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This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.
This article is a summary of James Conant, The Search for Logically Alien Thought: Descartes, Kant, Frege, and the Tractatus (1991). THe post includes the author’s supplementary remarks.
One of the principal debates in the history of Western philosophy concerns the necessity of logical laws. Are logical laws necessarily necessary, or are they contingently necessary? That is, is a world with logical laws different from ours, or aliens who think according to different logical laws, possible?
The responses of philosophers to this question may be summarised as follows:
Aquinas argued that logical laws are necessarily necessary, on the grounds that even God operates according to logical laws.
However, Descartes contended that if God is truly omnipotent, He must be able to alter logical laws as well, and accordingly maintained that logical laws are contingently necessary.
Kant overcame Descartes’s position by presenting logical laws as transcendental1 conditions of rational thought.
However, Descartes’s position survived as psychologismPsychologism, which held that since logic is also part of human thought, logic should be reduced to psychology.
Frege, borrowing from Kant’s position, launched a fierce attack on psychologism, but his stance of viewing logical laws simultaneously as transcendental conditions and as ‘the most universal laws of nature’ created internal tension.
Wittgenstein argued that logical laws are senselessSinnlos. Furthermore, he diagnosed that the cause of Frege’s internal tension was that the question “Are logical laws necessarily necessary?” lacks senseUnsinn.
Through this philosophical-historical trajectory, the author defends the interpretation of the “New WittgensteinNew Wittgenstein” school, which contends against the traditional interpretation that the Tractus is a work about ineffable truths, arguing instead that the Tractus contains no philosophical claims whatsoever, and that making one realise this fact is the ultimate goal of the Tractus.
For scholastic philosophers, the debate over the necessity of logical laws was a serious problem, as God’s omnipotence and the necessity of logical laws appeared incompatible. To overcome this dilemma, Aquinas presented a distinction that might be called absolute possibilitypossible absolutely and absolute impossibilityimpossible absolutely. Absolute possibility refers to states of affairs that an intellect can understand, while absolute impossibility refers to states of affairs that are incomprehensible. Aquinas’s claim is that God’s omnipotence means that everything absolutely possible—such as making the Earth flat—is possible for God, while absolutely impossible things—such as violating the law of excluded middle—are irrelevant to discussions of God’s omnipotence.
However, Descartes objects that Aquinas’s claim is blasphemous. When Aquinas distinguishes between absolute possibility and absolute impossibility, the “intellect” upon which he bases this distinction is implicitly presupposed to be human intellect. That is, Aquinas conflates the limitations of human intellect—we cannot imagine an apple that is simultaneously red and not red—with the limitations of God’s omnipotence—therefore God cannot create an apple that is simultaneously red and not red. Descartes criticises this as an overreach of human intellect. God can act in ways that humans cannot understand. For such a God, logical laws are contingent products that can be altered at will, according to Descartes.
Then why do humans perceive logical laws as necessary? Descartes’s answer is that the reason God gave to humans is designed to understand logical laws as necessary. If God created this world according to specific logical laws, a benevolent God would give humans dwelling in this world an intellect that perceives those logical laws as necessary (contrast this passage with Descartes’s famous evil demon argument). That is, according to Descartes, the apparent necessity of logical laws originates in the design of reason (given by God).2 If we merely replace theological expressions with neurophysiological ones in Descartes’s claim, we obtain the psychologist claim that the apparent necessity of logical laws originates in the workings of the brain.
However, Cartesianism appears to contain an internal contradiction. Descartes wishes to assert the following three propositions simultaneously:
① Humans cannot understand logically impossible states of affairs.
② God can create logically impossible states of affairs.
③ Humans can understand the statement in ② and furthermore judge it to be true.
Here ① and ③ seem to conflict. If ‘logically impossible states of affairs’ is a concept incomprehensible to humans, would not the statement that God can accomplish such things be equally incomprehensible? Just as the statement ‘a mathematical system in which the continuum hypothesis is true is possible’ is equally incomprehensible to someone who does not understand the continuum hypothesis. Feeling the need to address this problem, Descartes presented a subtle distinction between comprehensioncomprehend and apprehensionapprehend. If comprehension is the complete grasping of something within reason, apprehension is reason’s touching of something.
I know that God is the creator of all things, that there are immutable truths, and that God is their creator. I say that I know this, not that I perceive or grasp it. For although our mind is finite and thus cannot perceive or grasp God, we can know that God is infinite and omnipotent. This is like how our hands can touch a mountain but we cannot embrace a mountain with our two arms.
Therefore, Descartes would modify ③ as follows:
③ Humans can apprehend the statement in ② and furthermore judge it to be true.
Later, we shall encounter once again in the traditional interpretation of Wittgenstein’s Tractus such attempts to justify through subtle distinctions of words—dare one say, wordplay—the existence of propositions that are, strictly speaking, senseless but nevertheless pass for valid truths.
Leibniz opposed Descartes’s claim that God arbitrarily created logical laws. To refute Descartes, Leibniz resurrected the scholastic philosophical debate: “Is something good because God does it, or does God do it because it is good?” Leibniz argues for the latter. God acts because something is good. However, according to Leibniz, this does not suggest that God is bound by the concept of ‘good’. Rather, this fact shows that God understands that something is good. That is, the concept of ‘good’ precedes God’s will but is subsumed under God’s reason.
Leibniz emphasises that the concept of ‘good’ that precedes God’s will, far from being contrary to God’s freedom, is a condition for God’s freedom to be established. If there were no principles preceding God’s will, God would have no grounds for performing any particular action. (If God nonetheless acted, it could only be seen as random choice. However, we do not call random behaviour a choice by free will. Just as we do not say that electrons passing through a double slit choose which slit to pass through by free will. Therefore, free will requires principles to distinguish it from randomness.)
Similarly, Leibniz argues that logical laws are principles subsumed under God’s reason while preceding God’s will, and are conditions for God’s freedom to be established. This Leibnizian philosophy is inherited by Kant. Where Descartes viewed logical laws as products of reason, Kant reverses Descartes’s claim through the so-called ‘Copernican revolution’. According to Kant, logical laws are not products of reason but constitutive conditions of reason. And in a Leibnizian sense, free reason is reason that follows logical laws. Reason that does not follow logical laws cannot, in the strict sense, be called reason. (This is like how chess that does not follow the rules of chess cannot, in the strict sense, be called chess.) Putnam writes the following about Kant’s philosophy of logic:
Kant’s Lectures on Logic presents a position that stands in extreme opposition to what we today call ‘psychologism’—a pioneering, perhaps the first, work. […] What interests me is [Kant’s] repeated assertion that illogical thought is not, strictly speaking, thought at all.
Certainly logic contains no metaphysical assumptions. That thought in the normative sense, i.e., judgement that can be proven true [or false], follows logic is not something that metaphysics must explain. To explain something presupposes logic. For Kant, logic precedes all rational activity.
Kant particularly emphasises that logic must be strictly distinguished from psychology. As a science of empirical facts, psychology is a theory reached through rational judgement activity, while logic is a condition that must be presupposed for such rational activity to be possible. Therefore, attempts to reduce logic to psychology constitute a categorical error. Note here that the object of Kant’s discussion is not ‘human reason’ but reason in general.
However, Kant draws stricter boundaries of logic than Leibniz. According to Kant, logic concerns only the pure form of sentences. (Therefore, the law of excluded middle, modus ponensmodus ponens, contraposition, etc., belong to the category of logic, but what we today call set theory, model theory, and modal logic do not.) What this implies is that logic states nothing about the world. (Unlike set theory, which includes ontological statements such as the axiom of infinity—the axiom that at least one infinite set exists—or the empty set axiom—the axiom that the empty set exists—Kantian logic makes no ontological claims.)
Since logic is thus divorced from worldly affairs, attempts to justify the necessity of logic or to gain metaphysical insights from logic become subjects of transcendental critique. This is as much beyond the limits of reason as questions about the immortality of eternity or the existence of God. Later we shall see Wittgenstein accepting Kant’s claim while transposing it to a more fundamental level. In short, where Kant diagnosed the cause of philosophical confusion about logic as reason overstepping its limits, Wittgenstein diagnoses the cause of confusion as the illusion that there are limits that reason inevitably encounters.
Like Kant, Frege emphasises that logic is not a product of reason but a constitutive condition of reason—not human reason but reason in general. Frege particularly argues that for judgement to be established, it must be a proposition whose truth or falsity can be assessed. Thoughts that do not satisfy the conditions for judgement are pseudo-thoughtsScheingedanke. This is a requirement of the law of excluded middle, which Frege—and Kant as the sole logical law—puts forward as a logical law.
Based on this position, Frege strongly criticised the psychologism that was fashionable in his time. Frege criticises psychologism for confusing questions of causation with questions of justification. Psychological and physiological research on the human brain can provide explanations for why we accept logical laws as absolutely true. However, such explanations do not justify why logical laws are absolutely true. The validity of logical laws precedes psychology.
Frege’s argument successfully refutes what we might call weak psychologism—the position that recognises the absolute status of logical laws while attempting to reduce logic to psychology. However, it is still insufficient to refute strong psychologism—the position that does not recognise the absolute status of logical laws and attempts to reduce logic solely to psychology. Strong psychologists can dismiss questions about the absoluteness of logical laws as meaningless questions, like questions about the existence of God.
Frege’s logically alien thought experiment points out that there is a fundamental error in strong psychologism’s thinking. According to strong psychologism, aliens with different brain structures who think of logical laws contradicting ours as absolutely true are possible. Let us suppose that such an alien actually appeared before us. In this situation, Frege poses the following question: Which is correct: the alien’s logical laws or our logical laws?
At this point, the thought experiment divides into two paths. The first path is when the psychologist acknowledges Frege’s question as meaningful. In this case, the psychologist comes to acknowledge that there exists a logical system that precedes both the alien’s logical laws and our logical laws, and can judge which of the two laws is correct. The question “Which is correct, the alien or us?” belongs neither to alien-psychology nor to human-psychology. It transcends psychology, and acknowledging the meaningfulness of this question itself acknowledges logic that transcends psychology. Compared to this higher logic, the alien’s logic is revealed to be not different logic but wrong logic—that is, not logic at all.
(Here someone might ask whether our logic might be wrong. However, in this case, the alien thought experiment itself, and indeed all our reason, falls into a pit of nonsense. Scepticism about logic makes the arguments that led to such scepticism illogical, thereby completely destroying the possibility of philosophical enquiry. We have no choice but to regard our logic as correct. This becomes the cause of Frege’s internal tension, to be discussed below.)
The second path is when the psychologist dismisses even Frege’s question as meaningless. In this case, the psychologist would claim that no one’s logical laws are absolutely correct. The alien’s logical laws are correct for the alien, human logical laws are correct for humans, and there is nothing more to claim. However, Frege points out that such a psychologist’s attitude makes the position the psychologist wishes to maintain—namely, the possibility of aliens who think according to logical laws different from ours—incomprehensible.
What is crucial in Frege’s point is that for the proposition “A and B are logically different” to be meaningful, there must be presupposed a logic that can determine the identity of A and B. (For ease of understanding, let us use an example from topology rather than logic. The reason we can say that a sphere and a torus3 are topologically different is that there exist topological concepts—such as the number of holes4—that are commonly valid for both spheres and tori, and spheres and tori show differences with respect to those concepts.)
Similarly, the psychologist’s claim that aliens who are logically different from us can exist presupposes by itself a background logic that establishes the difference between our logic and the alien’s logic, and in this case we return to the first path. On the other hand, if what the psychologist claims is the existence of aliens who merely make different utterances from us, the difference here is nothing more or less than the difference between the sounds of two cows. The psychologist’s claim that aliens who think according to different logic from ours exist merely reveals that such aliens do not think in the first place. (Cows and humans both make sounds, but only the latter thinks. Bingo machines and calculators both output numbers, but only the latter calculates.)
From the arguments thus far, Frege’s conclusion appears to be “logically alien beings cannot exist”. If this were truly the conclusion of the argument, our thinking would have followed this process:
However—at least according to the “conditions for judgement” that Frege himself presents—is what we experience here not an illusion of thought? If we examine Frege’s argument closely, we can see that what he means to say is not “logically alien beings cannot exist for such and such reasons” but “the very positing of logically alien beings is incomprehensible”. The positing of logically alien beings makes our thinking non-thinking by placing our thought outside the scope of logic. Metaphorically speaking, it is a Trojan horse.
What is ultimately revealed here is that the thought experiment about logically alien beings is itself a kind of pseudo-thoughtScheingedanke. The psychologist’s claim that “logically alien beings are possible” is a sentence that lacks sense. It does not satisfy the condition for judgement that it should be “a proposition whose truth or falsity can be assessed”. And what this implies is that our claim that “logically alien beings are impossible” also lacks sense.5
However, in some sense, the sentence “logically alien beings are impossible” seems to contain something that is a true statement. Does it not reveal some truth about the nature of logic? It is merely that the logical structure of our language makes the utterance of that truth impossible. The Tractus has traditionally been interpreted in this context. Scholars such as HackerHacker and GeachGeach have interpreted the Tractus as a work that “shows” truths that “cannot be said in the strict sense” through counter-syntactic propositionscountersyntactic proposition. Here, counter-syntactic propositions are propositions that follow the natural syntax of language—for instance, the subject must precede the predicate—but at some point violate logical syntax—for instance, quantifying over type-theoretic objects at different levels with the same predicate. For example, the distinction between objectobject and conceptconcept cannot be expressed in strict logical language because they are type-theoretically different. The distinction between object and concept generates problems of the same type as Russell’s paradox by objectifying ‘concept’. Nevertheless, this distinction seems to bear important characteristics of logic. According to traditional interpretation, the Tractus is also composed of such counter-syntactic propositions—propositions that are strictly speaking senseless but nevertheless bear meaningful truths—and the final message of the Tractus to “throw away the ladder” is the passage that exposes the counter-syntactic characteristics of those propositions.
However, the author of the paper strongly criticises such traditional interpretation. Traditional interpretation has merely pretended to resolve the internal tension of the Tractus through spurious distinctions—”strictly speaking thought” and “thought”, “merely senseless” and “deeply senseless”, “fact” and “fact“—that are no more than wordplay, like Descartes’s distinction between ‘understanding’ and ‘grasping’, but has completely failed to actually resolve that tension. Traditional interpretation is completely dependent on these distinctions while failing to clearly explain how sentences that violate logical rules can be “senseless” but not “merely senseless”, how “thought can never be illogical (§3.03)” can be acknowledged while illogical “thought” remains possible. Therefore, the author presents a new interpretation that breaks with traditional interpretation. This is part of the interpretation called the “New Wittgenstein”.
Continued in Part 2
1. Note that in Kantian philosophy, ‘transcendent’ means “beyond the limits of experience,” while ‘transcendental’ means “related to the preconditions of rational judgment.”
2. Descartes’s claim is strangely Kantian. Indeed, Margaret Wilson evaluates Descartes’s position on logical laws as the progenitor of Kant’s transcendental philosophy and modern naturalism. However, as will become apparent later, there is an unbridgeable gap between Descartes’s position on logical laws and Kant’s position.
3. Strictly speaking, a torus. A torus is the surface of a doughnut.
4. Strictly speaking, the first homology group. For a sphere this is $\mathbb{Z}$ and for a torus this is $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.
5. The original paper states:
If we take the sentences “illogical thought is impossible” or “we cannot think illogically” to indeed present us with thoughts (with senses which we can affirm the truth of), then we concede what a moment ago we wished to deny (namely, that the negation of these sentences present us with a genuine content, one which is able to stand up to the demand for judgment). But if we conclude that these words (which we want to utter in response to the psychologistic logician) do not express a thought with a sense, then aren’t we, if we judge psychologism to be false, equally victims of an illusion of judgment? This is the problem at the heart of the onion.
That is, the author of the paper is pointing out that the following sentence is not actually a thought:
Translating this into logical notation:
Now contrast this with the following sentence:
(1) and (3) are morphologically identical sentences. Yet (3) appears to be a sentence with meaning. That meaning is that there exist no objects in this world that are both green and thoughts. An empiricist might say that (3) also passes the falsifiability principle. In short, if any green object amongst all green objects in the world is discovered to correspond to a thought, then (3) is rejected. Moreover, (4), the logical expression of (3), appears to violate no logical rules.
However, in my view, the idea that (1) and (2) are meaningful is, to borrow Frege’s expression, captivated by an “illusion of thought”. The most efficient way to argue this position is to emphasise the impropriety of the unrestricted quantifier $\exists x$ appearing in (4). What is the range of $x$? If the apple in front of me can be quantified by $x$, can the stem of the apple also be quantified by $x$? What is the criterion by which something—such as a leaf—should be considered an independent object rather than part of an object? Conversely, what is the criterion by which something—such as a tree—should be considered an independent object rather than a simple combination of objects? Should we acknowledge mathematical Platonism and consider ‘the set of natural numbers’ also as an object of quantification? Is ‘God’ also an object of quantification?
Thus unrestricted quantifiers require users to make strong ontological commitments. One way to avoid this awkward situation is to quantify $x$ to the truth set of $T$ instead of using unrestricted existential quantification. In short, modifying (4) as (5):
Here $\mathrm{Th}$ is the set of thoughts. But having written this, (5) becomes ill-formed. The problem lies in defining $G$. If we wish to avoid unrestricted quantification, we must also avoid unrestricted quantification in defining the domain of $G$. That is, a) is possible but b) is not:
a) G: physical objects → {T, F} (O)
b) G: all objects → {T, F} (X)
Therefore (5) is ill-formed. (5) violates logical rules by applying a predicate to an object that does not belong to its domain. In other words, (5) is a sentence that lacks sense.
This can be understood through the following mathematical example. You will have learnt that $0 < i$ is an incorrect inequality because in that context $<$ is a relation defined only over real numbers. And the reason $<$ can only be defined over real numbers relates to real numbers, imaginary numbers, and the logical rules required by $<$. According to the rules of $<$, multiplying both sides by a number greater than 0 maintains the direction of the inequality, while multiplying by a number less than 0 reverses the direction of the inequality. But if $0 < i$, then $0 = 0 \cdot i < i \cdot i = -1$, which is contradictory, and if $i < 0$, then $-1 = i \cdot i > 0 \cdot i = 0$, which is contradictory. Therefore $0 < i$ is an inequality that lacks sense. This does not mean that $0 < i$ is false, because if $0 < i$ were false, then $0 > i$ would have to be true.
See also the discussion in: https://forum.owlofsogang.com/t/topic/6465
분석·종합의 구분과 검증가능성 원리는 논리실증주의를 이루는 두 기둥이다. 하지만 콰인은 ⟪경험주의의 두 독단⟫에서 분석·종합의 구분과 검증가능성 원리는 문제적이라고 지적한다. 콰인은 분석성의 정의는 자기순환적이며, 명제는 독립적으로 검증될 수 없고 오로지 믿음의 망web of beliefs 전체가 검증의 대상이 될 수 있다고 주장한다. 콰인이 ⟪두 독단⟫에서 제시하는 논증은 논리실증주의를 와해할 뿐 아니라, 의미의 개념 자체가 허구적이라는 의미 회의주의와, 극단적 전체론을 시사한다. 또한 콰인의 논증에 대한 반론을 검토한다.
콰인은 분석성을 정의하려는 기존의 시도는 모두 만족스럽지 않다고 주장한다. 그 사례로 칸트와 프레게의 정의를 검토한다.
분석성에 대한 칸트의 첫 번째 정의는 다음과 같다.
“모든 a는 b이다”는 분석적이다 $\iff$ a가 b에 개념적으로 포함된다
그러나 위 정의는 “개념적으로 포함”이라는 비유적 표현에 의존할 뿐 아니라 주어-술어 구조의 문장만 고려한다는 한계가 있다. 분석성에 대한 칸트의 두 번째 정의는 다음과 같다.
P는 분석적이다 $\iff$ P의 부정이 모순을 시사한다
그러나 이 정의는 모순이 무엇인지 설명해야 한다는 한계를 가진다. 만약 모순을 “분석적으로 거짓인 명제”로 정의한다면 이것은 순환 정의에 불과하다.
분석성에 대한 프레게의 정의는 다음과 같다.
P는 분석적이다 $\iff$ P는 논리 법칙이거나, 정의와 논리 법칙만으로부터 도출 가능하다
여기서 논리 법칙이란 논리 연결사를 제외한 문장 성분들을 어떻게 해석하든지 참인 문장을 말한다. 예를 들어 $(φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ)$는 $φ$와 $ψ$를 어떻게 해석하든지 참이므로 논리 법칙이다. 이에 따라 “모든 총각은 결혼하지 않았다”는 다음과 같이 “총각”의 정의와 논리 법칙만으로 도출 가능하므로 분석적이다.
그러나 콰인은 어떤 단어의 정의가 무엇인지를 어떻게 알 수 있는지를 질문한다. 즉, “a와 b는 동의어이다”가 성립할 조건이 무엇인지 질문한다. 콰인은 이 질문에 대한 가능한 답을 몇 가지 검토한다. 첫 번째 시도는 다음과 같다.
(i) a와 b는 동의어이다 $\iff$ a와 b가 사전에 동의어로 등재되어 있다.
그러나 위 시도는 부적절하다. 왜냐하면 사전은 이미 알려진 동의어의 기록에 불과하기 때문이다. 그러나 우리가 원하는 것은 사전 작성자들이 어떤 기준으로 두 단어를 동의어로 등재하냐이다. 두 번째 시도는 다음과 같다.
(ii) a와 b는 동의어이다 $\iff$ 임의의 술어 P에 대해 P(a)와 P(b)의 진릿값이 같다.
그러나 위 시도 또한 부적절하다. a = “총각”, b = “결혼하지 않는 남성”, P(x): “x는 두 글자이다”일 때 a와 b는 동의어지만 P(a)는 참이고 P(b)는 거짓이기 때문이다.
이에 콰인은 자비의 원칙에 따라 이 문제를 해결하기 위해 인지적 의미cognitive meaning를 도입한다. 인지적 의미란 단어의 길이나 시적 분위기, 화용론적 특징 등과 관련하지 않고 오직 그것이 지시하는 대상이나 개념에 관련하는 의미이다. 이에 따라 다음과 같이 (ii)를 수정해야 한다.
(iii) a와 b는 동의어이다 $\iff$ 인지적 의미에만 관련하는 임의의 술어 P에 대해 P(a)와 P(b)의 진릿값이 같다.
그러나 위 시도 또한 부적절하다. 왜냐하면 “임의의 술어”의 외연이 언어에 상대적이기 때문이다. 일례로 심장을 가진 생물을 cordate, 신장을 가진 생물을 renate라고 하자. 지금까지 보고된 생물종은 모두 심장과 신장을 둘 다 가지거나 둘 다 결여한다. 따라서 L₁이 HasHeart(x)라는 술어만 포함하는 언어라면 HasHeart(Cordate)와 HasHeart(Renate)는 둘 다 참이므로, cordate와 renate는 동의어이다. 반면 L₂가 NecessarilyHasHeart(x)라는 술어를 포함하는 언어라면 NecessarilyHasHeart(cordate)는 참이지만 NecessarilyHasHeart(renate)는 거짓이므로 둘은 동의어가 아니다.
따라서 (iii)는 동의성을 언어에 의존적인 개념으로 만든다. (iii)가 유효한 정의이기 위해서는 “…가 필연적이다”와 같이 양상 표현하는 언어를 배경 언어로 설정해야 한다. 이에 따라 다음과 같이 (iii)를 수정해야 한다.
(iv) a와 b는 동의어이다 $\iff$ 양상 표현이 포함된 언어 L에 속하고 인지적 의미에만 관련하는 임의의 술어 P에 대해 P(a)와 P(b)의 진릿값이 같다.
그러나 콰인에 따르면 위 시도 또한 부적절하다. 왜냐하면 이제는 양상성의 의미를 설명해야 하기 때문이다. 즉, “a는 필연적으로 b이다”가 성립할 조건이 무엇인지 질문한다. 만약 필연성을 다음과 같이 정의하면 순환 논증에 봉착한다.
a는 필연적으로 b이다 $\iff$ 모든 a가 b라는 것은 분석적으로 참이다.
그러므로 분석성에 대한 프레게의 정의는 동의성이나 필연성에 대한 정의가 제시되지 않는 한 순환적이다.
콰인의 공격은 동의성을 겨냥하고 있지만, 그 함의는 훨씬 광대하다.
첫째, 콰인의 공격은 논리 법칙에 대한 본인의 정의 또한 공격한다. 일례로 콰인에 따르면 $P(x) ∧ Q(x) → P(x)$ 가 논리 법칙인 이유는 $P, Q, x$에 무엇을 대입하든 참인 문장이 되기 때문이다. 그러나 이 기준이 정합적이기 위해서는 x에 대입하는 단어가 동의적이라는 조건이 필요하다.
예를 들어 P(x): “x는 둥글다”, Q(x): “x는 딱딱하다”, 그리고 x = “배”일 때 P(x) ∧ Q(x) → P(x)는 “둥글고 딱딱한 배는 둥근 배이다”가 된다. 그러나 이 문장이 참이기 위해서는 주어부의 “배”와 술어부의 “배”가 동의어야 한다A round and hard pear is a round pear. 만약 주어부의 “배”가 과일인데, 술어부의 “배”가 선박이라면 거짓인 문장이 되기 때문이다A round and hard pear is a round ship. 따라서 논리 법칙에 대한 콰인의 정의 또한 동의성에 의존한다.
둘째, 콰인의 공격은 언어 간 번역을 허구적인 것으로 만든다. 누군가 “That apple is red”라는 문장의 번역을 묻는다면 우리는 “저 사과는 빨갛다”라고 말할 것이다. 이것이 올바른 번역인 이유는, ‘that’, ‘apple, ‘red’, ‘is’는 각각 ‘저’, ‘사과’, ‘빨갛다’, ‘이다’와 동의적이기 때문이다. 일반적으로 다음이 성립하는 것으로 보인다.
$φ$의 번역은 $ψ$이다 $\iff$ $φ$는 $ψ$와 동의적이다.
그런데 우변의 정의가 모호하다면 좌변의 정의 또한 모호한 것이 된다. 결론적으로 번역의 기준이 동의성에 의존하는 한 콰인의 공격은 번역, 나아가 의미 자체가 허구적인 개념이라는 의미 회의주의를 시사한다. (번역에 대한 회의주의가 의미에 대한 회의주의로 이어지는 논증에 관해서는 곧 올라올 다른 글을 참고하라)
콰인의 공격은 다음의 구조를 가진다.
개념 C의 정의가 순환적이라면 C는 정당하지 않다unintelligible.
이것을 콰인의 소크라테스적 조건 이라고 부르자. 콰인의 소크라테스적 조건은 지나치게 강한 요구 조건이라는 반박이 가능하다. 예를 들어 “빨강”이나 “파랑”을 순환적이지 않은 방식으로 정의할 수는 없지만 그렇다고 색깔 개념들이 정당하지 않은 것은 아니다. 또한 데이빗슨 등의 논의는 언어가 학습 가능하기 위해서는 무정의 용어가 필요함을 시사한다. 따라서 언어 L의 모든 개념이 소크라테스적 조건은 만족할 경우 L은 학습 불가능하다.
그럼에도 콰인은 모든 개념이 소크라테스적 조건을 만족할 필요는 없지만 특정 개념들은 반드시 소크라테스적 조건을 만족해야 하며, 분석성이 다름아닌 그러한 개념 중 하나라고 주장할 수 있다. 일례로 다음의 문장들을 보자.
모든 초록색인 것은 외연을 가진다.
위 문장이 분석적인지의 여부는 모호하다. 콰인은 이 모호성이 “초록”이나 “외연”의 의미로부터 비롯되는 문제가 아닌, “분석적”의 의미로부터 비롯된다고 주장하며, 이것은 여타 개념과 달리 분석성은 엄밀한 정의 없이는 정당화할 수 없는 개념임을 방증한다고 주장한다.
이에 대해 그라이스와 스트로슨은 “모든 초록색인 것은 외연을 가진다”의 분석성 여부가 모호한 이유는 분석성의 의미가 모호하기 때문이 아니라 “모든 초록색인 것”의 의미가 모호하기 때문이라고 주장한다. 요컨대 “초록색 점멸” 또한 “모든 초록색인 것”에 해당하는지가 모호하므로 문장의 분석성을 결정할 수 없다는 것이다. 오히려 분석성은 거의 모든 사람에 의해 일관적인 방식으로 사용되고 있으므로, 소크라테스적 조건이 요청될 정도로 모호한 개념이라고 볼 이유는 없다고 주장한다.
논리실증주의에 따르면 모든 참은 분석적이거나 종합적이다. 이 중 분석적 참은 논리적 분석을 통해 검증할 수 있고, 종합적 참은 감각 자료를 통해 검증할 수 있다. 이에 따라 일반적으로 문장의 의미는 감각 자료의 논리적 복합체logical compound of sense data라는 환원주의적 논제가 얻어진다. 예를 들어 “고양이는 책상 위에 있거나 상자 안에 있다”의 의미는 “고양이”, “책상”, “상자”에 대응하는 감각 자료와 “또는”, “있다” 등의 논리적 연결사로 분석된다.
그러나 콰인은 의미론적 환원주의자는 자연 언어의 문장을 감각 자료의 논리적 복합체로 환원하는 것이 실제로 가능함을 보일 입증 책임burden of proof이 있다고 주장한다. 이에 콰인은 카르납이 ⟪세계의 논리적 구조⟫에서 감각 자료와 논리적 연결사만 가지고서 자연 언어를 구축하려고 시도한 사례를 언급하지만, 카르납의 프로젝트는 본인 스스로도 실패했다고 인정했다.
콰인은 환원주의의 입증 책임이 해소되지 않는 한 환원주의는 정당화될 수 없다고 주장한다.
논리실증주의에 따르면 문장의 의미는 그것의 검증 가능성이다. 이같은 의미의 검증주의적 이론verificationist theory of meaning 하에서 분석성은 다음과 같이 정의할 수 있다.
P는 분석적이다 $\iff$ P는 검증의 결과가 어떻든지 참이다
그러나 콰인은 논리실증주의의 분석성 정의 또한 문제적이라고 주장한다. 콰인에 따르면 개별 명제를 독립적으로 떼 놓고서 검증하기란 불가능하므로, 의미의 검증주의적 이론은 개별 문장의 의미를 해명할 수 없기 때문이다.
예를 들어 다음의 명제를 보자.
(i) 물은 100°C에서 끓는다
위의 명제를 검증하는 한 가지 방법은 끓는 물에 온도계를 넣는 것이다. 그런데 끓는 물에 온도계를 넣어보니 102°C가 나왔다면 우리는 (i)를 기각해야 할까? 그렇지 않다. 우리는 (i)를 기각하는 대신 “온도계가 고장났다”, “순수한 물이 아니었다”, “기포 발생이 저해되어 과가열되었다”, “내가 온도계를 잘못 읽었다” 등 수많은 다른 명제를 대신 선택할 수 있다.
따라서 콰인은 검증의 대상이 되는 것은 언제나 믿음의 망web of beliefs 전체라는 인식론적 전체론epistemological holism을 주장한다. 위의 경우에서 검증되는 것은 “물은 100°C에서 끓는다”는 명제가 아닌, “이것은 순수한 물이고, 온도계는 정상적이고, 과가열이 일어나지 않을 것이며, 물은 100°C에서 끓으며…” 등의 믿음의 망인 것이다.
콰인의 전체론은 모든 명제에 해당한다는 점에서 극단적이다. 콰인에 따르면 믿음의 망에는 분야 간 뚜렷한 경계가 없다. 따라서 수학이라고 해서 과학이나 철학에 비해 독보적인 인식론적 지위를 누리는 것은 아니다. 이것은 콰인의 자연주의로 이어진다.
콰인에 따르면 명제 $φ$가 확실certain하다는 것은, $φ$가 어떤 경우에서도 참이라는 의미가 아니라, $φ$가 믿음의 망 깊숙한 곳에 자리잡고 있다는 의미이다. 믿음의 망에 반하는 검증 결과가 제시되었을 때 우리는 믿음의 망을 수정해야 하는데, 추후에 믿음의 망에 반하는 결과들이 나올 가능성이 최소화되도록 망을 수정하는 것이 가장 실용적이다. 실용성의 원칙에 따라 핵심부에 있는 믿음을 폐기·수정하는 것보다 주변부에 있는 믿음을 폐기·수정하는 것이 바람직하다. 따라서 핵심부에 있는 믿음은 거의 영구적으로 존속하게 되어 확실성의 지위를 획득한다. 그러나 만약 핵심부에 있는 믿음 — 이를테면 논리학의 법칙들 — 을 폐기하는 것이 더욱 실용적인 상황이 닥친다면 콰인은 논리학을 폐기하는 것이 마땅하다고 본다.
라이트Crispin Wright는 콰인의 전체론이 무한 퇴행에 빠지기 때문에 비정합적이라고 주장한다. 예를 들어 다음의 두 가지 요소로 구성된 믿음의 망을 고려하자.
추가로 $p → q$가 $T$와 $\mathcal{S}$로부터 도출 가능한 법칙에 해당한다고 가정하자. 예를 들어 $T$가 뉴턴 역학이고 $\mathcal{S}$가 1차 논리라면, $p$는 “광자는 질량이 없다”이고 $q$는 “광자는 중력의 작용을 받지 않는다”일 수 있다.
이제 $T$와 $\mathcal{S}$에 반하여, $p$와 $¬q$를 시사하는 관찰 결과 — 이를테면 중력 렌즈 효과 — 가 나타났다고 가정하자. 콰인의 전체론을 따르면 다음 네 가지 명제는 모두 기각될 수 있는 명제의 후보이다.
위 4개의 후보 중 무엇을 기각할지는 실용성의 기준으로 정해진다. 일례로 실용적 고려가 다음을 시사한다고 하자.
그러나 라이트는 (5) 또한 믿음의 망에 속한다고 지적한다. 그러므로 우리는 (4)를 기각하는 대신, (5)를 기각하기로 선택할 수 있다. 반대로 (5)를 기각하지 않기 위해서는 다음의 믿음이 추가로 요청된다.
그런데 (6)을 기각하지 않기 위해서는 (6)을 기각하지 않는 것이라는 믿음이 추가로 요청되고, 이것은 무한 퇴행로 이어진다. 그러므로 라이트는 인식론이 무한 퇴행에 빠지지 않기 위해서는 (4)와 같은 일부 믿음을 실용주의적 고려의 범위 밖에 위치시켜야 한다고 주장한다.
Quine, Willard V. O. (1951). Two Dogmas of Empiricism. Philosophical Review 60 (1):20–43.
Miller, Alexander (1998). Philosophy of Language. New York: Routledge.
The distinction between analytic and synthetic propositions, and the verification principle, are the two pillars of logical positivism. However, in Two Dogmas of Empiricism, Quine argues that both the analytic-synthetic distinction and the verification principle are ungrounded. Quine argues that the definition of analyticity is circular. Furthermore, he argues that propositions cannot be verified in isolation, and that only the entire web of beliefs can stand up to verification. The arguments Quine presents in Two Dogmas not only undermine logical positivism but also suggest skepticism about meaning and a radical form of holism. This post also examines some objections to Quine’s arguments.
Quine claims that all previous attempts to define analyticity are unsatisfactory. He examines the definitions provided by Kant and Frege as examples.
Kant’s first definition of analyticity is as follows:
“All $a$ are $b$” is analytic $\iff$ $a$ is conceptually contained in b
However, not only this definition relies on the metaphorical expression “conceptually contained”, but it is also limited to propositions with a subject-predicate structure. Kant’s second definition of analyticity is as follows:
$P$ is analytic $\iff$ $\lnot P$ implies a contradiction
But this definition requires an explanation of what a contradiction is. If contradiction is defined as “a proposition that is analytically false,” then this is merely a circular definition.
Frege’s definition of analyticity is as follows:
$P$ is analytic $\iff$ $P$ is a law of logic, or is derivable solely from the definitions of terms involved and the laws of logic
By “law of logic”, Quine understands it to be a sentence that is true regardless of how the non-logical terms are interpreted. For example, $(φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ)$ is a law of logic because it is true no matter how $φ$ and $ψ$ are interpreted. Accordingly, “All bachelors are unmarried” is analytic as it can be derived solely from the definition of “bachelor” and laws of logic as follows:
Quine challenges Frege’s definition by questioning how we can determine the definition of a word. That is, he questions under what conditions “$a$ and $b$ are synonymous” holds. Quine examines several possible answers to this question. The first attempt is as follows:
(i) $a$ and $b$ are synonymous $\iff$ $a$ and $b$ are listed as synonyms in the dictionary.
But clearly this approach is flawed, since a dictionary merely records already known synonyms. What we want to know is the criterion by which dictionary compilers list two words as synonyms. The second attempt is as follows:
(ii) $a$ and $b$ are synonymous $\iff$ for any predicate $P$, $P(a)$ and $P(b)$ have the same truth value.
But this too is inadequate. For example, let $a$ = bachelor, $b$ = unmarried man, and $P(x)$: $x$ is a two-syllable word. Although $a$ and $b$ are synonymous, $P(a)$ is true while $P(b)$ is false.
To address this, Quine introduces the notion of cognitive meaning. Cognitive meaning is related only to the referent or concept, and excludes aspects such as word length, poetic mood, etc. Thus, (ii) is revised as follows:
(iii) $a$ and $b$ are synonymous $\iff$ for any predicate $P$ relevant only to cognitive meaning, $P(a)$ and $P(b)$ have the same truth value.
However, this is also inadequate. This is because the extension of “any predicate” is language-relative. (This is partly related to Quine’s skepticism about second-order logic.) For example, let us call creatures with a heart “cordate” ($c$) and those with a kidney “renate” ($r$). All known species either have both a heart and a kidney or neither. Thus in a language $L_1$ that contains only the predicate $\mathrm{HasHeart}(x)$, both $\mathrm{HasHeart}(c)$ and $\mathrm{HasHeart}(r)$ are true, so cordate and renate are synonymous. Yet in a language $L_2$ that contains the predicate $\mathrm{NecessarilyHasHeart}(x)$, $\mathrm{NecessarilyHasHeart}(c)$ is true but $\mathrm{NecessarilyHasHeart}(r)$ is false, so they are no longer synonymous.
Thus, (iii) makes synonymy language-dependent. Indeed, for (iii) to be valid, it seems that the assumed language must include modality. Accordingly, (iii) is revised as follows:
(iv) $a$ and $b$ are synonymous $\iff$ in a language $L$ with modal expressions, for any predicate $P$ relevant only to cognitive meaning, $P(a)$ and $P(b)$ have the same truth value.
However, Quine claims that even this is inadequate. For now the meaning of modality must be explained. That is, he now asks under what conditions “$a$ is necessarily $b$” holds. To define necessity as follows is to give a circular definition:
$a$ is necessarily $b$ $\iff$ “All a are b” is analytically true.
Therefore, Frege’s definition of analyticity is circular unless either a valid definitions of synonymy, or necessity, is provided.
Quine’s attack targets synonymy, but its implications are much broader.
First, Quine’s attack also undermines his own definition of laws of logic. For example, according to Quine, $P(x) ∧ Q(x) → P(x)$ is a law of logic because it is true no matter what is substituted for $P, Q, x$. However, for this criterion to be coherent, the terms substituted for x must be synonymous.
For example, let $P(x):$ $x$ is large, $Q(x):$ $x$ is wet, and $x$ = bank. Then, $P(x) ∧ Q(x) → P(x)$ becomes “A large and wet bank is a large bank.” For this sentence to be true, the two “bank”s of the subject and predicate must be synonymousA large and wet riverland is a large riverland. Otherwise, the sentence is falseA large and wet riverland is a large financial establishment. Thus, Quine’s definition of law of logic also depends on synonymy.
Second, Quine’s attack renders translation between languages fictitious. If someone asks for the translation of “Dieser Apfel ist rot,” we would say “This apple is red.” That this is the correct translation relies upon ‘dieser’, ‘Apfel’, ‘ist’, and ‘rot’ being respectively synonymous with ‘this’, ‘apple’, ‘is’, and ‘red’. Generally, the following seems to hold:
$φ$ is a translation of $ψ$ $\iff$ $φ$ is synonymous with $ψ$.
Hence if the notion in the right side is ambiguous, then that in the left is also ambiguous. Consequently, Quine’s skepticism about synonymy extends to skepticism about translation, and hence to skepticism about meaning. (For an argument connecting skepticism about translation to skepticism about meaning, see forthcoming article.)
Quine’s attack has the following structure:
If the definition of a concept $C$ is circular, then $C$ is unintelligible.
Let us call this Quine’s Socratic Condition. It may be the case that Quine’s Socratic Condition is too strong of a requirement. For example, “red” or “blue” cannot be defined in a non-circular way — a person born blind cannot “make colors appear before them”, no matter how many utterances involving color words are given to them — but that does not mean that color words are unintelligible. Indeed, Davidson and others have argued that language learning requires some primitive terms — i.e. were there a language all of whose concepts satisfy the Socratic Condition, that language would be unlearnable.
Nevertheless, Quine might argue that although not every concept should satisfy the Socratic Condition, especially those that relate to immediate sense data, certain vaguer concepts—such as analyticity—must. Consider the following sentence:
Everything green has an extension.
Whether this sentence is analytic is ambiguous. Quine claims that this ambiguity arises not because of ambiguity in “green” or “extension,” but of “analytic.” This, he argues, shows that analyticity, unlike color words, cannot be legitimised without a rigorous definition.
In response, Grice and Strawson argue that the ambiguity in whether “Everything green has an extension” is analytic arises not from “analytic,” but from “everything green.” For example, it is unclear whether a “green flash” counts as “everything green,” so the truth value of the sentence remains undetermined. On the other hand, analyticity seems to be used in a consistent way by almost every philosopher and every layman, so there is no reason to think of it so ambiguous as to require the Socratic Condition.
According to logical positivism, every truth is either analytic or synthetic. Analytic truths can be verified through logical analysis, and synthetic truths can be verified through sense data. Thus, the meaning of a sentence is generally taken to be a logical compound of sense data. This is the reductionist thesis of positivism. For example, the meaning of “The cat is on the table or in the box” is analyzed into sense data corresponding to “cat,” “table,” “box,” and logical connectives such as “or” and “is.”
However, Quine argues that semantic reductionists bear the burden of proof to show that it is actually possible to reduce natural language sentences to logical compounds of sense data. He refers to Carnap’s attempt in The Logical Structure of the World to reconstruct natural language solely from sense data and logical connectives, but notes that, as Carnap himself admitted, the project failed.
Quine claims that reductionism cannot be justified unless this burden of proof is met.
According to logical positivism, the meaning of a sentence is its verifiability. Under this verificationist theory of meaning, analyticity can be defined as follows:
P is analytic $\iff$ P is true regardless of the outcome of verification
However, Quine argues that the logical positivist definition of analyticity is also problematic. Quine claims that it is impossible to verify individual propositions in isolation, hence the verificationist theory of meaning cannot account for the meaning of individual sentences.
Consider the following proposition:
(i) Water boils at 100°C
One way to verify this proposition is to put a thermometer in boiling water. But if the thermometer reads 102°C, should we reject (i)? Not necessarily. Instead, we might reject “the thermometer is working,” “the water is pure,” “superheating did not occur,” “I read the thermometer correctly,” and so on.
Thus, Quine argues that what is subject to verification is always the entire web of beliefs. This is his holistic epistemology. In the above case, what is being tested is not the proposition “water boils at 100°C,” but the entire web of beliefs: “this is pure water, the thermometer is working, superheating did not occur, water boils at 100°C, …” and so on.
Quine’s holism is radical in that it applies to all propositions. Quine claims that there is no sharp boundary between domains within the web of beliefs. Thus, mathematics does not enjoy a privileged epistemological status over science or philosophy. This leads to Quine’s naturalism.
For Quien, that a proposition $φ$ is certain, does not mean that $φ$ is true in all cases — something which cannot be verified in isolation — but that $φ$ is located deep within the web of beliefs. When evidence contrary to the web of beliefs is presented, we must revise the web so as to minimise the likelihood of future contrary evidence. Hence in a pragmatic spirit, it is preferable to revise beliefs at the periphery rather than those at the core. Thus, beliefs at the core persist almost permanently and acquire the status of certainty. However, if it becomes more practical to abandon a core belief—such as a law of logic—Quine holds that it is appropriate to do so.
Crispin Wright argues that Quine’s holism is incoherent because it leads to infinite regress. Consider a web of beliefs consisting of the following two elements:
Suppose that $p → q$ is a law derivable from $T$ and $\mathcal{S}$. For example, if $T$ is Newtonian mechanics and $\mathcal{S}$ is first-order logic, $p$ might be “photons have no mass” and $q$ might be “photons are not affected by gravity.”
Now suppose that, contrary to $T$ and $\mathcal{S}$, an observation is made that supports $p$ and $¬q$—for example, gravitational lensing. According to Quine’s holism, the following four propositions are all candidates for rejection:
Which of these four to reject is determined by pragmatic considerations. Suppose, for example, that pragmatism suggests the following:
However, Wright points out that (5) itself is part of the web of beliefs. Thus, instead of rejecting (4), we could choose to reject (5). Conversely, to avoid rejecting (5), the following belief is required:
But to avoid rejecting (6), we require the belief that it is practical not to reject (6), and so on, leading to infinite regress. Thus, Wright argues that to avoid infinite regress in epistemology, some beliefs—such as (4)—must be placed outside the scope of pragmatic considerations.
Quine, Willard V. O. (1951). Two Dogmas of Empiricism. Philosophical Review 60 (1):20–43.
Miller, Alexander (1998). Philosophy of Language. New York: Routledge.
다음은 학부 수리논리학의 유명한 정리이다.
콤팩트성 정리. $\mathcal{L}$의 이론 $T$에 대해, $T$의 모든 유한한 부분이론이 모델을 가진다면, $T$는 모델을 가진다.
그런데 왜 이 정리의 이름은 콤팩트성 정리인 것일까? 잘 들여다 보면, 위 정리의 진술은 다음과 같이 적을 수 있다.
임의의 $\mathcal{L}$-문장들의 집합 $T$가 모델을 가지지 않는다면, 어떤 유한한 부분집합 $T’ \subset T$가 존재하여 $T’$이 모델을 가지지 않는다.
확실히 이는 위상수학에서 콤팩트의 정의와 유사하다.
임의의 열린집합들의 모임 $\mathcal{C}$가 전채 공간의 덮개라면, 어떤 유한한 부분집합 $\mathcal{C}’ \subset \mathcal{C}$가 존재하여 $\mathcal{C}’$가 전체 공간을 덮는다.
이 유사성은 단순한 관찰 이상으로 확대될 수 있다. 아이디어는 각각의 완전complete한 $\mathcal{L}$-이론을 공간의 한 점으로 본 뒤, 이들 모임에 적절한 위상을 부여하였을 때, 콤팩트성 정리가 해당 공간이 콤팩트할 필요충분조건이 되는 것이다. 먼저 다음을 정의한다.
정의. $\mathcal{L}$-구조 $\mathfrak{A}$에 대해, $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$를 $\mathfrak{A}$에서 참인 모든 $\mathcal{L}$-문장들의 집합으로 정의한다.
참고로 위 집합은 이전 글에서 초등적 동등성을 설명하며 정의한 바 있다.
$\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$는 무모순적이며 형태론적으로 완전한 이론임이 자명하다. 반대로, 이론 $T$가 무모순적이며 형태론적으로 완전한 이론일 때, 괴델의 완전성 정리에 의해 $T$는 모델 $\mathfrak{A}$를 가지며, $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$이다. 따라서 $\mathrm{Th}$는 모든 무모순적이며 형태론적으로 완전한 이론을 생성한다.
이제 위상공간의 배경이 될 공간을 정의해 보자. 먼저 언어 $\mathcal{L}$에 대해, 공간 $\mathcal{S}$를 다음과 같이 정의한다.
\[\mathcal{S} = \{ \mathrm{Th}(\mathfrak{A}) : \mathfrak{A}\text{ is a $\mathcal{L}$-structure } \}\]앞서 말했듯이 괴델의 완전성 정리에 의해 $\mathcal{S}$는 무모순적이며 형태론적으로 완전한 이론들의 모임과 사실상 같다. 그러나 후술하겠듯이, 완전성 정리를 사용하지 않더라도 $\mathcal{S}$의 위상적 콤팩트성과 1차 논리의 콤팩트성 정리가 동치임을 보이는 것이 목적이기 때문에, 일단은 $\mathcal{S}$를 그저 $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$의 모임으로서 생각하는 것이 낫다.
이제 $\mathcal{S}$의 위상 기저를 정의하자. $\mathcal{L}$-문장 $\phi$에 대해, 다음과 같이 정의한다.
\[U_\phi = \{ T \in \mathcal{S} : \phi \in T \}\]자명하게, $U_\phi \cap U_\psi = U_{\phi \land \psi}$이다. 즉, $U_\phi$의 모임 $\mathcal{B}$는 유한 교집합에 대해 닫혀 있다. 또한 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{S}$를 덮는다. $T \in \mathcal{S}$에 대해, $\phi \in T$라면 $T \in U_\phi$이기 때문이다. 따라서 $\mathcal{B}$는 위상 기저의 조건을 만족하며, 이에 따라 $\mathcal{B}$로 생성되는 위상을 $\mathcal{S}$에 부여하자.
정리. $\mathcal{S}$는 다음의 특징을 가진다.
- 하우스도르프이다.
- 완전 비연결 공간totally disconnected space이다. 즉, $\mathcal{S}$에서 연결된 공간은 오직 홑원소 집합뿐이다.
증명.
정리. 1차 논리의 콤팩트성 정리는 $\mathcal{S}$가 콤팩트 공간인 것과 동치이다.
증명.
보조정리. $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$가 $\mathcal{S}$를 덮을 필요충분조건은, $\Gamma = \lbrace \lnot \phi : U_\phi \in \mathcal{C} \rbrace $가 모델을 가지지 않는 것이다.
증명. 만약 $\Gamma$가 모델 $\mathfrak{A}$를 가진다면 $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$가 $\mathcal{C}$에 의해 덮여지지 않는다. 한편, $\mathcal{C}$가 $\mathcal{S}$를 덮지 못한다면 어떤 구조 $\mathfrak{A}$가 존재하여 $\phi \in \Gamma$에 대해 $\phi \notin \mathfrak{A}$이고, 이는 $\mathfrak{A}$가 $\Gamma$의 모델임을 의미한다. □
이제 본 정리를 증명하자. $\mathcal{S}$가 콤팩트할 필요충분조건은 임의의 기저 원소들로 이루어진 $\mathcal{S}$의 덮개가 유한 부분덮개를 가지는 것이다. $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$에 대해, $\mathcal{C}$가 $\mathcal{S}$를 덮을 필요충분조건은 (보조정리에 의해) $\Gamma$가 모델을 가지지 않는 것이다. 따라서,
$\mathcal{S}$가 콤팩트하다
$\Leftrightarrow$ 임의의 기저 원소들의 모임 $\mathcal{C}$가 덮개라면, 유한 부분덮개가 존재한다.
$\Leftrightarrow$ 임의의 이론 $\Gamma$가 모델을 가지지 않는다면, 모델을 가지지 않는 유한 부분이론이 존재한다.
$\Leftrightarrow$ 콤팩트성 정리 ■
정의. 완전 비연결인 콤팩트 하우스도르프 공간을 스톤 공간Stone space이라고 부른다.
1차 논리의 콤팩트성 정리에 의해, $\mathcal{S}$는 스톤 공간이다. 이와 같이 논리적 구조를 위상적으로 분석하는 접근은 스톤 이중성Stone duality이라고 불리는, 현대수학의 깊은 주제와 연관이 있다.
This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.
The following is a famous theorem from undergraduate mathematical logic.
Compactness Theorem. For a theory $T$ in language $\mathcal{L}$, if every finite subtheory of $T$ has a model, then $T$ has a model.
But why is this theorem called the compactness theorem? Upon closer examination, the statement of the above theorem can be written as follows:
If an arbitrary set of $\mathcal{L}$-sentences $T$ has no model, then there exists some finite subset $T’ \subset T$ such that $T’$ has no model.
This is certainly similar to the definition of compactness in topology.
If an arbitrary collection of open sets $\mathcal{C}$ covers the entire space, then there exists some finite subset $\mathcal{C}’ \subset \mathcal{C}$ such that $\mathcal{C}’$ covers the entire space.
This similarity can be extended beyond mere observation. The idea is to regard each complete $\mathcal{L}$-theory as a point in a space, and when we endow this collection with an appropriate topology, the compactness theorem becomes a necessary and sufficient condition for the corresponding space to be compact. First, we define the following:
Definition. For an $\mathcal{L}$-structure $\mathfrak{A}$, we define $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ as the set of all $\mathcal{L}$-sentences that are true in $\mathfrak{A}$.
Incidentally, this set was defined in a previous post when explaining elementary equivalence.
It is clear that $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ is a consistent and syntactically complete theory. Conversely, when a theory $T$ is consistent and syntactically complete, by Gödel’s completeness theorem, $T$ has a model $\mathfrak{A}$, and $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$. Therefore, $\mathrm{Th}$ generates all consistent and syntactically complete theories.
Now let us define the space that will serve as the background for our topological space. First, for a language $\mathcal{L}$, we define the space $\mathcal{S}$ as follows:
\[\mathcal{S} = \{ \mathrm{Th}(\mathfrak{A}) : \mathfrak{A}\text{ is a $\mathcal{L}$-structure } \}\]As mentioned earlier, by Gödel’s completeness theorem, $\mathcal{S}$ is essentially the same as the collection of consistent and syntactically complete theories. However, as we shall see later, since our goal is to show that the topological compactness of $\mathcal{S}$ is equivalent to the compactness theorem of first-order logic without using the completeness theorem, it is better to think of $\mathcal{S}$ simply as a collection of $\mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ for now.
Now let us define a topological basis for $\mathcal{S}$. For an $\mathcal{L}$-sentence $\phi$, we define:
\[U_\phi = \{ T \in \mathcal{S} : \phi \in T \}\]Trivially, $U_\phi \cap U_\psi = U_{\phi \land \psi}$. That is, the collection $\mathcal{B}$ of $U_\phi$ is closed under finite intersections. Moreover, $\mathcal{B}$ covers $\mathcal{S}$. For $T \in \mathcal{S}$, if $\phi \in T$, then $T \in U_\phi$. Therefore, $\mathcal{B}$ satisfies the conditions for a topological basis, and we endow $\mathcal{S}$ with the topology generated by $\mathcal{B}$.
Theorem. $\mathcal{S}$ has the following properties:
- It is Hausdorff.
- It is a totally disconnected space. That is, the only connected subspaces in $\mathcal{S}$ are singleton sets.
Proof.
Theorem. The compactness theorem of first-order logic is equivalent to $\mathcal{S}$ being a compact space.
Proof.
Lemma. A necessary and sufficient condition for $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$ to cover $\mathcal{S}$ is that $\Gamma = \lbrace \lnot \phi : U_\phi \in \mathcal{C} \rbrace $ has no model.
Proof. If $\Gamma$ has a model $\mathfrak{A}$, then $T = \mathrm{Th}(\mathfrak{A})$ is not covered by $\mathcal{C}$. On the other hand, if $\mathcal{C}$ does not cover $\mathcal{S}$, then there exists some structure $\mathfrak{A}$ such that for $\phi \in \Gamma$, $\phi \notin \mathfrak{A}$, which means that $\mathfrak{A}$ is a model of $\Gamma$. □
Now we prove the main theorem. A necessary and sufficient condition for $\mathcal{S}$ to be compact is that any cover of $\mathcal{S}$ consisting of basis elements has a finite subcover. For $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}$, a necessary and sufficient condition for $\mathcal{C}$ to cover $\mathcal{S}$ is (by the lemma) that $\Gamma$ has no model. Therefore,
$\mathcal{S}$ is compact
$\Leftrightarrow$ If any collection of basis elements $\mathcal{C}$ is a cover, then there exists a finite subcover.
$\Leftrightarrow$ If any theory $\Gamma$ has no model, then there exists a finite subtheory that has no model.
$\Leftrightarrow$ Compactness theorem ■
Definition. A compact Hausdorff space that is totally disconnected is called a Stone space.
By the compactness theorem of first-order logic, $\mathcal{S}$ is a Stone space. This approach of analysing logical structures topologically is connected to a deep topic in modern mathematics called Stone duality.
이전 글에서, $\mathcal{L}$-구조 $\mathfrak{A}$에서 정의가능한 집합들이 무엇인지에 관해 알아 보았다. $S \subseteq A$가 $\mathfrak{A}$에서 특정 산술 위계에 속하는 명제 $\phi$로 정의가능할 때, $S$가 그 위계에 속한다고 하자. 예를 들어 $S$가 $\Pi_1$ 문장으로 정의 가능할 때, $S \in \Pi_1$이다.
예를 들어 표준 산술 모형 $\mathfrak{N} = (\mathbb{N}, 0, S, +)$에서 짝수의 집합은 $\Sigma_1$이다.
\[\{ x \in \mathbb{N} : \mathfrak{N} \vDash \exists y (y + y = x) \}\]집합의 구조는 위계가 높아질수록 까다롭기 때문에, 가장 다루기 이상적인 상황은 모든 정의가능한 집합이 $\Delta_0$으로 환원되는 상황이다. 이같은 특징을 가지는 이론을 양화사 제거 가능한 이론이라고 부른다.
정의. $\mathcal{L}$-이론 $T$가 양화사 제거quantifier elimination 가능하다는 것은 임의의 $\mathcal{L}$-명제 $\phi$에 대해 어떤 $\Delta_0$ $\mathcal{L}$-명제 $\psi$가 존재하여 다음이 성립하는 것이다.
\[T \vdash \forall \vec{x} (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \psi(\vec{x}))\]
양화사 제거 판별법. $T$가 양화사 제거 가능할 충분조건은, $T$가 $\Sigma_1$ 명제에 대해 양화사 제거 가능한 것이다.
증명. 먼저 임의의 $\Delta_0$ 명제 $\psi$에 대해 $\forall x \psi$가 양화사 제거 가능함을 보이자. $\forall x \psi$는 $\lnot\exists x \lnot \psi$와 동치이고, 가정에 의해 $\exists x \lnot \psi$는 어떤 양화사가 없는 명제 $\theta$와 동치이다. 따라서 $\forall x \psi$는 $\lnot \theta$와 동치이며, 양화사 제거 가능하다. 이제 양화사 개수에 대한 귀납법을 적용하면 임의의 명제에 대해 양화사 제거가 가능함이 보여진다. ■
어떤 이론이 양화사 제거 가능할 경우 해당 이론이 완전함을 보일 수 있는 경우가 종종 있다. 일례로 다음을 보자.
정리. 조밀 무계 전순서 이론 $T$는 양화사 제거 가능하다.
증명. 먼저 다음 개념을 정의한다.
정의. 유한한 변수들의 배열arrangement이란, 변수들의 순서 관계의 무모순적인 논리곱을 의미한다.
예를 들어 다음은 $\lbrace v_1, v_3, v_7, v_8 \rbrace$의 배열이다.
\[(v_1 < v_3) \land (v_8 \land v_7) \land (v_3 = v_8)\]증명의 핵심은 다음의 보조정리이다.
보조정리. $\mathcal{L} = (<)$의 $\Delta_0$ 명제는 전순서 이론에서 모순과 동치이거나, 어떤 배열들의 논리합과 동치이다.
보조정리를 인정하고 본 정리를 증명해 보자. 양화사 제거 판별법에 의해, $\psi \in \Delta_0$에 대해 $\exists x \psi$가 양화사 제거 가능함을 보이면 된다. 보조정리에 의해 $\psi$는 $\theta_1 \lor \cdots \lor \theta_n$과 동치이며, 각 $\theta_i$는 변수들의 배열이다. $\exists$의 분배법칙에 의해,
\[T \vdash \exists x \psi \leftrightarrow \Big( (\exists x \theta_1) \lor \cdots (\exists x \theta_n) \Big)\]이다. 그런데 조밀 무계 전순서에서는 배열 $\theta$에 대해, $\exists x \theta$는 $\theta$의 순서 관계를 한줄로 쭉 적은 뒤, $x$를 지운 명제와 동치이다. 예를 들어 $\exists x (v_1 < x) \land (x < v_2)$는 $\exists x (v_1 < x < v_2)$로 적을 수 있고, 이는 조밀성에 의해 $v_1 < v_2$와 동치이다. 한편 $\exists x (v_1 < x)$는 무계성에 의해 항진이며, $v_1 = v_1$과 동치이다. 따라서 위 식의 우항은 양화사 제거 가능하며, 이에 따라 $\exists x \psi$ 또한 양화사 제거 가능하다. ■
따름정리. $T$는 완전하다.
증명. $T$가 양화사 제거 가능하므로, 표준 양화사 제거 형식에 의해, 최대 1개의 자유변수 $x$를 가지는 임의의 $\Delta_0$ 문장 $\psi \in \Delta_0$에 대해 $T \vdash \psi$이거나 $T \vdash \lnot\psi$임을 보이면 된다. 보조정리에 의해 $\psi$는 $x$의 배열과 동치이다. 그런데 가능한 $x$의 배열은 $x < x$와 $x = x$, 두 가지밖에 없다. 전자의 경우 모순이므로 $T \vdash \lnot\psi$이고, 후자의 경우 항진이므로 $T \vdash \psi$이다. ■
$T$가 양화사 제거 가능한 것과 대조적으로, 조밀 유계 전순서 이론 $T_{\mathrm{bd}}$는 양화사 제거 가능하지 않다. $a$가 $<$의 최솟값일 때, $\phi \equiv \exists y (y < x)$가 양화사 제거 가능하지 않기 때문이다. $T_{\mathrm{bd}}$도 전순서 이론이므로, 만약 $\phi$가 양화사 제거 가능했다면 보조정리에 의해 $\phi$는 $x < x$ 또는 $x = x$와 동치여야 하는데, $\phi$는 $x = a$일 때 참이고 그 외의 경우에는 거짓이기 때문에 전자와 후자 모두에 해당하지 않는다.
그러나 이 경우에는 양화사 제거가 가능한 $T_{\mathrm{bd}}$의 확장을 쉽게 찾을 수 있다. 먼저 언어 $\mathcal{L}$에 두 가지 새로운 상수 기호 $a$와 $b$를 추가한다. 그리고 $a$와 $b$가 각각 최솟값과 최댓값이라는 다음의 공리를 $T_{\mathrm{bd}}$에 추가한 것을 $T_{\mathrm{bd}}’$이라고 하자.
\[\lnot \exists (x < a) \quad \lnot \exists (b < x)\]정리. $T_{\mathrm{bd}}’$는 양화사 제거 가능하다.
증명. 연습문제
따름정리. $T_{\mathrm{bd}}$는 완전하다.
증명. $T_{\mathrm{bd}}$의 보존적 확장conservative extension인 $T_{\mathrm{bd}}’$가 완전하므로, $T_{\mathrm{bd}}$ 또한 완전하다. ■
This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.
In the previous article, we examined what sets are definable in an $\mathcal{L}$-structure $\mathfrak{A}$. When $S \subseteq A$ is definable by a formula $\phi$ belonging to a particular arithmetic hierarchy in $\mathfrak{A}$, we say that $S$ belongs to that hierarchy. For instance, when $S$ is definable by a $\Pi_1$ sentence, we have $S \in \Pi_1$.
For example, in the standard arithmetic model $\mathfrak{N} = (\mathbb{N}, 0, S, +)$, the set of even numbers is $\Sigma_1$.
\[\{ x \in \mathbb{N} : \mathfrak{N} \vDash \exists y (y + y = x) \}\]Since the structure of sets becomes more complex as the hierarchy level increases, the most ideal situation is when all definable sets can be reduced to $\Delta_0$. Theories possessing such a property are called theories admitting quantifier elimination.
Definition. An $\mathcal{L}$-theory $T$ admits quantifier elimination if for any $\mathcal{L}$-formula $\phi$, there exists some $\Delta_0$ $\mathcal{L}$-formula $\psi$ such that the following holds:
\[T \vdash \phi \leftrightarrow \psi\]where all free variables of $\psi$ are free variables of $\phi$.
Quantifier Elimination Test. A sufficient condition for $T$ to admit quantifier elimination is that $T$ admits quantifier elimination for formulae of the form $\exists x \psi$ where $\psi \in \Delta_0$.
Proof. First, we show that for any $\Delta_0$ formula $\psi$, the formula $\forall x \psi$ admits quantifier elimination. The formula $\forall x \psi$ is equivalent to $\lnot\exists x \lnot \psi$, and by assumption, $\exists x \lnot \psi$ is equivalent to some quantifier-free formula $\theta$. Therefore, $\forall x \psi$ is equivalent to $\lnot \theta$ and admits quantifier elimination. By applying induction on the number of quantifiers, we can show that quantifier elimination is possible for any formula. ■
When a theory admits quantifier elimination, it is often possible to show that the theory is complete. Consider the following example.
Theorem. The theory $T$ of dense unbounded linear orders admits quantifier elimination.
Proof. First, we define the following concept.
Definition. An arrangement of finite variables is a consistent conjunction of order relations amongst the variables.
For instance, the following is an arrangement of $\lbrace v_1, v_3, v_7, v_8 \rbrace$:
\[(v_1 < v_3) \land (v_8 \land v_7) \land (v_3 = v_8)\]The key to the proof is the following lemma.
Lemma. A $\Delta_0$ formula in $\mathcal{L} = (<)$ is either equivalent to a contradiction in the theory of linear orders, or equivalent to a disjunction of arrangements.
Accepting the lemma, we prove the main theorem. By the quantifier elimination test, it suffices to show that $\exists x \psi$ admits quantifier elimination for $\psi \in \Delta_0$. By the lemma, $\psi$ is equivalent to $\theta_1 \lor \cdots \lor \theta_n$, where each $\theta_i$ is an arrangement of variables. By the distributivity of $\exists$, we have
\[T \vdash \exists x \psi \leftrightarrow \Big( (\exists x \theta_1) \lor \cdots (\exists x \theta_n) \Big)\]However, in dense unbounded linear orders, for an arrangement $\theta$, the formula $\exists x \theta$ is equivalent to the formula obtained by writing out the order relations of $\theta$ in a single line and then removing $x$. For example, $\exists x (v_1 < x) \land (x < v_2)$ can be written as $\exists x (v_1 < x < v_2)$, which by density is equivalent to $v_1 < v_2$. On the other hand, $\exists x (v_1 < x)$ is a tautology by unboundedness and is equivalent to $v_1 = v_1$. Therefore, the right-hand side of the above equation admits quantifier elimination, and consequently $\exists x \psi$ also admits quantifier elimination. ■
Corollary. $T$ is complete.
Proof. Since $T$ admits quantifier elimination, by the standard quantifier elimination procedure, it suffices to show that for any $\Delta_0$ sentence $\psi \in \Delta_0$ with at most one free variable $x$, either $T \vdash \psi$ or $T \vdash \lnot\psi$. By the lemma, $\psi$ is equivalent to an arrangement of $x$. However, there are only two possible arrangements of $x$: $x < x$ and $x = x$. In the former case, since it is a contradiction, we have $T \vdash \lnot\psi$; in the latter case, since it is a tautology, we have $T \vdash \psi$. ■
In contrast to $T$ admitting quantifier elimination, the theory $T_{\mathrm{bd}}$ of dense bounded linear orders does not admit quantifier elimination. This is because when $a$ is the minimum element of $<$, the formula $\phi \equiv \exists y (y < x)$ does not admit quantifier elimination. Since $T_{\mathrm{bd}}$ is also a theory of linear orders, if $\phi$ admitted quantifier elimination, then by the lemma, $\phi$ would have to be equivalent to either $x < x$ or $x = x$. However, $\phi$ is true when $x = a$ and false otherwise, so it corresponds to neither case.
Nevertheless, in this case we can easily find an extension of $T_{\mathrm{bd}}$ that admits quantifier elimination. First, we add two new constant symbols $a$ and $b$ to the language $\mathcal{L}$. Then we define $T_{\mathrm{bd}}’$ as $T_{\mathrm{bd}}$ with the addition of the following axioms stating that $a$ and $b$ are the minimum and maximum elements, respectively:
\[\lnot \exists (x < a) \quad \lnot \exists (b < x)\]Theorem. $T_{\mathrm{bd}}’$ admits quantifier elimination.
Proof. Exercise.
Corollary. $T_{\mathrm{bd}}$ is complete.
Proof. Since $T_{\mathrm{bd}}’$, which is a conservative extension of $T_{\mathrm{bd}}$, is complete, $T_{\mathrm{bd}}$ is also complete. ■
$\mathfrak{A}$가 $\mathcal{L}$-구조라고 하자. $A$는 $\mathfrak{A}$의 정의역이다.
정의. $X \subseteq A$가 정의가능definable하다는 것은, 어떤 $\mathcal{L}$-논리식 $\phi$와 자유변수 할당 $g$가 존재하여 다음이 성립한다는 것이다.
\[X = \{ x \in A : \mathfrak{A} \vDash \phi[g^0_x] \}\]$\phi$가 $v_0$ 이외의 자유변수를 가지지 않을 때, $X$는 $\emptyset$-정의가능하다고 한다.
Remark. 정의가능성은 괴델의 구성가능성과 같은 의미이다.
예를 들어 $(\mathbb{R}, <)$에서 $(e, 2\pi)$는 다음의 $\phi$와 $g$에 의해 정의가능하다.
그러나 $(e, 2\pi)$는 $\emptyset$-정의가능하지 않다. $(\mathbb{R}, <)$에서 $e$와 $2\pi$를 특정할 방법이 없기 때문이다.
한편 표준 산술 모형 $(\mathbb{N}, 0, +, S)$에서 짝수의 집합 $E$는 다음의 $\phi$에 의해 $\emptyset$-정의가능하다.
모든 유한집합은 정의가능하다. 예를 들어 $A = \lbrace a_1, a_2, a_3 \rbrace $는 다음과 같이 정의가능하다.
같은 이유로 모든 쌍대 유한집합cofinite set 또한 정의가능하다.
저번 글에서 탄력적resilient 집합족에 대해 알아 보았다. 이제 다음을 정의하자.
정의. $\kappa$가 비가산 기수라고 하자. $\mathfrak{A}$가 $\kappa$-포화$\kappa$-saturated되었다는 것은, $\kappa$개보다 적은 $A$의 정의가능한 부분집합들의 모임이 언제나 탄력적이라는 것이다. 특히, $\mathfrak{A}$가 $|A|$-포화되었을 때, $\mathfrak{A}$는 포화saturated되었다고 한다.
따라서 $\aleph_1$-포화된 구조 $\mathfrak{A}$는, 가산 개의 $\mathfrak{A}$의 정의가능한 부분집합들의 모임이 유한 교집합 속성을 만족할 때, 전체 교집합 또한 공집합이 아닌 구조이다. 한편 구조 $\mathfrak{A}$가 $|A|^+$-포화되는 것은 불가능하다. 다음의 집합족이 유한 교집합 속성을 만족하지만 교집합은 공집합이기 때문이다.
\[\Big\{ A - \{ a \} : a \in A \Big\}\]포화된 구조의 중요성은 다음 정리에 있다.
정리. 초등적으로 동등하며 기수가 같은 두 포화된 $\mathcal{L}$-구조는 동형이다.
증명. 생략. 기초적인 아이디어는 저번 글에서 본 칸토어의 앞뒤 논법을 일반화한 것이다.
그러나 유감스럽게도 포화된 구조는 구성하기가 까다롭다. 일례로 비가산 기수 $\kappa$와, $|T| \leq \kappa$인 건전한 이론 $T$에 대해, $T$는 $\kappa^+$-포화된, 기수 $2^\kappa$의 모델을 가진다. 따라서 일반화된 연속체 가설을 인정할 시 해당 모델은 포화되어 있다. 그러나 ZFC만으로는 포화된 구조가 존재함을 증명할 수 없음이 알려져 있다.
따라서 다음의 더 약한 조건을 가진 개념을 도입한다.
정의. $\mathfrak{A}$가 특별special하다는 것은, $\mathfrak{A}$가 방향 유도계 $\lbrace \mathfrak{A}_\kappa \rbrace _{\kappa < |A|}$의 쌍대 극한이라는 것이다. 여기서 $\kappa$는 무한 기수이며, 각 $\mathfrak{A}_\kappa$는 $\kappa^+$-포화되어 있다.
모든 포화된 구조는 특별하다. 각 $\mathfrak{A}_\kappa$를 자기 자신으로 두면 되기 때문이다. 그러나 모든 특별한 구조가 포화된 것은 아니다. 따라서 특별함은 포화보다 엄격히 약한 조건이다. 그럼에도 특별한 구조는 동형성 성질을 만족한다.
정리. 초등적으로 동등하며 기수가 같은 두 특별한 $\mathcal{L}$-구조는 동형이다.
더구나 특별한 구조는 포화된 구조보다 더 구성하기 쉽다. 특히, 다음 뢰벤하임-스콜렘 정리의 특수화가 알려져 있다.
특별 뢰벤하임-스콜렘 정리. $T$가 언어 $\mathcal{L}$의 이론이라고 하자.
- $T$가 무한 모델을 가진다면, $T$는 임의의 기수보다 큰 기수의 특별한 모델을 가진다.
- $T$가 무한 모델을 가지고, $\mathcal{L}$이 가산이라면, $T$는 기수가 $\beth_\omega$인 특별한 모델을 가진다.
이 정리의 응용으로서, 다음의 유명한 결과를 보자.
정의. 실수 닫힌 순서체 이론 또는 RCOF란 다음의 공리들로 이루어진 언어 $(0, 1, +, \cdot, <)$의 이론이다. ($x^n$은 $x \underbrace{\cdot \;\cdots\; \cdot}_{n} x$를 줄인 표기법)
- 순서체 공리
- $\forall a, b, c : (a < b) \rightarrow (a + c < b + c)$
- $\forall a, b : (a > 0 \land b > 0) \rightarrow ab > 0$
- 체 공리
- 제곱근 공리: $\forall a > 0 \; \exists x : x^2 = a$
- 닫힘 공리꼴:
- $\forall a_2, a_1, a_0 \; \exists x :x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$
- $\forall a_4, a_3, a_2, a_1, a_0\; \exists x : x^5 + a_4x^4 + \cdots + a_0 = 0$
- …
실수 닫힌체 이론 또는 RCF란 다음의 공리들로 이루어진 언어 $(0, 1, +, \cdot)$의 이론이다.
- 체 공리
- 형식적 실수 공리: $\forall x : x^2 \neq -1$
- 제곱근 공리: $\forall a \; \exists x : x^2 = a \lor x^2 = -a$
- 닫힘 공리꼴
타르스키 정리. RCOF와 RCF는 완전하다.
증명. 핵심은 다음의 보조정리이다.
에르되시-길만-헨릭슨Erdös-Gillman-Henriksen 보조정리. 기수가 같은 두 특별한 실수 닫힌체는 동형이다.
보조정리를 인정하고 타르스키 정리를 증명해 보자. 만약 RCF가 완전하지 않다면, RCF의 확장 $T_1$과 $T_2$가 존재하여 $T_1$의 모델과 $T_2$의 모델은 초등적으로 동등하지 않다. RCF의 모든 모델은 무한 모델이므로 (why?) 특별 뢰벤하임-스콜렘 정리에 의해 $T_1$과 $T_2$는 각각 기수가 $\beth_\omega$인 모델 $\mathfrak{A}_1, \mathfrak{A}_2$를 가진다. 그런데 보조정리에 의해 $\mathfrak{A}_1 \cong \mathfrak{A}_2$인데, 이는 $\mathfrak{A}_1 \not\equiv \mathfrak{A}_2$와 모순이다. ■
This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.
Let $\mathfrak{A}$ be an $\mathcal{L}$-structure. Let $A$ be the domain of $\mathfrak{A}$.
Definition. A subset $X \subseteq A$ is said to be definable if there exist some $\mathcal{L}$-formula $\phi$ and free variable assignment $g$ such that the following holds:
\[X = \{ x \in A : \mathfrak{A} \vDash \phi[g^0_x] \}\]When $\phi$ has no free variables other than $v_0$, we say that $X$ is $\emptyset$-definable.
Remark. Definability has the same meaning as Gödel’s constructibility.
For example, in $(\mathbb{R}, <)$, the interval $(e, 2\pi)$ is definable by the following $\phi$ and $g$:
However, $(e, 2\pi)$ is not $\emptyset$-definable, as there is no way to specify $e$ and $2\pi$ in $(\mathbb{R}, <)$.
On the other hand, in the standard arithmetic model $(\mathbb{N}, 0, +, S)$, the set of even numbers $E$ is $\emptyset$-definable by the following $\phi$:
All finite sets are definable. For instance, $A = \lbrace a_1, a_2, a_3 \rbrace $ is definable as follows:
For the same reason, all cofinite sets are also definable.
In the previous post, we examined resilient families of sets. We now define the following:
Definition. Let $\kappa$ be an uncountable cardinal. We say that $\mathfrak{A}$ is $\kappa$-saturated if every collection of fewer than $\kappa$ definable subsets of $A$ is resilient. In particular, when $\mathfrak{A}$ is $|A|$-saturated, we say that $\mathfrak{A}$ is saturated.
Therefore, an $\aleph_1$-saturated structure $\mathfrak{A}$ is one in which, whenever a countable collection of definable subsets of $\mathfrak{A}$ satisfies the finite intersection property, their total intersection is also non-empty. Meanwhile, it is impossible for a structure $\mathfrak{A}$ to be $|A|^+$-saturated, since the following family of sets satisfies the finite intersection property but has empty intersection:
\[\Big\{ A - \{ a \} : a \in A \Big\}\]The importance of saturated structures lies in the following theorem:
Theorem. Two elementarily equivalent saturated $\mathcal{L}$-structures of the same cardinality are isomorphic.
Proof. Omitted. The basic idea is a generalisation of Cantor’s back-and-forth argument seen in the previous post.
Unfortunately, saturated structures are difficult to construct. For instance, for an uncountable cardinal $\kappa$ and a consistent theory $T$ with $|T| \leq \kappa$, the theory $T$ has a $\kappa^+$-saturated model of cardinality $2^\kappa$. Therefore, under the generalised continuum hypothesis, such a model is saturated. However, it is known that ZFC alone cannot prove the existence of saturated structures.
We therefore introduce the following concept with a weaker condition:
Definition. We say that $\mathfrak{A}$ is special if $\mathfrak{A}$ is the direct limit of a directed system $\lbrace \mathfrak{A}_\kappa \rbrace _{\kappa < |A|}$, where $\kappa$ is an infinite cardinal and each $\mathfrak{A}_\kappa$ is $\kappa^+$-saturated.
Every saturated structure is special, as we can take each $\mathfrak{A}_\kappa$ to be itself. However, not every special structure is saturated. Therefore, being special is a strictly weaker condition than being saturated. Nevertheless, special structures satisfy the isomorphism property:
Theorem. Two elementarily equivalent special $\mathcal{L}$-structures of the same cardinality are isomorphic.
Moreover, special structures are easier to construct than saturated structures. In particular, the following specialisation of the Löwenheim-Skolem theorem is known:
Special Löwenheim-Skolem Theorem. Let $T$ be a theory in language $\mathcal{L}$.
- If $T$ has an infinite model, then $T$ has a special model of cardinality greater than any given cardinal.
- If $T$ has an infinite model and $\mathcal{L}$ is countable, then $T$ has a special model of cardinality $\beth_\omega$.
As an application of this theorem, we consider the following famous result:
Definition. The theory of real closed ordered fields or RCOF is a theory in the language $(0, 1, +, \cdot, <)$ consisting of the following axioms: ($x^n$ is an abbreviation for $x \underbrace{\cdot \;\cdots\; \cdot}_{n} x$)
- Ordered field axioms
- $\forall a, b, c : (a < b) \rightarrow (a + c < b + c)$
- $\forall a, b : (a > 0 \land b > 0) \rightarrow ab > 0$
- Field axioms
- Square root axiom: $\forall a > 0 \; \exists x : x^2 = a$
- Closure axiom schemas:
- $\forall a_2, a_1, a_0 \; \exists x :x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$
- $\forall a_4, a_3, a_2, a_1, a_0\; \exists x : x^5 + a_4x^4 + \cdots + a_0 = 0$
- …
The theory of real closed fields or RCF is a theory in the language $(0, 1, +, \cdot)$ consisting of the following axioms:
- Field axioms
- Formally real axiom: $\forall x : x^2 \neq -1$
- Square root axiom: $\forall a \; \exists x : x^2 = a \lor x^2 = -a$
- Closure axiom schemas
Tarski’s Theorem. RCOF and RCF are complete.
Proof. The key is the following lemma:
Erdős-Gillman-Henriksen Lemma. Two special real closed fields of the same cardinality are isomorphic.
Assuming the lemma, we prove Tarski’s theorem. If RCF were not complete, there would exist extensions $T_1$ and $T_2$ of RCF such that models of $T_1$ and models of $T_2$ are not elementarily equivalent. Since all models of RCF are infinite models (why?), by the special Löwenheim-Skolem theorem, $T_1$ and $T_2$ each have models $\mathfrak{A}_1, \mathfrak{A}_2$ of cardinality $\beth_\omega$. However, by the lemma, $\mathfrak{A}_1 \cong \mathfrak{A}_2$, which contradicts $\mathfrak{A}_1 \not\equiv \mathfrak{A}_2$. ■
가산 조밀 무계 전순서countable dense unbounded linear order는 모두 동형임을 보인 칸토어의 앞뒤 논법back-and-forth argument에서 핵심이 되는 원리는 다음이다.
가산 데데킨트 성질. $(L, <)$이 전순서라고 하자. 다음은 동치이다.
- $(L, <)$은 조밀하고 무계이다.
- $L$의 유한 부분집합 $C, D$에 대해, $C < D$일 경우 $C < y < D$를 만족하는 $y \in L$이 존재한다.
여기서 $C < D$는 $\forall c \in C, d \in D : c < d$를 줄인 표기이다.
유한 데데킨트 성질로부터 동형성 정리를 다음과 같이 보일 수 있다. $(A, <_A), (B, <_B)$가 두 가산 조밀 무계 전순서라고 하자. 가산이므로 $A, B$의 원소를 자연수로 인덱싱할 수 있다. $f: A \to B$를 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.
위 과정의 귀납적 극한으로서 얻어지는 $f$는 $A$와 $B$의 동형 사상이다.
그런데 위 보조정리의 다음 일반화는 일반적으로 성립하지 않는다.
(틀린 명제) $(L, <)$이 전순서라고 하자. 다음은 동치이다.
- $(L, <)$은 조밀하고 무계이다.
- $L$보다 작은 기수인 $L$의 부분집합 $C, D$에 대해, $C < D$일 경우 $C < y < D$를 만족하는 $y \in L$이 존재한다.
예를 들어 $(\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace , <)$는 조밀하고 무계인 전순서이며, $C = (-\infty, 0) \cap \mathbb{Q}, D = (0, \infty) \cap \mathbb{Q}$일 때 $C < D$이고 $|C|, |D| < |\mathbb{R}|$이지만 $C < y < D$를 만족하는 실수 $y$는 존재하지 않는다.
만약 위 보조정리의 일반화가 성립했다면, 다음과 같이 기수가 $\kappa > \aleph_0$인 조밀 무계 전순서가 유일함을 증명할 수 있었을 것이다. 선택 공리를 가정했을 때, $A$와 $B$는 $\kappa$와 순서 동형이도록 정렬될 수 있다. 이제 서수 $\alpha < \kappa$에 대해 초한귀납적으로 $f$를 정의한다.
그러나 일반화된 보조정리가 성립하지 않으므로, 칸토어의 앞뒤 논법은 비가산 조밀 무계 전순서가 유일하다는 것을 보이는 데 적용될 수 없다. 실제로 비가산 조밀 무계 전순서는 $\mathbb{R}$ 이외에도 $\lbrace 0\rbrace \times \mathbb{R} \sqcup \lbrace 1\rbrace \times \mathbb{Q}$에 사전식 순서를 준 순서 등 유일하지 않다.
그렇다면 보조정리의 성질은 어느 정도까지 일반화될 수 있을까? 이 물음과 관련된 개념은 다음과 같다.
정의.
- 집합족 $\mathcal{C}$가 유한 교집합 속성finite intersection property을 가진다는 것은, $\mathcal{C}$의 집합-원소들의 유한한 교집합은 언제나 공집합이 아니라는 것이다.
- 집합족 $\mathcal{C}$가 탄력적resilient이라는 것은, $\mathcal{D}$가 유한 교집합 속성을 가지는 $\mathcal{C}$의 부분모임일 때, $\bigcap_{D \in \mathcal{D}} D \neq \varnothing$인 것이다.
위상수학을 공부한 독자라면 이는 친숙한 개념일 것이다.
칸토어 축소구간 정리. $K$가 콤팩트할 필요충분조건은 $K$의 모든 닫힌 집합들의 모임 $\mathcal{F}$가 탄력적인 것이다.
증명. $(\Rightarrow)$ $\mathcal{F}$가 탄력적이지 않다고 하자. 그러면 어떤 닫힌 집합들의 모임 $\mathcal{C}$가 존재하여, $\mathcal{C}$가 유한 교집합 속성을 가지지만 $\bigcap_{C \in \mathcal{C}} C = \varnothing$이다. 드 모르간 법칙에 의해 $\bigcup_{C \in \mathcal{C}} C^c = K$이다. 즉 $\lbrace C^c : C \in \mathcal{C} \rbrace $는 $K$의 열린 덮개이다. $K$가 콤팩트하므로 이는 유한 부분 덮개를 가진다. 그러나 이 경우 다시 드 모르간 법칙에 의해, 어떤 유한한 $\mathcal{C}’ \subset \mathcal{C}$에 대해 $\bigcap_{C \in \mathcal{C}’} C = \varnothing$이다. 이는 $\mathcal{C}$의 유한 교집합 속성에 모순된다.
$(\Leftarrow)$ 거의 비슷한 방식으로 증명한다. ■
이제 다음과 같이 보조정리를 일반화할 수 있다.
비가산 데데킨트 성질. $(L, <)$이 전순서이고, $\kappa$가 비가산 기수라고 하자. 다음은 동치이다.
- $(L, <)$은 조밀하고 무계이다. 또한, $\kappa$개보다 적은 임의의 열린 구간 및 반직선들의 모임은 탄력적이다.
- $L$의 부분집합 $C, D$에 대해, $|C|, |D| < \kappa$이고 $C < D$라면 $C < y < D$를 만족하는 $y \in L$이 존재한다.
증명. $(\Rightarrow)$
$\mathcal{C} = \lbrace (c, \infty) : c \in C \rbrace$를 고려하자. $|\mathcal{C}| = |C| < \kappa$이므로 전제에 의해 $\mathcal{C}$는 탄력적이다. $\mathcal{C}$가 유한 교집합 속성을 가지므로 $\bigcap_{c \in C} (c, \infty) = (c’, \infty)$이다. 해당 $c’$이 찾고자 하는 $y$이다.
i.의 경우와 거의 동일하다.
$\mathcal{E} = \lbrace (c, d) : c \in C, d \in D \rbrace $를 고려하자. 기수 관계식 $\lambda \cdot \epsilon = \mathrm{max}(\lambda, \epsilon)$에 의해 $|\mathcal{E}| < \kappa$이며, $\mathcal{E}$는 탄력적이다. $\mathcal{E}$가 유한 교집합 속성을 가지므로 ($\because$ 가산 데데킨트 성질) $\bigcap_{c \in C, d \in D} (c, d) = (c’, d’)$이다. $(c’, d’) \neq \varnothing$이므로 $y \in (c’, d’)$가 존재하며, 이것이 우리가 찾고자 하는 $y$이다.
$(\Leftarrow)$ $(L, <)$이 조밀하고 무계임은 자명하다.
$\mathcal{E}$가 $\kappa$개보다 적은 열린 구간 및 반직선들의 모임이라고 하자. $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{E}$가 유한 교집합 속성을 가진다고 하자. 그렇다면 $C = \lbrace c : (c, d) \in \mathcal{F} \text{ or } (c, \infty) \in \mathcal{F} \rbrace $, $D = \lbrace d : (c, d) \in \mathcal{F} \text{ or } (-\infty, d) \in \mathcal{F}\rbrace $에 대하여 $C < D$이다. 그렇지 않다면 어떤 $c’ \in C, d’ \in D$에 대해 $d’ < c’$라는 것인데, 이 경우 $c’$을 왼쪽 끝점으로 가지는 열린 구간 $(c’, d’’) \in \mathcal{F}$와 $d’$을 오른쪽 끝점으로 가지는 열린 구간 $(c’’, d’) \in \mathcal{F}$에 대해 $(c’, d’’) \cap (c’’, d’) = \varnothing$이 되어 $\mathcal{F}$의 유한 교집합 속성에 모순되기 때문이다.
따라서 $C < D$이며, 조건에 의해 $C < y < D$인 $y$가 존재한다. 이로부터 $y \in \bigcap_{I \in \mathcal{F}} I$가 따라 나오며, $\mathcal{E}$가 탄력적임이 보여진다. ■
정의. 비가산 데데킨트 성질을 만족하는 집합을 $\eta$ 집합이라고 한다. 특히, $\kappa = \aleph_\alpha$에 대해 비가산 데데킨트 성질을 만족하는 집합을 $\eta_\alpha$ 집합이라고 한다.
$\eta$ 집합은 하우스도르프에 의해 제시되었다. $\eta$ 집합은 다음 글에서 알아 볼 포화saturation 개념과 밀접한 관련이 있다.