자이페르트-판 캄펀 정리에 대한 노트

위상공간 $X$의 열린 덮개 $U, V$를 생각하자. 위상공간들의 범주 $\mathbf{Top}$에서 다음 푸시아웃_pushout 도식의 극한은 $X$이다.

자이페르트-판 캄펀 정리는, $U, V$가 경로 연결_{path connected}이고 $x_0 \in U \cap V$일 때, 위 극한이 함자 $\pi_1(-, x_0): \mathbf{Top} \to \mathbf{Grp}$에 대해 보존된다는 내용이다.

그런데 푸시아웃의 극한은 왼쪽 도식의 쌍대 극한_colimit이다. 만약 $I$에 대응되는 대상이 초기 대상_{initial object}이라면, 사상 $I \to J, J \to K$는 유일하게 결정되므로 사실상 왼쪽 도식의 쌍대 극한은 오른쪽 도식의 쌍대 극한과 같으며, 이는 범주론적 합에 해당한다.

$\mathbf{Grp}$의 초기 대상은 자명군_{trivial group}이며, 범주론적 합은 자유곱이다. 이에 따라 $U \cap V$가 단순 연결 공간일 때, $\pi_1(X)$는 $\pi_1(U)$와 $\pi_1(V)$의 자유곱이라는 결론을 얻는다.