mathrm{bd}}$ with the addition of the following axioms stating that $a$ and $b$ are the minimum and maximum elements, respectively:
\[\lnot \exists (x < a) \quad \lnot \exists (b < x)\]Theorem. $T_{\mathrm{bd}}’$ admits quantifier elimination.
Proof. Exercise.
Corollary. $T_{\mathrm{bd}}$ is complete.
Proof. Since $T_{\mathrm{bd}}’$, which is a conservative extension of $T_{\mathrm{bd}}$, is complete, $T_{\mathrm{bd}}$ is also complete. ■
$\mathfrak{A}$가 $\mathcal{L}$-구조라고 하자. $A$는 $\mathfrak{A}$의 정의역이다.
정의. $X \subseteq A$가 정의가능definable하다는 것은, 어떤 $\mathcal{L}$-논리식 $\phi$와 자유변수 할당 $g$가 존재하여 다음이 성립한다는 것이다.
\[X = \{ x \in A : \mathfrak{A} \vDash \phi[g^0_x] \}\]$\phi$가 $v_0$ 이외의 자유변수를 가지지 않을 때, $X$는 $\emptyset$-정의가능하다고 한다.
Remark. 정의가능성은 괴델의 구성가능성과 같은 의미이다.
예를 들어 $(\mathbb{R}, <)$에서 $(e, 2\pi)$는 다음의 $\phi$와 $g$에 의해 정의가능하다.
그러나 $(e, 2\pi)$는 $\emptyset$-정의가능하지 않다. $(\mathbb{R}, <)$에서 $e$와 $2\pi$를 특정할 방법이 없기 때문이다.
한편 표준 산술 모형 $(\mathbb{N}, 0, +, S)$에서 짝수의 집합 $E$는 다음의 $\phi$에 의해 $\emptyset$-정의가능하다.
모든 유한집합은 정의가능하다. 예를 들어 $A = \lbrace a_1, a_2, a_3 \rbrace $는 다음과 같이 정의가능하다.
같은 이유로 모든 쌍대 유한집합cofinite set 또한 정의가능하다.
저번 글에서 탄력적resilient 집합족에 대해 알아 보았다. 이제 다음을 정의하자.
정의. $\kappa$가 비가산 기수라고 하자. $\mathfrak{A}$가 $\kappa$-포화$\kappa$-saturated되었다는 것은, $\kappa$개보다 적은 $A$의 정의가능한 부분집합들의 모임이 언제나 탄력적이라는 것이다. 특히, $\mathfrak{A}$가 $|A|$-포화되었을 때, $\mathfrak{A}$는 포화saturated되었다고 한다.
따라서 $\aleph_1$-포화된 구조 $\mathfrak{A}$는, 가산 개의 $\mathfrak{A}$의 정의가능한 부분집합들의 모임이 유한 교집합 속성을 만족할 때, 전체 교집합 또한 공집합이 아닌 구조이다. 한편 구조 $\mathfrak{A}$가 $|A|^+$-포화되는 것은 불가능하다. 다음의 집합족이 유한 교집합 속성을 만족하지만 교집합은 공집합이기 때문이다.
\[\Big\{ A - \{ a \} : a \in A \Big\}\]포화된 구조의 중요성은 다음 정리에 있다.
정리. 초등적으로 동등하며 기수가 같은 두 포화된 $\mathcal{L}$-구조는 동형이다.
증명. 생략. 기초적인 아이디어는 저번 글에서 본 칸토어의 앞뒤 논법을 일반화한 것이다.
그러나 유감스럽게도 포화된 구조는 구성하기가 까다롭다. 일례로 비가산 기수 $\kappa$와, $|T| \leq \kappa$인 건전한 이론 $T$에 대해, $T$는 $\kappa^+$-포화된, 기수 $2^\kappa$의 모델을 가진다. 따라서 일반화된 연속체 가설을 인정할 시 해당 모델은 포화되어 있다. 그러나 ZFC만으로는 포화된 구조가 존재함을 증명할 수 없음이 알려져 있다.
따라서 다음의 더 약한 조건을 가진 개념을 도입한다.
정의. $\mathfrak{A}$가 특별special하다는 것은, $\mathfrak{A}$가 방향 유도계 $\lbrace \mathfrak{A}_\kappa \rbrace _{\kappa < |A|}$의 쌍대 극한이라는 것이다. 여기서 $\kappa$는 무한 기수이며, 각 $\mathfrak{A}_\kappa$는 $\kappa^+$-포화되어 있다.
모든 포화된 구조는 특별하다. 각 $\mathfrak{A}_\kappa$를 자기 자신으로 두면 되기 때문이다. 그러나 모든 특별한 구조가 포화된 것은 아니다. 따라서 특별함은 포화보다 엄격히 약한 조건이다. 그럼에도 특별한 구조는 동형성 성질을 만족한다.
정리. 초등적으로 동등하며 기수가 같은 두 특별한 $\mathcal{L}$-구조는 동형이다.
더구나 특별한 구조는 포화된 구조보다 더 구성하기 쉽다. 특히, 다음 뢰벤하임-스콜렘 정리의 특수화가 알려져 있다.
특별 뢰벤하임-스콜렘 정리. $T$가 언어 $\mathcal{L}$의 이론이라고 하자.
- $T$가 무한 모델을 가진다면, $T$는 임의의 기수보다 큰 기수의 특별한 모델을 가진다.
- $T$가 무한 모델을 가지고, $\mathcal{L}$이 가산이라면, $T$는 기수가 $\beth_\omega$인 특별한 모델을 가진다.
이 정리의 응용으로서, 다음의 유명한 결과를 보자.
정의. 실수 닫힌 순서체 이론 또는 RCOF란 다음의 공리들로 이루어진 언어 $(0, 1, +, \cdot, <)$의 이론이다. ($x^n$은 $x \underbrace{\cdot \;\cdots\; \cdot}_{n} x$를 줄인 표기법)
- 순서체 공리
- $\forall a, b, c : (a < b) \rightarrow (a + c < b + c)$
- $\forall a, b : (a > 0 \land b > 0) \rightarrow ab > 0$
- 체 공리
- 제곱근 공리: $\forall a > 0 \; \exists x : x^2 = a$
- 닫힘 공리꼴:
- $\forall a_2, a_1, a_0 \; \exists x :x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$
- $\forall a_4, a_3, a_2, a_1, a_0\; \exists x : x^5 + a_4x^4 + \cdots + a_0 = 0$
- …
실수 닫힌체 이론 또는 RCF란 다음의 공리들로 이루어진 언어 $(0, 1, +, \cdot)$의 이론이다.
- 체 공리
- 형식적 실수 공리: $\forall x : x^2 \neq -1$
- 제곱근 공리: $\forall a \; \exists x : x^2 = a \lor x^2 = -a$
- 닫힘 공리꼴
타르스키 정리. RCOF와 RCF는 완전하다.
증명. 핵심은 다음의 보조정리이다.
에르되시-길만-헨릭슨Erdös-Gillman-Henriksen 보조정리. 기수가 같은 두 특별한 실수 닫힌체는 동형이다.
보조정리를 인정하고 타르스키 정리를 증명해 보자. 만약 RCF가 완전하지 않다면, RCF의 확장 $T_1$과 $T_2$가 존재하여 $T_1$의 모델과 $T_2$의 모델은 초등적으로 동등하지 않다. RCF의 모든 모델은 무한 모델이므로 (why?) 특별 뢰벤하임-스콜렘 정리에 의해 $T_1$과 $T_2$는 각각 기수가 $\beth_\omega$인 모델 $\mathfrak{A}_1, \mathfrak{A}_2$를 가진다. 그런데 보조정리에 의해 $\mathfrak{A}_1 \cong \mathfrak{A}_2$인데, 이는 $\mathfrak{A}_1 \not\equiv \mathfrak{A}_2$와 모순이다. ■