자연수라는 신기루: 짧은 논리학 이야기

14 Sep 2025

어느 날 디멘은 외계인을 만났습니다. 외계인이 디멘에게 물었습니다.

그 순간, 데데킨트라는 사람이 나타났습니다.

데데킨트의 자연수 정의. 집합 $A$, 원소 $e \in A$, 그리고 함수 $S: A \to A$가 다음 세 가지 조건을 만족한다면 $A, e, S$는 각각 자연수 집합, $0$, 그리고 $x \mapsto x + 1$에 대응된다.

1. $S(x) = e$를 만족하는 $x$는 존재하지 않는다.
2. $S(x) = S(y)$라면 $x = y$이다.
3. $A$를 정의역으로 하는 임의의 명제 $P(x)$에 대해 다음 두 조건이 성립한다면 $P(x)$는 $A$의 모든 원소에 대해 참이다.
   1. $P(e)$가 참이다.
   2. $P(x)$가 참이라면 $P(S(x))$가 참이다.

데데킨트의 대답에 외계인은 흡족해했지만, 이내 또다시 의아하다는 표정을 지었습니다.

뜻밖의 지적에 데데킨트가 우물쭈물하자 옆에서 뢰벤하임이라는 사람이 끼어들었습니다.

이 말에 스콜렘이라는 사람이 불쑥 나타났습니다.

스콜렘의 발언에 모두가 주의를 집중했습니다.

뢰벤하임-스콜렘 정리. 자연수를 비롯하여, 원소가 무한히 많은 수 체계는 1차 논리로 유일하게 특정될 수 없다.

순간 정적이 흘렀습니다.

외계인의 질문에 아무도 대답하지 못했습니다. 그들은 신기루 같은 자연수의 실체에 대해 할 말이 더 이상 남아 있지 않았습니다.

Note. 이야기의 자연스러운 흐름을 위해 왜곡된 역사적 · 수학적 · 철학적 내용이 있습니다. 1차 논리의 탄생은 뢰벤하임을 비롯한 여러 수학자들의 점진적인 연구로 이루어졌습니다. 또한 데데킨트의 자연수 정의가 사용하는 2차 논리가 정말로 순환적인지에 관해서는 더 자세한 논의가 필요합니다. 마지막으로 스콜렘의 역설은 자연수에 관한 것이 아닌 집합론에 관한 것인데, 뢰벤하임-스콜렘 정리의 귀결이라는 점에서 두 현상은 유사하기 때문에 말풍선에 넣었습니다.

더 읽어보기

• 크립키-비트겐슈타인 역설
• 사적 언어
• 뢰벤하임-스콜렘 정리
• 2차 논리는 “양의 탈을 쓴 집합론”인가?

Natural Numbers as a Mirage: A Short Story in Logic

14 Sep 2025

This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.

One day, Dimen encountered an alien. The alien asked Dimen:

At that moment, a person named Dedekind appeared.

Dedekind’s definition of natural numbers. If a set $A$, an element $e \in A$, and a function $S: A \to A$ satisfy the following three conditions, then $A$, $e$, and $S$ correspond to the set of natural numbers, $0$, and $x \mapsto x + 1$, respectively.

1. There exists no $x$ such that $S(x) = e$.
2. If $S(x) = S(y)$, then $x = y$.
3. For any proposition $P(x)$ with domain $A$, if the following two conditions hold, then $P(x)$ is true for all elements of $A$:
   1. $P(e)$ is true.
   2. If $P(x)$ is true, then $P(S(x))$ is true.

The alien was satisfied with Dedekind’s answer, but soon looked puzzled again.

As Dedekind hesitated at this unexpected criticism, a person named Löwenheim interjected from the side.

At these words, a person named Skolem suddenly appeared.

Everyone focused their attention on Skolem’s statement.

Löwenheim-Skolem theorem. Mathematical systems with infinitely many elements, including natural numbers, cannot be uniquely characterised by first-order logic.

A moment of silence followed.

No one could answer the alien’s question. They had nothing more to say about the mirage-like reality of natural numbers.

Note. For the natural flow of the narrative, there are distorted historical, mathematical, and philosophical contents. The birth of first-order logic was achieved through the gradual research of several mathematicians, including Löwenheim. Moreover, whether Dedekind’s definition of natural numbers using second-order logic is truly circular requires more detailed discussion. Finally, Skolem’s paradox concerns set theory rather than natural numbers, but it was included in the speech bubble because the two phenomena are similar as consequences of the Löwenheim-Skolem theorem.

Further Reading

• Kripke-Wittgenstein Paradox
• Private Language
• Löwenheim-Skolem Theorem
• Is Second-Order Logic “Set Theory in Sheep’s Clothing”?

자연주의적 목적론은 논리를 설명할 수 있는가?

13 Sep 2025

이 글은 제가 작성한 소논문입니다. 원문이 영문으로 작성되었고, 주제 또한 영미철학이기 때문에, 영문 버전이 글 자체는 훨씬 더 자연스럽습니다. (영문 PDF: 링크)

초록

이 글은 원초적 지향성_{original intentionality}에 대한 데넷의 회의주의와, 자연주의적 목적론_{natural teleology}으로 언어의 의미를 해명하고자 하는 데넷의 시도를 두 단계에 걸쳐 검토한다. 첫째, 데넷의 회의주의가 의존하는 불확정성 문제_{indeterminacy problem}는 그 자체로 원초적 지향성을 반박하지 못한다고 논증한다. 둘째, 논리에 대한 자연주의적 목적론 설명은 순환논리에 빠진다고 논증한다. 따라서 논리는 원초적 지향성이 성립해야 하는 영역임을 결론내린다.

1. 서론

1.1. 원초적 지향성 논제_{The Doctrine of Original Intentionality}

데넷(1981)은 마음의 지향성을 둘러싼 논의에서 중대한 견해 차이를 관찰한다. 이 견해 차이는 원초적 지향성에 관한 것으로, 데넷은 이를 다음과 같이 제시한다:

원초적 지향성 논제란, 우리의 인공물 중 일부는 우리로부터 파생된_derived 지향성을 가지지만, 우리는 완전히 파생되지 않은 원초적 지향성을 갖는다는 주장이다.

데넷은 다음 예시로 이를 설명한다. 미국 동전을 받아들이는 자판기를 생각해보자. 자판기가 미국 동전을 받아들일 때 기계는 x는 미국 동전이다를 “의미하는” 상태_state Q에 들어간다고 하자. 흥미롭게도 자판기는 파나마 동전과 미국 동전을 구별할 수 없다. 그렇다면 자판기가 파나마 동전을 받아들일 때, 기계가 상태 Q에 들어간다고 해야 할까(“잘못된” 표상_{representation}), 아니면 x는 파나마 동전이다를 “의미하는” 새로운 상태 B에 들어간다고 해야 할까(“올바른” 표상)?

직관적인 답은 설계자의 의도_intention에 달려 있다는 것이다. 미국인 기술자가 미국 동전을 식별할 의도로 자판기를 설계하여 미국에 설치했다면, 기계는 상태 Q에 들어가며, 파나마 동전이 투입되면 잘못된 표상이 발생한다. 설계자가 파나마인이었다면 그 반대가 될 것이다. 따라서 기계의 지향성은 설계자의 것으로부터 파생된 것이다.

여기까지는 논란의 여지가 없다. 자판기가 단순한 인공물에 불과하기 때문이다. 논쟁은 이 결론이 과연 인간에게도 성립하는지에 관한 것이다. 가령 다음의 경우를 생각해 보자. 일반적으로 존스가 말을 보고 “말”이라고 말할 때, 그는 x는 말이다를 의미하는 상태 H에 있다고 여겨진다. 어느 날 존스가 말과 닮았지만 분류학적으로는 말이 아닌 생물인 슈모스_schmorse와 마주친다. 이 사건이 존스에게 일으키는 상태는 상태 H인가, 아니면 x는 슈모스다를 의미하는 새로운 상태 SH인가? 아니면 줄곧 존스에게 해당했던 상태는 H가 아니라 x는 말이거나 슈모스거나 …를 의미하는 상태 H*였던 것인가?

여기서 데넷은 전선을 그어놓는다:

그가 정확히 어떤 상태에 있는지 결정하기가 아무리 어렵더라도 그는 실제로 둘 중 하나의 상태에 있다… 이 직관을 거부할 수 없다고 생각하는 사람은 원초적 지향성을 믿는 것이며, 훌륭한 동료들이 있다: 포더, 설, 드레츠케, 버지, 크립키… 이 직관을 의심스럽다고 생각하거나 완전히 기각 가능하다고 여기는 사람은 나, 처칠랜드 부부, 데이비슨, 하우겔란드, 밀리컨, 로티, 스탈네이커, 그리고 우리의 뛰어난 선배들인 콰인과 셀라스와 함께 다른 편에 설 수 있다.

1.2. 데넷의 대자연_{Mother Nature}

데넷은 개인에 관한 어떤 사실로도 그의 정신 상태에 관한 불확정성 문제를 해결할 수 없다고 주장한다. 불확정성을 해결하는 데 필요한 것은 우리의 지향성이 자판기의 것만큼 파생된 것임을 인식하는 것이다. 다만 설계자가 인간이 아니라 자연사라는 점이 다를 뿐이다.

예를 들어, 개구리가 납 구슬을 파리로 착각하여 “잘못” 낚아챈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 그런데 왜 그것이 오류일까? 만약 개구리의 낚아침과 결부된 상태의 의미가 “파리를 낚아챔”이었다면, 납 구슬을 낚아채는 것은 분명 오류이다. 그러나 결부된 상태의 의미가 “파리 또는 납 구슬을 낚아챔”이었다면 오류가 아니다. 무슨 근거로 우리는 개구리의 낚아침에 결부된 의미가 후자가 아닌 전자라고 주장할 수 있는 것일까?

데넷의 요지는, 그 근거를 개구리의 신경생리학이 아닌, 개구리로 하여금 특정 대상들을 낚아채게 만든 자연선택의 역사에서 찾아야 한다는 것이다. 자연선택의 논리에서 보았을 때 개구리의 낚아채기는 영양분을 얻는 목적을 “위해 선택되었음_{selected for}“이 분명해지므로, 개구리가 납 구슬을 낚아채는 것은 실수다. 따라서 자판기와 마찬가지로 개구리의 지향성은 설계자로부터 파생된 것이다. 차이점은, 설계자가 “대자연”이라는 것이다. 나아가 데넷은 개구리의 지향성이 파생적이라면, 인간 또한 개구리와 동일한 원리에 의해 진화했으므로 우리의 지향성 또한 파생적이라고 결론내린다.

포더(1996)를 따라, 데넷의 입장을 세 부분으로 더 정확히 “해체”할 수 있다: (1) 적응주의_{adaptationism}가 자연선택의 참된 설명이다. (2) 적응주의는 자연주의적 목적론_{natural teleology}—자연이 어떤 목적을 “위해” 특정 기관 또는 기능을 “선택한다”고 말하는 방식—을 정당화한다 (자연주의적 목적론의 명제들은 진릿값을 가진다). (3) 자연주의적 목적론은 지향성과 의미를 정초한다.

이 글에서는 (1)과 (2)를 단순히 받아들이는 것으로 시작할 것이다. 예컨대 혈액을 순환시키는 심장들의 집합과, 맥박 소리를 내는 심장들의 집합이 외연적으로 일치한다는 것은 아마 법칙적 필연_{nomologically necessity}이지만, “심장은 맥박 소리를 내는 능력을 위해 선택되었다”는 거짓이고 “심장은 혈액을 순환시키는 능력을 위해 선택되었다”는 참임을 인정할 것이다. 이 글의 논지는, 그럼에도 불구하고 자연주의적 목적론은 특정 부류의 지향성을 설명하기에 충분하지 않다는 것이다.

2. 문제의 재구성

2.1. 불확정성 문제는 “공정”한가?

데넷이 불확정성 문제를 원초적 지향성을 의심하는 주요 이유로 인용하므로, 문제의 정확한 구조를 다음과 같이 명료화하는 것이 논의에 도움이 될 것이다.

1. 지향적 실재론자들_{intentional realists}(원초적 지향성의 지지자들)은 다음을 주장한다:
   1. 표상적 정신 상태_{representative mental state}라 불리는 정신 상태의 부류가 있다.
   2. 각각의 표상적 정신 상태는 세계가 특정한 방식으로 존재한다고 표상하는 내용_content을 갖는다.
   3. 행위자가 표상적 정신 상태에 있다면, 그가 어떠한 정신 상태에 있는지에 관해 불확정성이 있어서는 안 된다.
2. (1.2)로부터 다음이 따른다:
   1. 표상적 정신 상태가 주어지면, 그것이 세계를 올바르게 표상하는지에 관해 불확정성이 있어서는 안 된다.
3. (1.3)과 (2.1)로부터 지향적 실재론자들이 다음을 주장한다는 것이 따른다:
   1. 행위자가 표상적 정신 상태에 있다면, 그의 상태가 세계를 올바르게 표상하는지에 관해 불확정성이 있어서는 안 된다.
4. 따라서 (3.1)에 대한 반례가 있다면, 지향적 실재론은 거짓이다.

데넷은 앞서 언급한 말-슈모스 사례뿐만 아니라 퍼트남의 H₂O-XYZ 사례, 그리고 자신의 glug 사례(데넷 1981)를 포함하여 (3.1)에 대한 다양한 반례를 인용한다. 그러나 나는 위에서 서술된 형태의 불확정성 문제는 잘못 설정되었다고 주장한다. 왜냐하면 설령 지향적 실재론이 참이더라도, (3.1)에 대한 반례는 항상 존재하기 때문이다.

가령 (1.1), (1.2), (1.3)을 인정하고, 존스가 “의자”라고 말할 때 그는 x는 의자다라는 내용을 가진 표상적 정신 상태에 있다고 하자. 이제, $s_1$은 의자이고 $s_n$은 톱밥 더미인 소라이츠 열_{Sorites sequence} $(s_1, \dots, s_n)$을 고려해보자. (3.1)은 존스가 “의자”라고 말할 때 $1 ≤ i ≤ n$에 대해 $s_i$를 올바르게 표상하는지에 관한 기준이 있어야 한다고 요구한다. 그러나 그런 기준은 없으므로 (3.1)은 반박된다.

그러나 이것은 지향적 실재론에 대한 유효한 반박이 될 수 없다. 기껏해야 “의자”와 연관된 내용의 모호성_vagueness을 드러낼 뿐이다. 불확정성 문제의 오류는 (1.2)로부터 (2.1)을 연역하는 데 있다¹. 즉, 표상은 어떤 세계들이 올바른지에 대한 미리 결정된 기준 없이도, 세계가 특정한 방식으로 존재한다고 표상할 수 있다. 가령, 소라이츠 열 중 어디부터가 의자에 해당하는지에 관한 명백한 기준이 없더라도 의자라는 개념은 표상될 수 있다. 여기서의 교훈은 의미가 불확정적이라는 것이 아니라, 확정적인 의미가 모호한 외연을 가질 수 있다는 것이다.²

그렇긴 하지만, 이 지적이 데넷의 예시들에 어느 정도 유효한지는 명확하지 않다. 반쯤 부서진 의자들에 대해 “의자”라고 말하는 것의 모호성이 슈모스들에 대해 “말”이라고 하는 것과 동일시될 수 있을까? 생물학적 종에 대한 반실재론자들은 그렇게 보려 할 것이지만, 본질주의자들은 둘을 같은 선상에 놓는 것이 절박한 시도라고 반박할 것이다.³

이 문제를 계속 논의할 수도 있지만, 이는 의도치 않은 형이상학적 굴레로 빠지는 일이다. 따라서 나의 제안은 데넷의 불확정성 예시들이 실제로 지향적 실재론을 위협하는지의 문제를 제쳐두는 것이다. 구체적으로 말하자면, 의자나 말 등의 물리적 대상을 통해 불확정성 문제를 제기하는 방식을 배제하고, 대신 만약 의미가 존재한다면 결코 그 의미가 모호할 수 없는 언어 및 대상들에 한해 불확정성 문제를 논의하는 것이 더 나은 진행 방식이라고 생각한다. 이는 우리로 하여금 논리로 초점을 이동하게 한다.

2.2. 논리와 수학에서의 불확정성

크립키(1982)의 유명한 회의적 역설은 50보다 높은 수를 더해본 적이 없는 화자가 ‘+’로 덧셈을 의미했는지, 아니면 컷셈_quaddition(아래에 정의됨)을 의미했는지에 관한 사실이 있는지 묻는다.

\[x \oplus y = \begin{cases}x + y & (x, y < 50) \\5 & \text{(otherwise)}\end{cases}\]

곧 드러날 이유 때문에, 나는 크립키의 사례를 약간 변형하여 산술 대신 논리에 적용할 것이다. 가령 함의 기호 ‘→’를 고려해보자.⁴ 캄의_{quimplication}를 50개 미만의 토큰을 가진 문장 안에서는 함의와 일치하고, 그렇지 않은 문장은 언제나 거짓으로 만드는 연산이라고 하자. 예를 들어, $p \to p$는 참이지만, $(p_1 \land p_2 \land \dots \land p_{50}) \to p_1$은 거짓이다.

앨리스가 평생에 걸쳐 50개보다 많은 토큰을 가진 문장을 단 한 번만 다루었다고 가정하자(더 극적인 시나리오를 위해 그녀가 죽어서 그녀의 언어 사용에 관한 추가 데이터를 얻을 수 없다고 생각해도 좋다). 해당 문장 φ는 참이었지만 앨리스는 φ를 거짓으로 판단했다. 그런데 만약 ‘→’가 캄의를 의미했다면 그 문장은 실제로 거짓이었다고 가정하자. 이제 우리는 말-슈모스 사례와 유사한 불확정성에 직면한다. 앨리스는 ‘→’로 함의를 의미했지만 오류를 범한 것일까, 아니면 앨리스는 ‘→’로 캄의를 의미했고 정확한 사용을 한 것일까?

나는 ‘→’의 불확정성 문제가 여타 불확정성 문제보다 지향성을 논의하기에 더 적합하다고 주장한다. 이제 불확정성을 내용의 모호성 탓으로 돌릴 수 없기 때문이다.⁵ 그러므로 지향성의 불확정성 문제를 다음과 같이 재구성하자. 우리가 “함의한다”와 같은 논리적 어휘를 사용할 때, 우리는 확정적인 의미를 가진 정신 상태에 있는가? 이제 데넷주의자가 이 질문에 어떻게 응답할지 개괄하고, 그런 응답들이 순환논리에 빠진다고 논증할 것이다. 따라서 원초적 지향성 논제는 적어도 우리의 논리 사용에 대해서는 참이어야 한다.

3. 논리에 대한 논증

3.1. 논리에 대한 데넷주의적 관점

추정컨대 데넷주의자는 “앨리스가 ‘→’로 함의를 의미한다”와 “앨리스가 ‘→’로 캄의를 의미한다”는 진술 모두가 정당화된다고 주장할 것이다. 실제로 두 진술은 모두 데넷(1991)에서 제시된 “실재 패턴_{real patterns}“의 기준을 만족한다. 둘 다 앨리스의 ‘→’ 사용을 그녀의 행동에서의 패턴, 즉 “앨리스가 ‘A’와 ‘A → B’를 승인할 때, 그녀는 ‘B’를 승인하는 성향이 있다”와 같은 진술로써 구성된다. 차이점은, 후자의 경우 ‘A → B’의 토큰 수가 50개 미만이어야 한다는 조건이 추가된다는 것이다. 이 차이에도 불구하고 두 패턴은 모두 실재적이다. 즉, 존스가 첫 번째 패턴을, 브라운이 두 번째 패턴을 사용하여 앨리스의 미래 ‘→’ 사용을 예측하고 그에 따라 내기를 했다면, “둘 다 부자가 될 것”이라는 의미에서 실재적이다.

그러나 더 야심찬 데넷주의자는 불확정성에 그렇게 쉽게 굴복하지 않을 수도 있다. 대신 자연주의적 목적론을 통해 ‘캄의’보다 ‘함의’ 해석을 정당화하려고 시도할 수 있다. 앞서 자연주의적 목적론이 개구리가 납 구슬을 낚아채는 것을 실수라고 말할 수 있는 길을 열어주는 것을 보았다. 개구리의 물건을 낚아채는 능력이 영양분을 얻는 기능을 위해 “선택되었기_{selected for}” 때문이다. 데넷주의자는 논리에 대해서도 마찬가지로 논증할 수 있다. 논리로 추론하는 우리의 능력은 참인 전제들로부터 참인 문장들을 연역하는 기능을 위해 “선택되었는데”, 이는 거짓보다 참을 더 많이 아는 것이 진화적으로 유리하기 때문이다. 그런데 ‘→’를 캄의로 해석하는 연역은 모순적이므로, 앨리스는 ‘→’로 함의를 의미했으며, φ를 참이라고 판단한 것은 오류였다는 결론이 따른다.

3.2. 논리, 참, 그리고 효용

그러나 나는 이런 시도가 참_truth 개념에 호소한다는 점에서 문제가 있다고 주장한다. 타르스키 이후로 잘 알려진 사실은 참의 개념이 언어에 상대적이라는 것이다. 따라서 데넷주의자가 “앨리스가 참인 문장들을 많이 알수록 앨리스에게 진화적으로 유리하다”라고 주장할 때, 여기서 “참”은 실제로 “$L_A$에서-참”을 의미한다 ($L_A$는 앨리스의 언어를 나타낸다).

중요하게도, 솜즈(1984)는 언어의 범위가 논리적 어휘를 포함한다고 지적한다. 따라서 다음과 같은 타르스키적 참 정의의 조항들은, ($T_A$는 “$L_A$에서-참”을 나타낸다)

(1) $T_A(\ulcorner \phi \;\dot{\to}\; \psi \urcorner)$ iff $T_A(\ulcorner \phi \urcorner)$가 $T_A(\ulcorner \psi \urcorner)$를 함의한다 ⁶

‘→’가 앨리스의 언어에서 함의를 의미한다는 사실을 전제한다. 이 전제 없이는 참의 정의가 시작조차 될 수 없다. 솜즈는 이 점을 사용하여 필드(1972)가 구상한 참의 물리주의적 환원에 대해 논증하지만, 우리는 그의 점을 사용하여 논리에 대한 자연-목적론적 설명에 대한 공격을 전개할 수도 있다. 자연-목적론적 설명은 참, 구체적으로 “$L_A$에서-참”의 효용에 호소하여 앨리스가 사용하는 논리적 어휘의 (파생된) 의미들이 무엇인지 결정한다. 그러나 “$L_A$에서-참”의 바로 그 정의가 해당 의미에 의존하므로, 순환논리에 빠진다.

그러나 데넷주의자들은 어떠한 참 개념에 호소해야만 한다. 특정 부류의 문장들과 연역들이 다른 것들보다 더 “진화적으로 유리”할 수 있는 이유로서, 참의 효용_{utility of truth} 말고는 후보가 없기 때문이다.⁷ 데넷주의자들이 취할 수 있는 다른 한 가지 방법은 “$L_A$에서-참”을 앨리스가 믿었을 때 그녀에게 유용할 문장들의 부류로 단순히 정의하는 것이다. 이는 실용주의적 진리론을 채택하는 것이고, 참이 진화적으로 유익하다는 주장은 자명하게 따라올 것이다. 그러나 이 경우에는 함의가 캄의보다 더 진리-보존적(즉 효용-보존적)인 이유가 불분명할 뿐만 아니라, 함의가 실제로 캄의보다 더 진리-보존적(효용-보존적)인지조차 불분명하다 (물론 실용주의 이론을 학계에서 사장되게 만든 더 심각한 문제들도 있다).

그렇다면 데넷주의자들은 수축주의_deflationism를 채택함으로써 참에 대한 실질적 설명을 제공하는 것을 단순히 우회하는 선택을 할 수 있을까? 관건은 수축주의가 참의 효용을 설명할 수 있는지이다. 버지스(2011)는 그러한 설명의 개략을 제시한다. 어떤 믿음이, 해당 믿음을 갖는 것이 의지력이 약하지 않은_{not weak-willed} 한 행위자로 하여금 특정한 행동을 하게 한다면, 그 믿음을 직접적으로 행동-안내적_{directly action-guiding}이라고 하자. 예를 들어 다음의 믿음은 직접적으로 행동-안내적이다.

(2) 지금 헬스장에 가는 것은 가장 선호하는 결과로 이어질 것이다.

믿음이 행위자의 가장 선호하는 결과를 얻는 데 유용한 경우 해당 믿음을 유용하다고 하자. (2)가 유용한 믿음일 필요충분조건은 지금 헬스장에 가는 것이 화자에게 가장 선호되는 결과로 이어질 것이다. 그런데 이는 수축주의적 진리관에서 (2)가 참이라고 말하는 것과 동치다. 즉, (2)가 유용할 믿음일 필요충분조건은 (2)가 참인 것이다. 따라서 수축주의자들은 적어도 직접적으로 행동-안내적인 믿음들에 대해서는 참의 효용을 설명할 수 있다.

버지스는 이 접근법을 일반적인 경우로 확장한다. 핵심 아이디어는, “직접적으로 행동-안내적인 믿음들은 보통 다른 믿음들을 전제로 삼아 추론된 결론들일 것이므로, 전제가 된 믿음들이 참이고, 전제로부터 결론을 추론하는 방식이 진리-보존적이라면, 해당 전제들은 간접적으로 유용하다”는 것이다. 구체적인 예시를 들어보자. 만약 다음 두 명제에 대한 앨리스의 믿음이,

(3) 만약 내가 오늘 급한 마감일이 없다면, 지금 헬스장에 가는 것은 가장 선호하는 결과로 이어질 것이다.

(4) 나는 오늘 급한 마감일이 없다.

앨리스로 하여금 (2)를 믿게 만든다면, 다음이 따른다:

• (2)가 유용한 믿음이라면, (3)과 (4)는 간접적으로 유용한 믿음들이다.
• 지금 헬스장에 가는 것이 앨리스에게 가장 선호하는 결과로 이어진다면, (2)는 유용한 믿음이다.
• (a) 만약 앨리스가 오늘 급한 마감일이 없다면 지금 헬스장에 가는 것은 가장 선호하는 결과로 이어질 것이고, (b) 앨리스가 오늘 급한 마감일이 없다면, 지금 헬스장에 가는 것이 앨리스에게 가장 선호하는 결과로 이어진다.
• (a)는 (3)이 앨리스에게 참이라고 말하는 것과 같고 (b)는 (4)가 앨리스에게 참이라고 말하는 것과 같다.
• 따라서 (3)과 (4)가 앨리스에게 참이라면 (3)과 (4)는 간접적으로 유용한 믿음들이다.

이 설명이 수축주의자에게는 만족스러울 수 있지만, 데넷주의자들에게는 문제를 제기한다. 이 설명은 또다시 타르스키적 참 정의에 암묵적으로 의존하기 때문이다. 즉, (3)이 앨리스에게 참이라는 것이 (a)와 같다고 말할 수 있기 위해서는 앨리스가 “…라면”으로 함의를 의미한다는 사실이 전제되어 있다. 만약 앨리스가 “…라면”으로 함의가 아닌 캄의를 의미했다면, (3)의 참 (구체적으로, (3)의 “$L_A$에서-참”) 은 (a)가 아니라 (c)와 같다.

(c) 캄약 앨리스가 오늘 급한 마감일이 없다면, 지금 헬스장에 가는 것은 가장 선호하는 결과로 이어질 것이다.

그러나 (c)와 (b)는 지금 헬스장에 가는 것이 앨르시에게 가장 선호되는 결과로 이어질 것이라는 사실을 함의하지 않는다.

결론적으로, 참의 효용에 호소하여 행위자가 논리적 어휘로 무엇을 의미하는지 결정하는 모든 자연-목적론적 이야기는 타르스키적 기초를 통해 해당 의미들에 관한 사전 사실들을 전제하므로 순환논리에 빠진다. 따라서 데넷주의자들이 자연주의적 목적론에 호소하여 지향성과 정확성의 어떤 개념을 설명할 수 있다고 하더라도, 논리는 그 중 하나가 될 수 없다.

3.3. 논리의 불확정성은 용인될 수 있는가?

데넷주의자들에게 남은 선택은 앨리스의 논리적 어휘 해석에서의 불확정성을 그 완전한 의미에서 받아들이는 것이다. 이는 다른 모든 사람에게도 동등하게 적용될 것이므로, 논리 일반은 절대적이지도 규범적이지도 않고, 단지 인간들이 일반적으로 따르는 경향이 있는 사고에서의 패턴들에 관한 기술들의 한 집합일 뿐이라는 결론이 따른다.

그러나 19-20세기 독일어권 세계에서 두드러지게 특징지어진 잘 발달된 사고의 흐름은 논리에 대한 그러한 관점이 비정합적이라고 주장한다. 이 흐름은 당시 유행했던 심리주의에 대한 반작용으로 발전되었다. 심리주의는 심리학이 사람들이 그렇게 생각하는 이유를 설명하는 경험과학이고, 논리가 사고의 규칙성에 관한 것이므로, 논리가 심리학에 포섭된다고 주장한다.

데넷의 관점을 “심리학”을 신경생리학과 행동주의를 포함하도록 해석한 심리주의와 동일시하고 싶은 유혹이 있지만, 이런 비난 자체는 부당할 것이다. 데넷이 어떤 의미에서의 규범성을 확보할 수 있었을 자연주의적 목적론 접근을 구비하고 있기 때문이다. 그러나 이제 이 접근이 논리에 대해서는 효과적이지 않다는 것을 보았으므로, 데넷주의적 관점은 실제로 완전한 심리주의에 연루되어 있고, 심리주의에 대해 제기된 어려움들에 취약한 것으로 보인다.

그러나 이런 어려움들을 조사하는 대신, 심리주의의 어려움들이 어떻게든 극복될 수 있다고 하더라도, 그것이 데넷주의적 관점과 관련하여 일관성이 있을 수 없다는 추가적인 이유들이 있다고 지적하는 것이 이 글에서는 더 적절할 것이다. 데넷주의적 관점에 독특한 것은 정신적 내용들에 대한 제거주의와 실재론 사이의 중간 입장을 유지하려고 시도한다는 것이기 때문이다. 데넷은 민간심리학의 힘을 인정하고 의미나 믿음의 귀속이 정당화된다고 주장함으로써 제거주의와 거리를 두는 한편, 한 사람이 참으로 의미하거나 믿는 것이 무엇인지에 관한 실재적 답이 없다고 주장함으로써 실재론과도 거리를 둔다. 따라서 그는 “한 개인에 대한 두 [불일치하는] 믿음 귀속 체계가 있을 수 있다… 그러나 하나가 그 개인의 실제 믿음들에 대한 기술이고 다른 하나는 그렇지 않다는 것을 확립할 수 있는 더 깊은 사실은 없다”(데넷 1991)와 같은 주장들을 하게 된다.

프레게(1884)는 불일치라는 개념이 공통된 논리적 틀에 대해서만 의미를 갖는다는 점을 유명하게 제기한다. 프레게의 지적이 어떻게 관련되는지 설명하기 위해, 존스와 브라운이 앨리스에게 논리에 관한 두 가지 다른 믿음 체계를 귀속시키는 시나리오를 고려해보자. 존스는 “‘p’와 ‘p → q’로부터 ‘q’를 연역해야 한다”와 같은 표준적인 믿음들을 귀속시키는 반면, 브라운은 앨리스의 행동을 똑같이 잘 설명하는 비표준적 믿음들을 귀속시킨다. 프레게는 다음과 같이 물을 것이다: 브라운과 존스가 귀속시키는 체계들이 진정으로 다르다는 것이 어떻게 입증될 수 있는가? 어쩌면 브라운과 존스가 “$L_A$에서-참”을 다음과 같이 적어 보일지 모른다.

• 존스 주장: “$T_A(\ulcorner \phi \;\dot{\to}\; \psi \urcorner)$ iff $T_A(\ulcorner \phi \urcorner)$가 $T_A(\ulcorner \psi \urcorner)$를 함의한다”
• 브라운 주장: “$T_A(\ulcorner \phi \;\dot{\to}\; \psi \urcorner)$ iff $T_A(\ulcorner \phi \urcorner)$가 $T_A(\ulcorner \psi \urcorner)$를 함의하고, 눈이 희다”

그러나 이것은 그들의 귀속이 다르다는 것을 결정적으로 보여주지 못한다. 존스가 “함의”로 팜의를 의미하여, 두 귀속을 동치로 만들 수 있기 때문이다. 즉, 존스의 언어 $L_J$에서 “$L_J$에서-참”를 $T_J$라고 쓰면, 다음과 같을 수 있다:

• $T_J(\ulcorner \phi \;\dot{\to}\; \psi \urcorner)$ iff $T_J(\ulcorner \phi \urcorner)$가 $T_J(\ulcorner \psi \urcorner)$를 함의하고, 눈이 희다.

이런 무한소급을 피하려면, 공통의 논리적 틀이 확고히 자리잡고 있어야 한다. 브라운과 존스가 둘 다 “함의한다”로 함의를 의미한다는 것이 단순히 주어져야만 우리가 그들이 앨리스에게 논리에 관한 서로 다른 믿음 체계들을 귀속시킨다고 정당하게 말할 수 있다. 그러나 이것은 이 논의를 촉발시킨 회의주의, 즉 원초적 지향성 논제에 대한 회의주의를 반박한다.

결론적으로, 데넷주의적 관점은 논리에 적용될 때 딜레마에 직면한다. 자연-목적론적 설명은 참의 효용에 호소하기 때문에 문제적이다. 그렇다고 단순히 불확정성을 받아들일 수도 없다. 그렇게 하면 우리가 논리적 어휘로 의미하는 것이 확고히 자리잡고 있다고 주어지지 않는 한, 서로 다른 믿음 귀속들이 있다는 것이 불가해하기 때문이다. 어느 경우든 강요되는 결론은 우리의 정신 상태들이 논리적 어휘에 대해 확정적인 의미를 갖는다는 것이다.

4. 결론

다윈의 위험한 아이디어(1994)에서 데넷은 지향성이 “갈고리_skyhook“—즉, 원초적 지향성 논제—에 의존하지 않고 “기중기_crane“—자연적 목적론—에 의해 완전히 설명될 수 있다는 것을 보이려는 자신의 기획을 설명한다. 그러나 나는 이 그림이 크레인들이 애초에 설 수 있게 하는 바로 그 “기반”을 간과한다고 논증했다. 그 기반은 논리다.

독자들은 이것이 논리와 관련하여 우리를 어떤 입장에 위치시키는지 궁금해할 수 있다. 더 강한 이론이 궁극적으로 우리의 가장 기본적인 지향성을 설명해낸다면 어떨까? 그 질문을 추구하는 것은 이 글의 범위를 벗어난다. 나의 목표는 더 겸손했다: 논리에 대한 자연-목적론적 설명들의 문제점들을 보여주는 것이었다. 지금으로서는 단순히 내가 칸트, 프레게, 비트겐슈타인, 퍼트남에서 발견되는 사고의 흐름—즉, 논리는 설명이 필요한 것이 아니라 모든 설명 행위에서 전제되는 것이라는 사고(퍼트남 2000; 코난트 1992도 참조)—에 호의적이라는 입장을 밝히며 글을 마친다.

참고문헌

• Burgess, Alexis G. & Burgess, John P. (2011). Truth. Princeton University Press.
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• Soames, Scott (1984). What is a theory of truth? Journal of Philosophy 81 (8):411-429.

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Can Natural Teleology Ground Logic?

13 Sep 2025

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Abstract

This essay examines Dennett’s skepticism about original intentionality and his attempt to ground meaning in natural selection and natural teleology. I argue, first, that the indeterminacy problem on which Dennett’s skepticism relies does not in itself undermine original intentionality; and second, that the natural-teleological account of logic is question-begging due to its appeal to the utility of truth. I conclude that our use of logic demonstrates a domain in which the doctrine of original intentionality must be presupposed.

1. Introduction

1.1. The Doctrine of Original Intentionality

In his 1981 essay, Dennett observes a major disagreement in discussions surrounding the intentionality of the mind. The disagreement is about the doctrine of original intentionality. Dennett puts it as follows:

The doctrine of original intentionality is the claim that whereas some of our artifacts may have intentionality derived from us, we have original (or intrinsic) intentionality, utterly underived.

Dennett illustrates it with the following example. Consider a vending machine, call it “two-bitser”, that accepts U.S. quarters. Allowing ourselves some metaphorical use of language, say that when a two-bitser accepts a quarter, the machine goes into a state Q which “means” x is a quarter. Interestingly, vending machines cannot tell Panamanian balboas and U.S. quarters apart. When a two-bitser accepts a balboa, then, should we say that the machine goes into state Q (hence a “misrepresentation”), or does it go into a new state B which “means” x is a balboa (hence a “correct representation”)?

A straightforward answer is that it depends on the intention of the designer. If an American mechanic designed the two-bitser with the intention of detecting U.S. quarters and installed it in the U.S., the machine goes into state Q, and a balboa fed to the machine triggers a misrepresentation. Had the designer been Panamanian, the opposite would have been the case. Hence the machine’s intentionality is derived from that of the designer.

This much is uncontroversial, since a two-bitser is just an artifact. The debate concerns whether the same is true of humans. It is held prima facie that when Jones sees a horse and utters “horse”, he is in a state H, meaning x is a horse. One day, Jones is confronted with a schmorse, a creature that resembles a horse yet is taxonomically not a horse. Does this encounter cause Jones to be in state H, or does it cause Jones to be in a new state SH meaning x is a schmorse? Or could it have been that it was not state H, but rather state H*, meaning x is a horse or a schmorse or … that Jones has been in all along?

Here is where Dennett draws the battle line:

However hard it may be to determine exactly which state he is in, he is really in one or the other… Anyone who finds this intuition irresistible believes in original intentionality, and has some distinguished company: Fodor, Searle, Dretske, Burge, and Kripke… Anyone who finds this intuition dubious if not downright dismissible can join me, the Churchlands, Davidson, Haugeland, Millikan, Rorty, Stalnaker, and our distinguished predecessors, Quine and Sellars, in the other corner.

1.2. Dennett’s Mother Nature

Dennett claims that no fact about the individual can solve the indeterminacy problem regarding their mental states. What is needed to resolve the indeterminacy is to recognize that our intentionality is just as derived as that of a two-bitser, except that the designer is not human, but “Mother Nature”. To illustrate, it is well-known that frogs “mistakenly” snap at lead pellets for flies. But why is it a “mistake”? The answer is not in the frog’s neurophysiology, but in the evolutionary history guided by natural selection that led frogs to snap at things. It then becomes evident that the frog’s snapping has been “selected for” its function to obtain nutrients, so a frog snapping at a lead pellet is a mistake. Thus, just like a two-bitser, the intentionality of a frog is derived from its designer; the designer being “Mother Nature”. And if frogs have derived intentionality, the same would be true for more complex organisms too, including ourselves.

Following Fodor 1996, we can more precisely ‘deconstruct’ Dennett’s position as composed of three parts: (1) adaptationism is the true account of natural selection, (2) adaptationism grounds natural teleology — the way of saying that nature “selects” an organ “for” a purpose —, and (3) natural teleology grounds intentionality. In this essay I will begin by simply accepting (1) and (2). So for example, I accept that although it is presumably a nomological necessity that hearts which pump blood are coextensional with hearts which make noise, it is true that hearts have been “selected for” their blood-pumping capability and not for their noise-making capability. The concern of this essay is whether natural teleology is sufficient to ground intentionality.

2. Recasting the Problem

2.1. Is the Indeterminacy Problem “Fair”?

Since Dennett cites the indeterminacy problem as a major reason to doubt original intentionality, it will aid our discussion to elucidate the exact structure of the problem as follows.

1. Intentional realists (proponents of original intentionality) hold that:
   1. there is a class of mental states called representational mental states
   2. a representational mental state has a content that represents the world as being a certain way.
   3. if an agent is in a representational mental state, there is a fact about what the content of their state is.
2. From (1.2) it follows that:
   1. given a representational mental state, there is a principled criterion as to whether it represents a world correctly.
3. From (1.3) and (2.1) it follows that intentional realists hold that:
   1. if an agent is in a representational mental state, there is a fact about what the principled criterion for their state representing a world correctly is.
4. Hence, if there is a counterexample to (3.1), intentional realism is false.

Dennett cites various counterexamples to (3.1), including the aforementioned horse-schmorse case, but also Putnam’s H₂O-XYZ case, and his own glug case (Dennett 1981). However, I argue that the indeterminacy problem as stated above is misformulated, since counterexamples to (3a) will always exist even if intentional realism were true. Granting (1.1), (1.2), and (1.3), say that when Jones utters “chair”, he is in a representational mental state whose content is x is a chair. Consider a Sorites sequence $(s_1, \dots, s_n)$ where $s_1$ is a chair and $s_n$ is a pile of sawdust. (3.1) demands there be a principled criterion as to whether Jones correctly represents $s_i$ for $1 ≤ i ≤ n$ when he utters “chair”. But there isn’t an answer to be found, hence (3.1) is falsified.

Yet this cannot be a valid argument against intentional realism. At most, it reveals the vagueness of content associated with “chair”. The culprit is neither (1.1), (1.2), nor (1.3) ¹, but in deducing (2.1) from (1.2). A content can represent the world as being a certain way without a predetermined criterion as to which worlds are correct. The conclusion to be drawn is not that the meaning is indeterminate, but that a determinate meaning could have a vague extension.²

That said, the extent to which this point applies to Dennett’s examples is not straightforward. Can the vagueness concerning one’s uttering of “chair” to half-broken chairs be identified with that of “horse” to schmorses? Irrealists about biological species may be inclined to view so, while essentialists will argue that it is a desperate move to put the two on the same line.³ We could decide to go on and try to settle this issue, but this would be to laden the discussion with undesirable metaphysical baggage.

My suggestion therefore is that we set aside the question of whether Dennett’s examples of indeterminacy genuinely threaten intentional realism. I find that a better way to proceed is to dispense with using physical objects — “natural kind” candidates — to pose the indeterminacy problem, and instead to restrict the problem to languages whose meaning, if they exist, cannot possibly be vague. This leads us to shift the focus to logic.

2.2. Indeterminacy in Logic and Mathematics

A famous skeptical paradox from Kripke 1982 asks whether there is a fact as to whether a speaker, who has never added numbers higher than 50, meant addition, or quaddition (defined below), with ‘+’.

\[x \oplus y = \begin{cases}x + y & (x, y < 50) \\5 & \text{(otherwise)}\end{cases}\]

For reasons to come, I will operate with a slight variation of Kripke’s case, applied to logic instead of arithmetic. Consider the material implication symbol ‘→’. ⁴ Let quimplication be the operation that coincides with implication if it appears in a sentence with less than 50 tokens, and evaluates to false otherwise. For example, $p \to p$ is true, but $(p_1 \land p_2 \land \dots \land p_{50}) \to p_1$ is false.

Suppose that Alice has, in her whole lifetime, dealt with sentences of more than 50 tokens only once (for a more dramatic scenario we may consider her dead, so that no further data about her use of language is obtainable). Let us further assume that the said sentence, say φ, was true, but Alice had evaluated it to be false. It turns out that the sentence would have indeed been false, had ‘→’ been taken to stand for quimplication. We are now faced with an indeterminacy akin to the horse-schmorse case. Did Alice mean implication with ‘→’ but had made a mistake, or did Alice mean quimplication with ‘→’?

I claim that the case for ‘→’ is better suited for discussing intentionality, for now the indeterminacy cannot be imputed to the vagueness of content.⁵ So let us recast the indeterminacy problem of intentionality as follows. When we use logical vocabulary such as “implies”, are we in mental states with determinate meanings? I will now outline how a Dennettian might respond to this question, and then argue that the responses are question-begging. Hence the doctrine of original intentionality must hold true at least for our use of logic.

3. The Case for Logic

3.1. The Dennettian View of Logic

Presumably, a Dennettian would hold the statement “Alice means implication with ‘→’” and “Alice means quimplication with ‘→’” to be both justified. Indeed they both satisfy the criteria for “real patterns” laid out in Dennett 1991. Both describe Alice’s use of ‘→’ as a pattern in her behavior, consisting of statements such as “when Alice approves ‘A’ and ‘A → B’, she is disposed to approve ‘B’”; the difference is that the latter requires the number of tokens in ‘A → B’ to be less than 50. This difference notwithstanding, the two patterns are both real, in the sense that had Jones used the first pattern and Brown the second to predict Alice’s future uses of ‘→’ and bet accordingly, “they will both get rich”.

But a more ambitious Dennettian may not succumb to the indeterminacy so easily. Instead, she could attempt to justify the implication interpretation over quimplication through natural teleology. Previously we have seen how natural teleology paves the way to say that a frog snapping at a lead pellet is a mistake, because the frog’s ability to snap at things had been “selected for” its function to obtain nutrients. A Dennettian could argue likewise for logic: our ability to reason with logic had been “selected for” its function to deduce true sentences from true premises, because knowing more truths than falsities is evolutionarily beneficial. It then follows that since deductions with ‘→’ as quimplication are vastly inconsistent, Alice meant implication with ‘→’, and her deducing φ to be true was a mistake.

3.2. Logic, Truth, and Utility

However, I argue that this line of response has issues, due to its appeal to the notion of truth. It is a well-received moral from the works of Tarski that the notion of truth is relative to language. Hence, when a Dennettian claims that Alice’s knowing true sentences is beneficial to Alice, the “true” here really means “true-in-$L_A$”, where $L_A$ stands for Alice’s language. Importantly, Soames (1984) points out that the scope of language encompasses the logical vocabulary. Hence, the clauses for Tarskian truth definition, such as

(1) $T_A(\ulcorner \phi \;\dot{\to}\; \psi \urcorner)$ if and only if $T_A(\ulcorner \phi \urcorner)$ implies $T_A(\ulcorner \psi \urcorner)$ ⁶

where $T_A$ stands for “truth-in-$L_A$” presumes that ‘→’ means implication in Alice’s language. Without this premise, the definition of truth cannot even get off the ground. Soames uses this point to argue against a physicalist reduction of truth envisioned by Field 1972, but we can also use his point to deliver an attack against the natural-teleological explanation for logic. The natural-teleological explanation appeals to the utility of truth, specifically “truth-in-$L_A$”, to decide what the (derived) meanings of the logical vocabulary as used by Alice are. However, the very definition of “truth-in-$L_A$” is dependent on the said meaning, thus begging the question.

Yet Dennettians need to appeal to some notion of truth, for it is the utility of truth, if anything, that endows a certain class of sentences and deductions to be more “evolutionarily beneficial” than others.⁷ That said, one possible move for Dennettians is to simply define “truth-in-$L_A$” as the class of sentences that, were Alice to believe them, would be useful to her. This would be to adopt the pragmatist theory of truth, and the claim that truth is evolutionarily beneficial would follow tout court. However, not only would it then be utterly unclear as to why implication is more truth-preserving (i.e. utility-preserving) than quimplication, it is even unclear if implication really is more truth-preserving than quimplication — not to mention the more serious problems of the pragmatist theory that made it fall out of fashion.

Can Dennettians choose to simply bypass giving a substantial account of truth by adopting a deflationist view? Again, the verdict lies on whether deflationism can explain the utility of truth. Burgess & Burgess (2011) gives a sketch of such an explanation. Call a belief directly action-guiding if having that belief leads the agent to do a certain action unless the agent is weak-willed, e.g.

(2) Going to the gym now will lead to the outcome most preferred.

Say a belief is useful if it is useful in obtaining the agent’s most preferred outcome. It follows tautologically that (2) is a useful belief, if, going to the gym now will lead to the outcome most preferred, which in the deflationist view of truth is equivalent to saying that (2) is true. So deflationists can explain the utility of truth, at least for directly action-guiding beliefs.

Burgess then extends this approach to the general case. The picture is that “since directly action-­guiding beliefs will generally be inferred as conclusions in some manner from other beliefs taken as premises, it will be indirectly useful if the other beliefs involved are true and the manner of inferring conclusions from premises involved is truth-­preserving”. The picture may be more fully articulated as follows. Since

(3) If I don’t have any urgent deadlines today, then going to the gym now will lead to the outcome most preferred.

(4) I don’t have any urgent deadlines today.

together deduce (2), it follows that:

• (3) and (4) are indirectly useful beliefs, if (2) is a useful belief.
• (2) is a useful belief, if going to the gym now will lead to the outcome most preferred.
• Going to the gym now will lead to the outcome most preferred, if it is the case that (a) if I don’t have any urgent deadlines today, then going to the gym now will lead to the outcome most preferred, and (b) I don’t have any urgent deadlines today.
• (a) is equivalent to saying (3) is true and (b) is equivalent to saying (4) is true.
• Hence, (3) and (4) are indirectly useful beliefs if (3) and (4) are true.

Although this picture may be satisfactory for deflationism per se, it poses problems for Dennettians, because this picture once again tacitly depends on the Tarskian approach to truth. Namely, in claiming that the truth — specifically, “truth-in-$L_A$” — of (3), as uttered by Alice, is equivalent to (a), it is presumed that Alice means if with ‘if’, and not some bizarre quimplication-like operation.

In conclusion, any natural-teleological story that appeals to the utility of truth to decide what an agent means with their logical vocabulary presupposes, via its Tarskian underpinnings, prior facts about the said meanings, begging the question. Hence, even if Dennettians could explain some notion of intentionality and correctness by appealing to natural teleology, logic cannot be one of them.

3.3. Is the Indeterminacy of Logic Tolerable?

The remaining choice for Dennettians is to embrace the indeterminacy in interpreting Alice’s logical vocabulary in its fullest sense. Since this would equally apply to everyone else, it follows that logic as a whole is neither absolute nor normative, but rather is just one set of descriptions about patterns in thinking to which humans in general tend to conform.

However, a well-developed line of thought, prominently featured in 19-20th century German-speaking world, asserts that such a view of logic is non sequitur. The line was developed as a reaction against then-fashionable psychologism, which holds that since psychology is the empirical science that explains why people think so-and-so, and logic is about regularities in thoughts, it follows that logic is subsumed under psychology.

Although it is tempting to identify Dennett’s view with psychologism, with “psychology” construed to include neurophysiology and behaviorism, this accusation in itself would have been unjust, for Dennett is also equipped with the natural teleology story that could have secured some sense of normativity or correctness. However, now that we have seen that this story is ineffective for logic, it seems that the Dennettian view really is implicated to a full-fledged psychologism, and is prone to the difficulties raised against it.

But instead of investigating these difficulties, which others have done and continue to do so to great extent (see Kusch 2024), it would be more appropriate in this essay to point out that even if the difficulties of psychologism could somehow be overcome, there are further reasons to doubt that it could be consistent vis-à-vis the Dennettian view. For, what is unique to the Dennettian view is that it tries to stay as an intermediate position between eliminativism and realism about mental contents. Dennett distances from eliminativism by appreciating the power of folk-psychology and holding that attributions of meanings or beliefs are justified, while also distancing from realism by claiming that there is no real answer as to what one truly means or believes. Thus he is led to claims such as “there could be two [disagreeing] systems of belief attribution to an individual… and yet where no deeper fact of the matter could establish that one was a description of the individual’s real beliefs and the other not.” (Dennett 1991)

Frege 1884 famously raises the point that the notion of disagreement only makes sense against a common framework of logic. To illustrate how Frege’s point is relevant, consider a scenario where Jones and Brown attribute to Alice two different systems of belief about logic. Jones attributes the standard beliefs such as “From ‘p’ and ‘p → q’ one ought to deduce ‘q’”, while Brown attributes bizarre beliefs that nonetheless explain Alice’s behavior equally well. Frege would ask: how can it be substantiated that the systems attributed by Brown and Jones are truly different? Perhaps Brown and Jones write out what they take “truth-in-$L_A$” to be as follows.

• Jones claims: “$T_A(\ulcorner \phi \;\dot{\to}\; \psi \urcorner)$ if and only if $T_A(\ulcorner \phi \urcorner)$ implies $T_A(\ulcorner \psi \urcorner)$”
• Brown claims: “$T_A(\ulcorner \phi \;\dot{\to}\; \psi \urcorner)$ if and only if $T_A(\ulcorner \phi \urcorner)$ implies $T_A(\ulcorner \psi \urcorner)$, and snow is white.”

However, this falls short of showing conclusively that their attributions are different, since it could be that Jones happens to mean skimplication with “implies”, rendering the two attributions equivalent. That is, writing $T_J$ for “truth-in-$L_J$” where $L_J$ stands for Jones’ language, it could turn out that:

• $T_J(\ulcorner \phi \;\dot{\to}\; \psi \urcorner)$ if and only if $T_J(\ulcorner \phi \urcorner)$ implies $T_J(\ulcorner \psi \urcorner)$, and snow is white.

To escape from such regress, a shared framework of logic must be firmly in place. Only when it is given simpliciter that Brown and Jones both mean implication with “implies” can we legitimately say that they attribute to Alice different systems of belief about logic. But then the simpliciter phrase refutes the very skepticism that sparked this discussion, namely, skepticism about the doctrine of original intentionality.

In conclusion, the Dennettian view, when subjected to logic, faces a dilemma. It cannot furnish a natural-teleological explanation, for the explanation appeals to the utility of truth. Yet it cannot simply embrace the indeterminacy, for that would make it unintelligible that there be differing attributions of beliefs, unless it is given simpliciter that what we mean with our logical vocabulary is firmly in place. In either case the conclusion forced upon is that our mental states do have definite meaning for the logical vocabulary.

4. Conclusion

In Darwin’s Dangerous Idea (1994), Dennett elaborates his project to show that intentionality can be explained entirely by “cranes” — the mindless process of natural selection — without reliance on “skyhooks,” namely, the doctrine of original intentionality. I have argued, however, that this picture overlooks the very “bedrock” that enables cranes to stand in the first place, the bedrock being logic.

I anticipate that the readers may wonder where this leaves us with respect to logic. One might wonder whether a stronger theory could ultimately explain away our most basic intentionality. Pursuing that question lies beyond the scope of this essay. My aim has been more modest: to illustrate problems in natural-teleological explanations for logic. I therefore close by aligning myself with a line of thought found in Kant, Frege, Wittgenstein, and Putnam — namely, that logic is not something that requires explanation, but is presupposed in every act of explanation (Putnam 2000; see also Conant 1992).

References

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• Putnam, Hilary. (2000). Rethinking mathematical necessity. In A. Crary & R. Read (eds.), The New Wittgenstein, Routledge, pp. 233–249.
• Soames, Scott (1984). What is a theory of truth? Journal of Philosophy 81 (8):411-429.

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모델 완전성에 대한 로빈슨 판별법

11 Sep 2025

이 글에서 $T$는 언어 $\mathcal{L}$의 이론이다. 또한 $x_1, \dots, x_n$을 $\vec{x}$로 쓴다.

정의. 이론 $T$가 모델 완전_{model complete}하다는 것은 임의의 $T$의 모델 $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$에 대해

\[\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B} \implies \mathfrak{A} \preceq \mathfrak{B}\]

라는 것이다.

예시

1. 체_field 이론은 모델 완전하지 않다. 실수체 $\mathbb{R}$과 유리수체 $\mathbb{Q}$에 대해 $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$이지만 $\exists x (x \cdot x = 2)$의 진릿값이 두 모델에서 다르므로 $\mathbb{Q} \not\preceq \mathbb{R}$이기 때문이다.

2. 비꼬임 가분 아벨군_{torsion-free divisible abelian group} 이론은 모델 완전하다.

3. 양화사 제거 가능한 이론은 모델 완전하다.

2를 비롯하여, 모델 완전성을 판별하는 데 유용한 정리 중 하나는 다음이다.

로빈슨 판별법_{Robinson’s Test}. 다음은 동치이다.

1. $T$가 모델 완전하다.
2. 임의의 $T$의 모델 $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$에 대해, $\mathfrak{B}$가 만족하는 $\Sigma_1(\mathcal{L}_\mathfrak{A})$-문장은 $\mathfrak{A}$에서도 만족된다.
3. 임의의 $\mathcal{L}$-명제 $\phi(\vec{x})$에 대해, $T \vdash \forall \vec{x} (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \psi(\vec{x}))$를 만족하는 $\Pi_1(\mathcal{L})$-명제 $\psi(\vec{x})$가 존재한다.

증명

(1) → (2)

$T$가 모델 완전하므로 $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$라면 $\mathfrak{A} \preceq \mathfrak{B}$이다. 따라서 $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$는 $\mathcal{L}_\mathfrak{A}$-문장들에 대해 동치이다. □

(2) → (3)

$\phi(\vec{x})$가 $\Sigma_1(\mathcal{L})$-명제라고 하자. $\mathcal{L}$에 상수 $\vec{c}$를 추가한 언어를 $\mathcal{L}’$이라고 하자. $T$를 $\mathcal{L}’$-이론으로 생각하고, $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$를 $\mathcal{L}’$-구조들의 임베딩으로 생각할 수 있다.

이제 $\mathcal{L}’$-이론 $T’ = T \cup { \phi(\vec{c}) }$를 생각하자. $\mathfrak{B}$가 $T’$의 모델이라고 하자. $\mathfrak{A}$ 또한 $T’$의 모델임을 보인다. $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$가 $\mathcal{L}’$-구조들의 임베딩이므로 다음이 성립함을 관찰하라.

\[\mathfrak{B} \vDash \phi(\vec{c}) \iff \exists \vec{a} \in \mathcal{L}_\mathfrak{A} \text{ where } \mathfrak{B} \vDash \phi(\vec{a})\]

$\phi(\vec{a})$는 $\Sigma_1(\mathcal{L}_\mathfrak{A})$-문장이므로 가정에 의해 $\mathfrak{A}$에서도 성립한다. 따라서 $\mathfrak{A}$는 $T’$의 모델이다.

이제 워시-타르스키 정리의 다음 일반화를 사용한다 (증명은 연습문제).

정리. $\mathcal{L}’$-이론 $T \subseteq T’$에 대해 다음이 성립한다고 하자.

• 임의의 $T$의 모델 $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$에 대해 $\mathfrak{B}$가 $T’$의 모델이라면 $\mathfrak{A}$도 $T’$의 모델이다.

이때, 어떤 $\Pi_1(\mathcal{L}’)$-문장들의 모임 $P$가 존재하여 $T’$은 $T \cup P$와 동치이다.

위 정리에 의해 $T’$은 어떤 $\Pi_1(\mathcal{L}’)$-문장들의 모임 $P$에 대해 $T \cup P$와 동치이다. 즉,

\[T \cup P \vdash \phi(\vec{c})\]

증명의 유한성에 의해 $T \cup P$에서 $\phi$를 증명하는 데 필요한 $P$의 명제는 유한하다. 그 명제들의 논리곱을 $\pi(\vec{c})$라고 하면,

\[T \vdash \forall x (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \pi(\vec{x}))\]

이고 $\pi(\vec{x})$는 $\Pi_1(\mathcal{L})$-명제이므로, $\phi \in \Sigma_1$일 때 증명이 완료되었다.

이제 $\phi$에 대한 구조적 귀납법으로 증명하자. $\exists \leftrightarrow \lnot\forall\lnot$이므로, $\lor, \lnot, \forall$에 대해서만 고려하면 된다. $\lor, \forall$의 경우는 자명하므로 $\lnot$의 경우를 살핀다.

어떤 $\Pi_1(\mathcal{L})$-명제 $\psi$에 대해 $T \vdash \forall \vec{x} (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \psi(\vec{x}))$라고 하자. 그러면 $\lnot \phi$는 $\lnot \psi$와 동치이며, 이는 $\Sigma_1(\mathcal{L})$-명제이다. 그리고 이는 앞선 논증에 의해 $\Pi_1$ 문장과 동치이다. □

(3) → (1)

$T$의 모델 $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$에 대해, 만약 $\mathfrak{A} \not\preceq \mathfrak{B}$라면 콤팩트성 정리에 의해 어떤 $\mathcal{L}_\mathfrak{A}$의 문장 $\phi(\vec{a})$가 존재하여 $\mathfrak{A} \not\vDash \phi(\vec{a})$이지만 $\mathfrak{B} \vDash \phi(\vec{a})$이다.

가정에 의해 $T \vdash \forall \vec{x} (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \psi(\vec{x}))$를 만족하는 $\Pi_1$ 명제 $\psi$가 존재한다. 따라서 $\mathfrak{B} \vDash \psi(\vec{a})$이다. 그런데 이는 $\Pi_1$ 문장이고, $\Pi_1$ 문장은 부분모델에 대해 보존되므로 $\mathfrak{A} \vDash \psi(\vec{a})$가 되어 모순이다. ■

Robinson's Test for Model Completeness

11 Sep 2025

This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.

In this article, $T$ is a theory in language $\mathcal{L}$. We also write $x_1, \dots, x_n$ as $\vec{x}$.

Definition. A theory $T$ is model complete if for any models $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ of $T$,

\[\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B} \implies \mathfrak{A} \preceq \mathfrak{B}\]

Examples

1. The theory of fields is not model complete. For the real field $\mathbb{R}$ and the rational field $\mathbb{Q}$, we have $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$ but $\mathbb{Q} \not\preceq \mathbb{R}$ since the truth value of $\exists x (x \cdot x = 2)$ differs in the two models.

2. The theory of torsion-free divisible abelian groups is model complete.

3. Theories admitting quantifier elimination are model complete.

One useful theorem for determining model completeness, including case 2 above, is the following.

Robinson’s Test. The following are equivalent:

1. $T$ is model complete.
2. For any models $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$ of $T$, any $\Sigma_1(\mathcal{L}_\mathfrak{A})$-sentence satisfied by $\mathfrak{B}$ is also satisfied by $\mathfrak{A}$.
3. For any $\mathcal{L}$-formula $\phi(\vec{x})$, there exists a $\Pi_1(\mathcal{L})$-formula $\psi(\vec{x})$ such that $T \vdash \forall \vec{x} (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \psi(\vec{x}))$.

Proof

(1) → (2)

Since $T$ is model complete, if $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$ then $\mathfrak{A} \preceq \mathfrak{B}$. Therefore, $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$ are equivalent with respect to $\mathcal{L}_\mathfrak{A}$-sentences. □

(2) → (3)

Suppose $\phi(\vec{x})$ is a $\Sigma_1(\mathcal{L})$-formula. Let $\mathcal{L}’$ be the language obtained by adding constants $\vec{c}$ to $\mathcal{L}$. We can view $T$ as an $\mathcal{L}’$-theory and consider $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$ as an embedding of $\mathcal{L}’$-structures.

Now consider the $\mathcal{L}’$-theory $T’ = T \cup { \phi(\vec{c}) }$. Suppose $\mathfrak{B}$ is a model of $T’$. We show that $\mathfrak{A}$ is also a model of $T’$. Since $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$ is an embedding of $\mathcal{L}’$-structures, observe that:

\[\mathfrak{B} \vDash \phi(\vec{c}) \iff \exists \vec{a} \in \mathcal{L}_\mathfrak{A} \text{ where } \mathfrak{B} \vDash \phi(\vec{a})\]

Since $\phi(\vec{a})$ is a $\Sigma_1(\mathcal{L}_\mathfrak{A})$-sentence, by assumption it also holds in $\mathfrak{A}$. Therefore, $\mathfrak{A}$ is a model of $T’$.

We now use the following generalisation of the Łoś-Tarski theorem (proof left as an exercise).

Theorem. Let $T \subseteq T’$ be $\mathcal{L}’$-theories such that:

• For any models $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$ of $T$, if $\mathfrak{B}$ is a model of $T’$ then $\mathfrak{A}$ is also a model of $T’$.

Then there exists a collection $P$ of $\Pi_1(\mathcal{L}’)$-sentences such that $T’$ is equivalent to $T \cup P$.

By the theorem above, $T’$ is equivalent to $T \cup P$ for some collection $P$ of $\Pi_1(\mathcal{L}’)$-sentences. That is,

\[T \cup P \vdash \phi(\vec{c})\]

By the finiteness of proofs, only finitely many sentences from $P$ are needed to prove $\phi$ from $T \cup P$. Let $\pi(\vec{c})$ be the conjunction of these sentences. Then

\[T \vdash \forall x (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \pi(\vec{x}))\]

and $\pi(\vec{x})$ is a $\Pi_1(\mathcal{L})$-formula, completing the proof for the case when $\phi \in \Sigma_1$.

We now prove by structural induction on $\phi$. Since $\exists \leftrightarrow \lnot\forall\lnot$, we need only consider $\lor, \lnot, \forall$. The cases for $\lor$ and $\forall$ are trivial, so we examine the case for $\lnot$.

Suppose for some $\Pi_1(\mathcal{L})$-formula $\psi$ we have $T \vdash \forall \vec{x} (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \psi(\vec{x}))$. Then $\lnot \phi$ is equivalent to $\lnot \psi$, which is a $\Sigma_1(\mathcal{L})$-formula. By the preceding argument, this is equivalent to a $\Pi_1$ sentence. □

(3) → (1)

For models $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{B}$ of $T$, if $\mathfrak{A} \not\preceq \mathfrak{B}$ then by the compactness theorem there exists some $\mathcal{L}_\mathfrak{A}$-sentence $\phi(\vec{a})$ such that $\mathfrak{A} \not\vDash \phi(\vec{a})$ but $\mathfrak{B} \vDash \phi(\vec{a})$.

By assumption, there exists a $\Pi_1$ formula $\psi$ such that $T \vdash \forall \vec{x} (\phi(\vec{x}) \leftrightarrow \psi(\vec{x}))$. Therefore $\mathfrak{B} \vDash \psi(\vec{a})$. However, this is a $\Pi_1$ sentence, and $\Pi_1$ sentences are preserved under submodels, so $\mathfrak{A} \vDash \psi(\vec{a})$, which gives a contradiction. ■

초필터를 이용한 티호노프 정리의 증명

11 Aug 2025

티호노프 정리. 콤팩트 공간들의 곱공간은 콤팩트 공간이다.

굉장히 단순하고 강력한 정리이지만, Munkres 등의 학부 위상 책을 보면 증명이 상당히 복잡하다. 아예 증명을 생략하는 책도 많은 듯하다. 하지만 초필터를 이용하면 매우 간단하게 이를 증명해 보일 수 있다.

1. 선행 개념

여기서 소개된 개념의 자세한 설명과 증명은 Stephen Willard, General Topology 4장을 참고하라.

필터와 초필터

이전 글에서 불 대수 구조의 필터를 소개했다. 위상공간에서 $\cup$과 $\cap$을 각각 논리합과 논리곱에 대응하면 불 대수 구조가 되므로, 위상공간에서 필터를 정의할 수 있다.

정의. 위상공간 $X$에 대해, $X$ 위의 필터 $\mathcal{F}$는 다음 조건을 만족하는 $X$의 부분집합들의 모임이다.

1. $X \in \mathcal{F}, \varnothing \notin \mathcal{F}$
2. $A, B \in \mathcal{F} \implies A \cap B \in \mathcal{F}$
3. $A \in \mathcal{F}, A \subseteq B \implies B \in \mathcal{F}$

추가로 다음을 만족하면 초필터이다.

4. $A \notin \mathcal{F} \implies X \setminus A \in \mathcal{F}$

근방 필터

위상수학에서 중요한 필터 중 하나는 근방 필터이다. 먼저 근방을 다음과 같이 정의한다.

정의. 위상공간 $X$에 대해 $N \subseteq X$가 $x \in X$의 근방_{neighbourhood}이라는 것은, 어떤 열린집합 $U$가 존재하여 $x \in U \subseteq N$라는 것이다.

근방은 열린집합일 필요가 없다는 점에 주목하라. 근방이 열린집합일 경우 열린 근방이라고 한다. 이는 근방과 열린 근방을 동의어로 사용하는 일부 교재의 관행과 대조적이므로 주의를 요한다.

표기. $x$의 근방들의 모임을 $\mathcal{N}(x)$ 또는 $\mathcal{N}_x$라고 표기한다.

$\mathcal{N}(x)$는 필터임을 쉽게 확인할 수 있다. 이에 따라 $\mathcal{N}(x)$를 근방 필터라고 부른다.

필터의 생성

정의. 위상공간 $X$의 부분집합들의 모임 $\mathcal{C}$가 다음을 만족할 때, $\mathcal{C}$를 예비 필터_prefilter 또는 필터 기저_{filter base}라고 부른다.

1. $\varnothing \notin \mathcal{C}$
2. $A, B \in \mathcal{C} \implies \exists C \in \mathcal{C} : C \subseteq A \cap B$

즉, 필터가 교집합에 대해 닫혀 있는 한편 예비 필터는 교집합에 대해 “약하게” 닫혀 있다. $\mathcal{C}$가 예비 필터일 때, $\mathcal{C}$로부터 다음과 같이 필터 $\mathcal{F}$를 생성_generate할 수 있다.

\[\mathcal{F} = \{ F \subseteq X : C \subseteq F \text{ for some } C \in \mathcal{C} \}\]

또한 사상 $f: X \to Y$와 $X$ 위의 필터 $\mathcal{F}$가 주어졌을 때, 다음 집합족은 예비 필터이다.

\[\mathcal{C} = \{ f(F) : F \in \mathcal{F} \}\]

표기. $\mathcal{C}$가 생성하는 필터를 $f(\mathcal{F})$와 같이 표기한다.

$f$가 전사_onto일 경우 $\mathcal{C} = f(\mathcal{F})$라서 다루기 편하다. 또한 $f$가 전사일 때 다음이 (자명하게) 성립한다.

정리. $f: X \to Y$가 전사이고 $\mathcal{F}$가 $X$ 위의 초필터일 때, $f(\mathcal{F})$는 $Y$의 초필터이다.

초필터로의 확장

모든 필터는 초필터로 확장될 수 있다. 증명은 이전 글을 참고하라 (선택 공리를 사용한다).

정리. $\mathcal{F}$가 $X$ 위의 필터일 때, $X$ 위의 초필터 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U} \supseteq \mathcal{F}$이다.

필터의 수렴

정의. 필터 $\mathcal{F}$가 $\mathcal{N}(x)$를 포함할 때 $\mathcal{F}$는 $x$로 수렴한다고 하며, $\mathcal{F} \to x$와 같이 적는다.

예를 들어 예비 필터 $\lbrace (0, \epsilon) : \epsilon > 0 \rbrace $로 생성되는 필터는 $0$으로 수렴한다 (이 예시는 $\mathcal{F} \to x$라고 해서 $\mathcal{F}$의 모든 원소가 $x$를 원소로 가질 필요는 없음을 보여준다).

필터 수렴의 주요 성질은 다음과 같다.

정리.

1. $E \subseteq X$에 대해 $x \in \overline{E}$일 필요충분조건은 어떤 필터 $\mathcal{F}$가 존재하여 $E \in \mathcal{F}$이고, $\mathcal{F} \to x$인 것이다.
2. $f: X \to Y$가 연속일 필요충분조건은 임의의 필터 $\mathcal{F}$에 대해 $\mathcal{F} \to x$라면 $f(\mathcal{F}) \to f(x)$인 것이다.

이는 1차 가산 공간에서 점렬로 폐포와 연속함수를 특징지었던 것을 일반화한 것이다.

곱공간에서 필터의 수렴은 각 요소 공간에서의 수렴과 동치이다. 즉, 다음이 성립한다.

정리. 곱공간 $\prod_{i \in I}X_i$ 위의 필터 $\mathcal{F}$가 $x$로 수렴할 필요충분조건은 각각의 $i \in I$에 대해 $\pi_i(\mathcal{F}) \to \pi_i(x)$인 것이다.

2. 티호노프 정리의 증명

이제 티호노프 정리를 증명해 보자. 핵심은 다음의 보조정리이다.

보조정리. $X$가 콤팩트할 필요충분조건은 $X$의 모든 초필터가 수렴하는 것이다.

증명

$(\Rightarrow)$ $\mathcal{F}$가 수렴하지 않는 $X$의 초필터라고 하자. $\mathcal{F}$가 어느 점으로도 수렴하지 않는다는 것은, 임의의 $x \in X$에 대해 어떤 열린집합 $U_x$가 존재하여 $U_x \notin \mathcal{F}$라는 것이다. $\mathcal{F}$가 초필터이므로 $X \setminus U_x \in \mathcal{F}$이다. 이제 $U_x$들의 모임 $\mathcal{C} = \lbrace U_x : x \in X \rbrace $를 생각하자. $\mathcal{C}$는 $X$를 덮으며, $X$가 콤팩트하므로 유한 부분덮개 $\lbrace U_{x_1}, \dots, U_{x_n} \rbrace $을 가진다. 따라서,

\[\begin{align} &X \setminus (U_{x_1} \cup \dots \cup U_{x_n}) \\ &= (X \setminus U_{x_1}) \cap \dots \cap (X \setminus U_{x_n}) \\ &= \varnothing \end{align}\]

그런데 각 $1 \leq i \leq n$에 대해 $X \setminus U_{x_i} \in \mathcal{F}$이므로, 필터의 교집합 닫힘에 의해 $\varnothing \in \mathcal{F}$가 되어 모순이다. □

$(\Leftarrow)$ $X$가 콤팩트하지 않다고 하자. 그러면 어떤 $X$의 열린 덮개 $\mathcal{C}$가 존재하여 $\mathcal{C}$는 유한 부분덮개를 가지지 않는다. 따라서 다음과 같이 $\mathcal{P}$를 정의할 때,

\[\mathcal{P} = \{ X \setminus (U_1 \cup \dots \cup U_n) : U_i \in \mathcal{C} \}\]

$\mathcal{P}$는 유한 교집합에 대해 닫혀 있으며 공집합을 원소로 가지지 않으므로 예비 필터이다. 이에 따라 $\mathcal{P}$는 필터로 확장될 수 있으며, 이 필터는 초필터로 확장될 수 있다. 그러한 초필터를 $\mathcal{F}$라고 하자. 가정에 의해 $\mathcal{F}$는 어떤 점 $x$로 수렴한다. 즉, $\mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F}$이다. 따라서 다음이 성립한다.

\[x \in \bigcap_{F \in \mathcal{F}} \overline{F}\]

그런데 이는 $\bigcap_{P \in \mathcal{P}} \overline{P} = \bigcap_{P \in \mathcal{P}} P = \varnothing$ ($\mathcal{C}$가 $X$의 덮개이므로) 에 모순된다. ■

이제 티호노프 정리는 거의 자명하게 따라 나온다.

정리. 콤팩트 공간들의 곱공간은 콤팩트 공간이다.

증명

각각의 $i \in I$에 대해 $X_i$가 콤팩트 공간이라고 하자. $X$가 콤팩트할 필요충분조건은 임의의 $\prod_{i \in I}$ 위의 초필터 $\mathcal{F}$가 수렴하는 것이고, $\mathcal{F}$가 수렴할 필요충분조건은 $\pi_i(\mathcal{F})$가 $X_i$에서 수렴하는 것이다. 그런데 $\pi_i$는 전사이므로 $\pi_i(\mathcal{F})$는 초필터이고, $X_i$는 콤팩트하므로 $\pi_i(\mathcal{F})$는 수렴한다. 이에 따라 $X$는 콤팩트하다. ■

Proof of Tychonoff's Theorem Using Ultrafilters

11 Aug 2025

Tychonoff’s Theorem. The product of compact spaces is compact.

This is an extremely simple yet powerful theorem, but its proof is rather tedious in undergraduate topology texts such as Munkres. However, there is an elegant proof using ultrafilters.

1. Preliminary Concepts

For detailed explanations and proofs of the concepts introduced here, refer to Chapter 4 of Stephen Willard, General Topology.

Filters and Ultrafilters

In a previous post, we introduced filters in Boolean algebra structures. Since topological spaces form Boolean algebraic structures when $\cup$ and $\cap$ correspond to disjunction and conjunction respectively, we can define filters on topological spaces.

Definition. For a topological space $X$, a filter $\mathcal{F}$ on $X$ is a collection of subsets of $X$ satisfying the following conditions:

1. $X \in \mathcal{F}, \varnothing \notin \mathcal{F}$
2. $A, B \in \mathcal{F} \implies A \cap B \in \mathcal{F}$
3. $A \in \mathcal{F}, A \subseteq B \implies B \in \mathcal{F}$

Additionally, if the following is satisfied, it is an ultrafilter:

4. $A \notin \mathcal{F} \implies X \setminus A \in \mathcal{F}$

Neighbourhood Filters

One important filter in topology is the neighbourhood filter. First, we define neighbourhood as follows:

Definition. For a topological space $X$, we say that $N \subseteq X$ is a neighbourhood of $x \in X$ if there exists some open set $U$ such that $x \in U \subseteq N$.

Note that neighbourhoods need not be open sets. When a neighbourhood is an open set, it is called an open neighbourhood. This contrasts with the convention in some textbooks that use neighbourhood and open neighbourhood synonymously, so care must be taken.

Notation. The collection of neighbourhoods of $x$ is denoted $\mathcal{N}(x)$ or $\mathcal{N}_x$.

One can easily verify that $\mathcal{N}(x)$ is a filter. Accordingly, $\mathcal{N}(x)$ is called the neighbourhood filter.

Generation of Filters

Definition. A collection $\mathcal{C}$ of subsets of a topological space $X$ is called a prefilter or filter base when it satisfies the following:

1. $\varnothing \notin \mathcal{C}$
2. $A, B \in \mathcal{C} \implies \exists C \in \mathcal{C} : C \subseteq A \cap B$

When $\mathcal{C}$ is a prefilter, one can generate a filter $\mathcal{F}$ from $\mathcal{C}$ as follows:

\[\mathcal{F} = \{ F \subseteq X : C \subseteq F \text{ for some } C \in \mathcal{C} \}\]

Moreover, given a mapping $f: X \to Y$ and a filter $\mathcal{F}$ on $X$, the following collection is a prefilter:

\[\mathcal{C} = \{ f(F) : F \in \mathcal{F} \}\]

Notation. The filter generated by $\mathcal{C}$ is denoted $f(\mathcal{F})$.

When $f$ is onto, we have $\mathcal{C} = f(\mathcal{F})$. Also, when $f$ is onto, the following holds (trivially):

Theorem. If $f: X \to Y$ is onto and $\mathcal{F}$ is an ultrafilter on $X$, then $f(\mathcal{F})$ is an ultrafilter on $Y$.

Extension to Ultrafilters

Every filter can be extended to an ultrafilter. For the proof, refer to the previous post (the axiom of choice is used).

Theorem. If $\mathcal{F}$ is a filter on $X$, then there exists an ultrafilter $\mathcal{U}$ on $X$ such that $\mathcal{U} \supseteq \mathcal{F}$.

Convergence of Filters

Definition. When a filter $\mathcal{F}$ contains $\mathcal{N}(x)$, we say that $\mathcal{F}$ converges to $x$, and write $\mathcal{F} \to x$.

For example, the filter generated by the prefilter $\lbrace (0, \epsilon) : \epsilon > 0 \rbrace $ converges to $0$ (this example shows that $\mathcal{F} \to x$ does not require all elements of $\mathcal{F}$ to contain $x$ as an element).

The main properties of filter convergence are as follows:

Theorem.

1. For $E \subseteq X$, $x \in \overline{E}$ if and only if there exists some filter $\mathcal{F}$ such that $E \in \mathcal{F}$ and $\mathcal{F} \to x$.
2. $f: X \to Y$ is continuous if and only if for any filter $\mathcal{F}$, if $\mathcal{F} \to x$ then $f(\mathcal{F}) \to f(x)$.

This generalises the characterisation of closure and continuous functions by sequences in first countable spaces.

Convergence of filters in product spaces is equivalent to convergence in each component space. That is, the following holds:

Theorem. A filter $\mathcal{F}$ on the product space $\prod_{i \in I}X_i$ converges to $x$ if and only if $\pi_i(\mathcal{F}) \to \pi_i(x)$ for each $i \in I$.

2. Proof of Tychonoff’s Theorem

We now prove Tychonoff’s theorem. The key is the following lemma:

Lemma. $X$ is compact if and only if every ultrafilter on $X$ converges.

Proof

$(\Rightarrow)$ Let $\mathcal{F}$ be an ultrafilter on $X$ that does not converge. That $\mathcal{F}$ does not converge to any point means that for any $x \in X$, there exists some open set $U_x$ such that $U_x \notin \mathcal{F}$. Since $\mathcal{F}$ is an ultrafilter, $X \setminus U_x \in \mathcal{F}$. Now consider the collection $\mathcal{C} = \lbrace U_x : x \in X \rbrace $. $\mathcal{C}$ covers $X$, and since $X$ is compact, it has a finite subcover $\lbrace U_{x_1}, \dots, U_{x_n} \rbrace $. Therefore,

\[\begin{align} &X \setminus (U_{x_1} \cup \dots \cup U_{x_n}) \\ &= (X \setminus U_{x_1}) \cap \dots \cap (X \setminus U_{x_n}) \\ &= \varnothing \end{align}\]

But since $X \setminus U_{x_i} \in \mathcal{F}$ for each $1 \leq i \leq n$, by closure of filters under intersection, $\varnothing \in \mathcal{F}$, which is a contradiction. □

$(\Leftarrow)$ Suppose $X$ is not compact. Then there exists some open cover $\mathcal{C}$ of $X$ that has no finite subcover. Therefore, when we define $\mathcal{P}$ as follows:

\[\mathcal{P} = \{ X \setminus (U_1 \cup \dots \cup U_n) : U_i \in \mathcal{C} \}\]

$\mathcal{P}$ is closed under finite intersection and does not contain the empty set, so it is a prefilter. Accordingly, $\mathcal{P}$ can be extended to a filter, and this filter can be extended to an ultrafilter. Let such an ultrafilter be $\mathcal{F}$. By assumption, $\mathcal{F}$ converges to some point $x$. That is, $\mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F}$. Therefore, the following holds:

\[x \in \bigcap_{F \in \mathcal{F}} \overline{F}\]

But this contradicts $\bigcap_{P \in \mathcal{P}} \overline{P} = \bigcap_{P \in \mathcal{P}} P = \varnothing$ (since $\mathcal{C}$ is a cover of $X$). ■

Tychonoff’s theorem now follows almost trivially.

Theorem. The product of compact spaces is compact.

Proof

Let each $X_i$ be a compact space for $i \in I$. $X$ is compact if and only if any ultrafilter $\mathcal{F}$ on $\prod_{i \in I}$ converges, and $\mathcal{F}$ converges if and only if $\pi_i(\mathcal{F})$ converges in $X_i$. Since $\pi_i$ is onto, $\pi_i(\mathcal{F})$ is an ultrafilter, and since $X_i$ is compact, $\pi_i(\mathcal{F})$ converges. Hence, $X$ is compact. ■

돼지고기와 연어: 윤리적 삶은 사치품인가?

08 Aug 2025

돼지고기와 연어

단도직입적으로 밝히자면, 나는 현행의 돼지고기 사육은 굉장히 비윤리적이라는 입장이다. 여기서 굉장히 라는 부사는 이 문제가 낙태 문제나 사형제 문제, 트롤리 딜레마보다 훨씬 자명하다는 입장까지를 표현한다.

돼지는 침팬지와 돌고래에 버금가는 가장 똑똑한 동물 중 하나이다. 돼지는 자아를 인식하고, 청결을 유지하기 위해 공간을 구획하며, 다른 돼지들과 사회적 관계를 형성하려는 습성을 보인다. 특히 감수성이 풍부하여 다른 돼지의 고통을 보았을 때 똑같이 고통스러워할 뿐 아니라, 애완용으로 길러진 돼지는 강아지 못지않게 주인의 애정을 갈구한다. 그에 반해 현행 산업에서 돼지가 사육되는 환경은 참혹하기 그지없다. 식용으로 사육되는 돼지의 90% 이상은 평생을 발 디딜 틈 없이 과포화된, 불결하고 어두침침한 우리에 갇혀 생활한다. 사육장은 스트레스, 고통, 싸움으로 인한 돼지 울음으로 조용할 날이 없다. 대다수의 산업에서 수퇘지는 고기가 더 맛있어진다는 이유로 진통제 없이 거세되며, 암퇘지는 쇠창살로 포박된 채 젖을 빨린다.

전 세계에서 식용으로 사육되는 돼지의 수는 약 10억 마리이므로, 인간중심주의를 받아들여 한 인간의 생명이 1천 마리의 돼지에 준하는 가치를 가진다고 하더라도 이는 100만 명의 사람을 “보다 맛있는 식사”를 위해 고문실에 몰아넣은 상황이니 굉장히 비윤리적이라는 딱지를 붙여야 마땅하다. “돼지고기 소비를 법으로 금지해야 하는가?” 또는 “돼지고기를 먹는 사람은 지탄받아야 마땅한가?” 등의 질문은 사회·정치·문화적 맥락과 깊이 얽혀 있기 때문에 단적인 결론을 내리기 어려울 수 있어도, 돼지 사육의 윤리성만 두고 보았을 때 이를 옹호하는 입장을 고수하기란 극단적인 형태의 도덕 회의주의를 상정하지 않고서야 불가능해 보인다. 그리고 돼지고기 산업 구조가 이처럼 굉장히 비윤리적이라면, 개개인에 의한 그 산업의 소비, 즉 생산된 돼지고기를 먹는 행위는 확실히 비윤리적이라는 결론은 피하기 어렵다.

그렇다고는 해도, 앞서 말한 사회·문화·정치적 맥락으로 인해 나는 이런 입장을 사회생활에서 드러내 보이지 않는다. 회식 메뉴가 돼지고기로 결정되었을 때 나는 마음속으로 윤리적 부담감을 느끼면서도 겉으로는 좋다며 고개를 끄덕인다. 그리고 회식에 가서는 돼지고기를 잘만 먹는다. 나에게는 모임 분위기를 초치고 주변 사람에게서 “채식주의자” 꼬리표가 달리는 사회적 리스크를 감수할 용기가 없는 까닭이다. 참 비겁한 짓이다.

자아비판은 일기장에서 충분히 할 것이니 이쯤에서 일축하고, 이 글의 본론은 다른 것이다. 윤리적 책무를 덜기 위해 나는 대신 혼자서, 또는 돼지고기와 관련하여 나와 같은 윤리적 입장인 사람(∋ 여자친구)과 식사를 할 때는 돼지고기를 피하고자 한다. 동물의 고통 감수성과 해당 동물이 사육되는 환경을 함께 고려하면 돼지고기, 닭고기, 소고기, 생선류 순으로 윤리적 부담이 덜하다고 생각한다. 마침 내가 가장 좋아하는 음식 중 하나가 연어이다. 따라서 돼지고기 대신 연어를, 그리고 고기가 당기는 날에는 소고기를 먹으면 만사 해결이다.

라는 생각의 식습관을 실천해 보았더니, 이것이 만사 해결이 아님을 알게 되었다. 그렇다. 잔고에서 돈이 물 흐르듯이 빠져나간 것이다. 물론 “돼지고기 대신 소고기와 연어를 먹어 보니 돈이 많이 들었다” 자체는 굉장히 자명한 관찰이다. 그러나 주어를 치환하면 조금 덜 자명한 관찰이 얻어진다. 즉, “윤리적 식습관을 시도해 보니 돈이 많이 들었다”는 것이다.

물론 이 또한 변명의 심정에서 나온 관찰임을 부정할 수는 없다. 식비가 바닥이 나더라도 사찰 음식 위주의 식단이라면 저렴하게 윤리적 식습관을 실천할 수 있으니 말이다. 문제는 역시 맛이 없다는 것이다. 적은 돈만으로 윤리적 식습관을 실천할 수는 있어도, 돈을 펑펑 쓸 수 있는 경우와는 비할 수 없을 정도로 더 강력한 의지가 필요하다. 그러니 이런 결론을 잠정적으로 내릴 수 있다. “윤리적 식습관의 실천 난이도는 경제력에 반비례한다.” (공정 무역 식품 또한 이에 해당하는 사례이다)

유튜브와 독서

비단 식습관만 그런 것이 아니다. 가령 취미의 경우를 보자. 설명의 편의를 위해 — 이것을 취미라고 부를 수 있다면 — 악성 유튜브 시청과, 양서 독서라는 다소 과장된 극단을 대조해 보겠다. 여기서 악성 유튜브란 가짜뉴스, 성 상품화, 황색언론 등 윤리적으로 문제적인 내용을 통해 사용자에게 즉각적인 도파민을 주는 유튜브 채널을 말하고, 양서란 인문학적 가치를 잘 전달하고 독자로 하여금 성찰과 사색을 자극하는 책을 말한다 (수험준비서, 주식투자서 등을 배제하기 위한 표현이다).

취미에 윤리적 잣대를 들이미는 것이 부당해 보일 수 있지만, 적어도 이 경우 전자는 비윤리적인 취미이고 후자는 윤리적인 취미라는 주장은 매우 합당한 듯하다. 그리고 여기서 독자는 내가 의도하는 결론이 무엇인지 짐작할 수 있을 것이다. 부유층일수록 악성 유튜브를 보는 것보다 양서 독서를 할 확률이 높고, 빈곤층일수록 도리어 악성 유튜브에 빠질 확률이 더 높다는 것이다.¹

물론 이것은 의도적으로 선택된 예시이다. 모든 “빈곤층 취미”는 비윤리적이고 “부유층 취미”는 윤리적인 것은 결코 아니니 말이다. 오히려 골프장을 만든답시고 산을 깎고, 배기가스 나 몰라라 하면서 스포츠카 예닐곱 대를 보유하는 부유층의 “취미”야말로 정말 문제적인 것 아닌가? 이것은 합당한 지적이다. 이 지적에 답하기 전에, 윤리적 소비 및 활동이 경제력이 떨어지는 사람일수록 실천하기 어려워지는 원리를 서술해 보자.

첫째 — 진부한 소리이지만, 자본주의 체제에서 제일 중요한 것은 이윤 최대화이기에, 특히 저소득층이 주요 소비자인 저가 시장의 경우 윤리적 고려는 한참 뒷전으로 밀려난다. 이것이 돼지고기와 연어의 사례에 해당한다. 모든 기업이 윤리적 하한을 설정하여 자율적으로 약속을 이행할 일은 죄수의 딜레마처럼 전무하다. 윤리라는 가치로 통합된 국민 다수가 정부를 통해 주권을 발휘하여 기업에 강제력을 행사하는 수밖에 없을 텐데, 차별금지법 제정에도 교착에 빠진 현재의 정국을 보아 이 또한 만무하다.

둘째 — 기본적으로 윤리는 이성적 성찰과 행동적 실천을 모두 요구하기 때문에 추구하는 데 굉장한 에너지가 필요하다. 이것이 유튜브와 독서의 사례에 해당한다. 이성적 성찰과 행동적 실천 중 하나만 추구하기도 굉장히 힘든 마당에 — 가령 다이어트는 후자만을 요구하는데도 성공률은 궤멸적이다 — 양쪽을 다 요구하는 윤리적 삶의 추구는, 일과 중 근로(노동)가 끝난 이후에도 그것을 추구할 만한 에너지가 남아도는 사람에게만 가능한 일이다. 하루 중 8시간을 육체노동을 하고 귀가한 사람이 피터 싱어의 책을 읽으며 밤을 보낸다는 것은 거의 생리학적으로 불가능한 것이다. 가령 나는 스스로 독서를 즐긴다고 자부하지만, 훈련소 있었을 때 힘든 일과가 끝난 밤에는 그냥 침대에 누워서 멍이나 때렸지 책을 읽어야겠다는 마음은 추호도 들지 않았다. 그것은 진정 “사치”이다.

이제 앞서 제기되었던 지적, 즉 부유층의 취미가 오히려 더 심각하게 비윤리적인 경우가 많다는 지적으로 돌아가 보자. 이것은 분명 사실이지만, 주목해야 할 것은 부유층에게는 선택의 자유가 주어진다는 것이다. 즉, 그는 그의 자본으로 해외 원조 재단을 설립하는 굉장히 윤리적인 실천을 할 수도 있고 (논의상 이 재단의 설립에 돈세탁 등의 목적은 없다고 하자), 산등성이를 깎아서 골프장을 만드는 굉장히 비윤리적인 실천을 할 수도 있다. 물론 절대다수의 부유층은 후자를 선택할 것이지만, 중요한 것은 그들에게 보장된 선택의 자유이다.

빈곤층에게는 선택의 자유가 애초에 주어지지 않는다. 그의 일상은 사회구조적으로 주입된 사소하지만 그럼에도 확실히 비윤리적인 소비들로 점철되어 있다. 현대 사회에서 안정된 경제력을 가지지 않은 사람은 굉장히 이상_{理想, 異常}한 경우가 아니고서야 잔인하게 사육된 돼지고기를 먹고, 개발도상국 노동자를 착취한 제품을 구입하고, 도파민 위주의 정치·시사 유튜브를 보고, 동물복지, 빈곤, 기아, 난민 문제를 뜬구름 잡는 일로 치부할 수밖에 없다.

윤리적 삶은 사치품인가?

여기서 본 글의 제목을 살펴보자. “윤리적 삶은 사치품이다”라는 명제는 당연히 슬로가니어링_sloganeering이다. 모든 슬로건이 그렇듯이 이 진술은 자극적이고 신선하지만 (따라서 글의 제목으로 적절하다) 그것이 실제로 진술하는 내용이 무엇인지는 불명확하다 (따라서 글의 논점으로서는 부적절하다). “윤리적 삶은 사치품이다”라는 명제는 다음과 같이 여러 방식으로 해석될 수 있다.

먼저 이 명제는 앞서 내린 결론의 주어를 윤리적 삶 일반으로 확장한 주장, 요컨대 “윤리적 삶의 실천 난이도는 경제력에 반비례한다”는 주장으로 해석될 수 있다. 이를 약한 주장이라고 부르자. 약한 주장은 기술적인 주장이다. 물론 “윤리적”이라는 표현은 규범적이며, 무엇이 “윤리적 삶”에 해당하는지에 관해서는 수많은 이견이 있다. 그러나 일단 그 외연이 전제되고 나면 약한 주장 자체는 기술적이며, 그 원인은 상술한 두 가지 원리에 있다. 이는 경제력과 엥겔 지수는 반비례한다는 것과 질적으로 다르지 않은 관찰이다.

그러나 여기서 더 도발적인 주장을 이끌어 낼 수 있다. 가령 연어를 일상적으로 사 먹을 경제력이 안 되는 사람이 — 철수라고 부르자 — 맛있는 한 끼를 위해 돼지고기를 먹었다고 하자. 서론에서 전제된 바에 따르면 이는 비윤리적이다. 그러나 만약 철수가 이 주장을 듣는다면 그는 자신에게 겨누어진 때아닌 윤리적 비방에 반발할 것이다 (누구라도 그럴 것이다). 철수가 민감하게 반응할 수밖에 없는 이유는, 윤리적 진술이 당위 및 책임의 부여와 불가결하기 때문이다. 가령 “노예제는 비윤리적이다”라는 진술은 암시적으로 노예제의 비윤리성에 대한 책임을 노예주에게 귀속하며, 노예주에게 노예를 해방할 당위를 부여한다. 이 당위를 이행하지 않은 노예주는 그가 받을 사회적 지탄을 스스로 책임져야 한다.

마찬가지로 “철수가 돼지고기를 먹은 것은 비윤리적이다”라는 도덕적 판단의 잣대는 보통 돼지고기를 먹은 철수를 향하는 것으로 이해된다. 그러나 정말로 “윤리적 삶은 사치품”이라면 이런 조준은 부당해 보인다. 윤리가 모든 사람이 추구해야 할 정도로 중요한 가치임에도 불구하고 그것이 “사치품”이라면, 즉 각고의 인내와 기회비용을 치러야 가까스로 손에 넣을 수 있는 것이라면, 그 책임은 개인이 아닌, 윤리를 사치품으로 만들어버린 사회 전체에 있지 않은가?

이처럼 약한 주장을 근거로, 사회적으로 습관화된 비윤리적 행동의 책무를 개개인이 아닌 사회 전체에 귀속하는 규범적 주장을 강한 주장이라고 부르자. 강한 주장에 따르면 철수가 돼지고기를 먹은 것의 윤리적 책임은 철수에게뿐 아니라 우리 모두에게 있다. 이 글을 쓰는 나에게도 사소하지만 그럼에도 확실한 책임이 있다. 지금까지 나는 투표권을 행사하는 데 있어 정치인들의 동물복지 공약에는 일절 관심이 없었다.

좌파의 딜레마

여기서 나는 한 가지 딜레마를 드러내고자 한다. “좌파”나 “우파”라는 이름표는 매우 두루뭉술한 사상들의 잡동사니이지만, 그럼에도 비교적 뚜렷한 특징은 “좌파”가 “우파”에 비해 개인의 도덕성을 중요하게 생각한다는 것이다. 따라서 환경주의, 평화주의, 비거니즘, 노동자 운동, 페미니즘, 퀴어 운동, 다문화주의 등은 통상 좌파 강령으로 분류된다. 이들 강령의 정당성은 경제적 성장이나 기술 발전이 아닌 개인 단위의 윤리적 주문에 기인한다.

그러나 이러한 좌파 이데올로기를 지탱하는 “윤리적 삶이 사치품”이라면, 좌파 진영은 약자의 진영임을 자처하는 한편으로 그 실천을 위해서는 충분한 경제력이 전제되어야 하는 딜레마를 품고 있다. 특히 자신의 권익보다 공동체의 상생을 중요시하는 것이 좌파의 가치 중 하나라면, 이 가치의 실현은 자신의 권익을 포기하는 것이 자신의 생계 내지 생존과 직결되어 있지 않은 사람에게만 가능할 것이다.

이것은 좌파 연대의 분열을 어느 정도 설명하는 것으로 보인다. 좌파에는 크게 두 가지 구조가 있다. 첫째는 절박하지 않은 사람이 절박한 사람을 경제적 또는 사상적으로 지원하는 구조이고 (지식인 사회), 둘째는 절박한 사람이 자신의 권익을 위해 스스로 투쟁하는 구조이다 (노동조합). 두 구조는 좌파라는 같은 지붕 아래서 살고 있기에 완전히 다른 원리로 작동한다는 사실이 가려지고는 한다. 이타심과 이기심이 깨끗이 구별되지 않는 경우가 많기는 하지만 기본적으로 전자는 이타심의 원리로, 후자는 이기심의 원리로 작동한다. 이 말의 의도는 후자를 폄훼하려는 것이 아니라, 전자가 후자에 대해 도덕적 우월성이라는 권력을 가지게 됨을, 그로 인해 좌파에 분열이 생기는 이유를 해명하고자 함이다.

노동자 운동을 예로 들자면, 노동자의 절대다수는 당연히 노동자 운동에만 관심이 있고 페미니즘에는 관심이 없는 경우가 — 오히려 적대적인 경우가 — 대부분이다. 그들에게 있어서는 노동권 투쟁이 최종 목표이다. 그러나 소위 “엘리트 좌파 지식인”에게 있어 노동권 투쟁은, 정의롭고 윤리적인 사회라는 더 상위의 목표를 달성하기 위한 디딤돌일 뿐이다. 따라서 미혼 여성 비정규직 노동자를 고용하는 것으로 남성 노동자의 연봉을 인상할 수 있는 방침이 있다고 하더라도 그는 이 방침을 결코 채택하지 않을 것이다. 오히려 이러한 방침을 추구하는 사람을 좌파 정신에 대한 적으로 간주할 것이다. 문제는 이러한 태도가 좌파 진영이 대표하고자 하는 바로 그 집단, 다름 아닌 노동자 집단의 대다수를 좌파 정신에 대한 적으로 돌리는 꼴이라는 것이다. 그들은 “윤리적 삶이라는 사치품”을 체득하지 못했기 때문이다.

결국 정의와 도덕에 기반한 지식인의 좌파는 상아탑에서만 이루어지는 경우가 부지기수이다. 만약 그들 지식인이 실제 현장으로 내려와 노동자들 사이에서 오가는 생생한 말들 — “짱깨놈들 때문에 대한민국 망하게 생겼다”, “전장연 새끼들 지하철 가지고 지랄하네”, “오늘 밤에는 내가 좋은 데로 데려가 준다” — 을 듣는다면 정나미가 떨어질 수밖에 없기 때문이다.

비존중에 대한 존중

그렇다고 내가 이 글을 통해 지식인들은 좌파 진영에서 빠져야 한다거나, 지식인들은 일찍이 좌파와 단념해야 한다고 말하려는 것은 당연히 아니다. 반대로 지식인들이 청산유수로 사회적 약자들을 감화시켜 그들에게 보편 윤리와 정의의 가치를 일깨우고, 그들로 하여금 공통 연합을 구축하게 만들어야 한다고 말하려는 것 또한 아니다. 사실 나는 앞서 내가 좌파의 딜레마라고 부른 문제를 어떻게 해결해야 하는지에 대해서 다소 무책임하게도 잘 정립된 생각이 아직은 없다. 그러나 적어도 다음 하나만큼은 확실히 주장하고자 한다.

결론적으로, 나는 좌파를 자처하는 지식인이라면, 앞서 논의한 강한 주장을 항상 마음에 새길 필요가 있다고 생각한다. 실천하는 좌파는 약자들과 부대끼는 과정에서, 약자는 다른 약자의 권리를 존중할 것이라는 믿음, 약자는 윤리적일 것이라는 믿음이 깨어지는 과정을 감내해야만 한다. 분명 이것은 환멸스러운 과정이다. 그러나 강한 주장은, 이 환멸의 책임을 약자 개개인의 윤리적 타락에서가 아닌, 이들을 보편 윤리와 정의의 감각에서 멀리 떨어뜨려 놓는 사회적 구조에 따져야 함을 일깨워 준다.

그리고 우리 지식인에게는 — 이 뻘글을 지금까지 읽고 있는 독자는 상대적 엘리트로 간주된다 — 이와 같은 방식으로 사유해야 할 의무 또한 있다. 왜냐하면 우리에게는 그런 사유를 실천할 수 있는 에너지, 즉 앞서 말한 것과 같은 의미에서의 선택의 자유가 주어졌기 때문이다. 윤리적 삶은 사치품이라는 자각 속에서, 약자의 다른 약자에 대한 비존중까지 존중하는 것, 즉 그것을 개인의 책임에 귀속하지 않는 것, 그것으로 좌파의 길에 환멸을 느끼지 않는 것, 포기하지 않는 것. 이것이 진정 “윤리적인 삶”이 아닐까?

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Pork and Salmon: Is Ethical Living a Luxury?

08 Aug 2025

This post was originally written in Korean, and has been machine translated into English. It may contain minor errors or unnatural expressions. Proofreading will be done in the near future.

Pork and Salmon

To be blunt, I hold the position that current pig farming practices are extremely unethical. The adverb extremely here expresses my view that this issue is far more self-evident than problems like abortion, capital punishment, or the trolley problem.

Pigs are among the most intelligent animals, rivalling chimpanzees and dolphins. Pigs recognise themselves, partition spaces to maintain cleanliness, and exhibit tendencies to form social relationships with other pigs. They are particularly sensitive, not only suffering equally when witnessing other pigs in pain, but also craving their owner’s affection no less than dogs when kept as pets. In contrast, the conditions under which pigs are raised in current industrial practices are utterly appalling. Over 90% of pigs raised for food spend their entire lives confined in overcrowded, filthy, and dim enclosures with no room to move. The farms are never quiet, filled constantly with the cries of pigs from stress, pain, and fighting. In most industries, male pigs are castrated without anaesthesia to supposedly improve meat flavour, while female pigs are restrained with metal bars while being suckled.

With approximately one billion pigs raised for food worldwide, even if we accept anthropocentrism and suppose that one human life equals the value of a thousand pigs, this situation amounts to confining one million people in torture chambers for the sake of “tastier meals”—surely deserving the label extremely unethical. while questions such as “Should pork consumption be legally prohibited?” or “Should people who eat pork be condemned?” may be difficult to answer definitively due to their deep entanglement with social, political, and cultural contexts, when considering only the ethics of pig farming, defending such practices appears impossible without assuming an extreme form of moral scepticism. And if the pork industry structure is indeed extremely unethical, then the conclusion that individual consumption of that industry—that is, eating the produced pork—is certainly unethical becomes difficult to avoid.

Nevertheless, due to the aforementioned social, cultural, and political contexts, I do not reveal this position in my social life. When pork is chosen as the menu for company dinners, I nod approvingly while feeling ethical burden internally. And at such dinners, I eat pork quite readily. I lack the courage to risk the social consequences of disrupting the group atmosphere and being labelled a “vegetarian” by those around me. It is quite cowardly behaviour indeed.

Self-criticism can be sufficiently conducted in my diary, so I shall dismiss it here, as the main point of this essay lies elsewhere. To alleviate ethical responsibility, I attempt to avoid pork when dining alone or with someone who shares my ethical position regarding pork (∋ my girlfriend). Considering both animals’ capacity for suffering and the conditions under which they are raised, I believe the ethical burden decreases in the order of pork, chicken, beef, and fish. Conveniently, salmon is one of my favourite foods. Therefore, eating salmon instead of pork, and beef on days when I crave meat, should solve everything.

However, after practising this dietary approach, I discovered it was not a complete solution. Indeed, money flowed from my bank account like water. Of course, “eating beef and salmon instead of pork proved expensive” is itself a quite obvious observation. But substituting the subject yields a somewhat less obvious observation: “attempting ethical eating habits proved expensive.”

Naturally, I cannot deny that this observation stems partly from a defensive mindset. Even if food expenses hit rock bottom, one could practice ethical eating habits inexpensively with a diet centred on temple food. The problem, of course, is that it tastes terrible. while one can practice ethical eating habits with little money, it requires incomparably stronger willpower than when one can spend freely. Thus, we can tentatively conclude: “The difficulty of practising ethical eating habits is inversely proportional to economic power.” (Fair trade foods also exemplify this principle.)

YouTube and Reading

It is not only dietary habits that follow this pattern. Consider, for instance, hobbies. For explanatory convenience—if we may call this a hobby—let us contrast the somewhat exaggerated extremes of malicious YouTube viewing and reading good books. Here, malicious YouTube refers to channels that provide users with immediate dopamine through ethically problematic content such as fake news, sexual commodification, and yellow journalism, while good books refer to works that effectively convey humanistic values and stimulate readers to reflection and contemplation (this expression excludes exam preparation books, stock investment guides, and such).

while applying ethical standards to hobbies may seem inappropriate, at least in this case, the claim that the former constitutes unethical leisure while the latter represents ethical leisure appears quite reasonable. And here the reader can likely guess my intended conclusion: the wealthy are more likely to read good books rather than watch malicious YouTube, while the poor are conversely more likely to fall into malicious YouTube consumption.¹

Of course, this is an intentionally selected example. It is certainly not the case that all “poor people’s hobbies” are unethical while “rich people’s hobbies” are ethical. Rather, are not the “hobbies” of the wealthy—who level mountains to build golf courses and own seven or eight sports cars with utter disregard for emissions—truly more problematic? This is a valid criticism. Before addressing this point, let me describe the principle by which ethical consumption and activities become more difficult to practice for those with lower economic power.

Firstly—though it sounds trite—in capitalist systems, profit maximisation is paramount, so ethical considerations are pushed far into the background, particularly in low-price markets where low-income groups are the primary consumers. This corresponds to the pork and salmon example. No company will voluntarily set ethical standards and fulfil such promises, as this would create a prisoner’s dilemma situation. The only recourse would be for a majority of citizens, unified by ethical values, to exercise sovereignty through government to impose coercive measures on companies—but given the current political deadlock even over anti-discrimination legislation, this too appears impossible.

Secondly—ethical living fundamentally requires both rational reflection and practical action, thus demanding enormous energy to pursue. This corresponds to the YouTube and reading example. When pursuing either rational reflection or practical action alone is already extremely difficult—for instance, dieting requires only the latter yet has dismal success rates—pursuing ethical living, which demands both, is only possible for those who have enough energy remaining after their workday (labour) to pursue it. It is physiologically nearly impossible for someone who spends eight hours doing physical labour to return home and spend the evening reading Peter Singer. For instance, while I pride myself on enjoying reading, during my time in military training camp, after exhausting daily routines, I simply lay in bed staring blankly rather than feeling any desire to read. That truly is a “luxury.”

Now let us return to the previously raised criticism that wealthy people’s hobbies are often more seriously unethical. while this is certainly true, what we must note is that the wealthy are granted freedom of choice. That is, with their capital, they could establish overseas aid foundations—an extremely ethical practice (let us assume for argument’s sake that such foundation establishment involves no money laundering or similar purposes)—or they could level mountain ridges to build golf courses—an extremely unethical practice. Of course, the vast majority of wealthy people choose the latter, but what matters is the freedom of choice guaranteed to them.

The poor are not granted freedom of choice from the outset. Their daily lives are structurally saturated with minor but nonetheless certainly unethical consumption. To use an analogy: the wealthy have the freedom to choose whether to invest their money for growth or to indulge in luxury. But the poor lack this freedom. They can only save money or make small investments, which, considering inflation and market uncertainty, typically amounts to losing money in ways that are minor but nonetheless certain. Similarly, in modern society, unless in abnormal circumstances, people without stable economic power have no choice but to eat cruelly raised pork, purchase products that exploit workers in developing countries, watch dopamine-driven political and current affairs YouTube content, and dismiss animal welfare, poverty, hunger, and refugee issues as pie-in-the-sky concerns.

Is Ethical Living a Luxury?

Let us now examine the title of this essay. The proposition “ethical living is a luxury” is naturally sloganeering. Like all slogans, this statement is provocative and fresh (thus appropriate as an essay title) but what it actually asserts remains unclear (thus inappropriate as an essay’s main argument). The proposition “ethical living is a luxury” can be interpreted in several ways.

Firstly, this proposition can be interpreted as extending the subject of our earlier conclusion to ethical living in general—namely, the claim that “the difficulty of practising ethical living is inversely proportional to economic power.” Let us call this the weak claim. The weak claim is a descriptive assertion. Of course, “ethical” is a normative expression, and there are countless disagreements about what constitutes “ethical living.” However, once its extension is presupposed, the weak claim itself is descriptive, and its causes lie in the two principles described above. This observation is qualitatively no different from noting that economic power and the Engel coefficient are inversely related.

However, we can derive a more provocative claim here. Suppose someone who cannot afford to buy salmon regularly—let us call him John—ate pork for a delicious meal. According to the premises established in the introduction, this is unethical. But if John were to hear this claim, he would react against this untimely ethical criticism directed at him (as anyone would). The reason John cannot help but react sensitively is that ethical statements are inseparable from the attribution of duty and responsibility. For instance, the statement “slavery is unethical” implicitly attributes responsibility for slavery’s unethical nature to slave owners and imposes upon them the duty to free their slaves. Slave owners who fail to fulfil this duty must themselves bear responsibility for the social condemnation they receive.

Similarly, the moral judgement that “John’s eating pork was unethical” is usually understood as directed towards John, who ate the pork. But if “ethical living is truly a luxury,” such targeting seems inappropriate. If ethics is a value important enough for everyone to pursue, yet it is a “luxury”—that is, something that can only barely be obtained through tremendous perseverance and opportunity costs—then surely the responsibility lies not with individuals but with society as a whole, which has made ethics into a luxury?

Thus, using the weak claim as grounds, let us call the normative claim that attributes responsibility for socially habituated unethical behaviour to society as a whole rather than to individuals the strong claim. According to the strong claim, the ethical responsibility for John’s eating pork lies not only with John but with all of us. Even I, writing this essay, bear minor but nonetheless certain responsibility. Until now, in exercising my voting rights, I have shown no interest whatsoever in politicians’ animal welfare pledges.

The Left’s Dilemma

Here I wish to reveal a particular dilemma. while labels like “left” and “right” represent rather vague collections of various ideas, a relatively clear characteristic is that the “left” values individual morality more highly than the “right.” Therefore, environmentalism, pacifism, veganism, labour movements, feminism, queer movements, and multiculturalism are typically classified as leftist platforms. The legitimacy of these platforms stems not from economic growth or technological advancement but from ethical demands at the individual level.

However, if the leftist ideologies supporting “ethical living are luxuries,” then the leftist camp faces a dilemma: while claiming to be the camp of the weak, its practice requires sufficient economic power as a prerequisite. Particularly if prioritising community coexistence over one’s own interests is one of leftist values, realising this value would only be possible for those whose sacrifice of personal interests is not directly connected to their livelihood or survival.

This appears to explain leftist solidarity fractures to some degree. The left has roughly two structures. The first is where non-desperate people provide economic or ideological support to desperate people (intellectual society), and the second is where desperate people struggle for their own interests (labour unions). Because both structures live under the same leftist roof, the fact that they operate on completely different principles is often obscured. while altruism and self-interest are not always clearly distinguishable, the former basically operates on the principle of altruism, the latter on self-interest. My intention here is not to disparage the latter, but to explain how the former gains power through moral superiority over the latter, thereby causing divisions within the left.

Taking labour movements as an example, the vast majority of workers are naturally interested only in labour movements and are mostly uninterested in—often hostile to—feminism. For them, labour rights struggle is the ultimate goal. But for so-called “elite leftist intellectuals,” labour rights struggle is merely a stepping stone towards achieving the higher goal of a just and ethical society. Therefore, even if there were a policy that could raise male workers’ salaries by employing unmarried female irregular workers, they would never adopt such a policy. Rather, they would regard those pursuing such policies as enemies of leftist spirit. The problem is that this attitude turns the very group the leftist camp seeks to represent—namely, the majority of the worker group—into enemies of leftist spirit. This is because they have not acquired the “luxury of ethical living.”

Consequently, intellectuals’ leftism based on justice and morality often exists only in ivory towers. If these intellectuals were to come down to actual sites and hear the vivid words exchanged among workers—”Those Chinese bastards are going to ruin the Republic of Korea,” “Those disabled protesters are making a fuss with the subway,” “Tonight I’ll take you to a good place”—they would inevitably become disillusioned.

Respect for Disrespect

Yet I am certainly not suggesting through this essay that intellectuals should withdraw from leftist camps, nor that intellectuals should abandon leftism early on. Conversely, I am also not suggesting that intellectuals should eloquently influence social minorities to awaken them to universal ethics and justice values, thereby enabling them to build common alliances. In fact, I must somewhat irresponsibly admit that I do not yet have well-established thoughts on how to solve what I have called the left’s dilemma. However, I do wish to assert at least one thing with certainty.

In conclusion, I believe that intellectuals who claim to be leftist need always to keep in mind the strong claim discussed earlier. Practising leftists must endure the process of having their beliefs shattered—the belief that the weak will respect other weak people’s rights, the belief that the weak will be ethical—while engaging with the weak. This is certainly a disillusioning process. But the strong claim reminds us that responsibility for this disillusionment should be attributed not to the ethical corruption of individual weak people, but to social structures that distance them from universal ethics and justice sensibilities.

And we intellectuals—readers who have read this rambling essay to this point are considered relative elites—also have an obligation to think in such ways. Because we have been granted the energy to practice such thinking, that is, freedom of choice in the sense mentioned earlier. Within the awareness that ethical living is a luxury, respecting even the weak’s disrespect for other weak people—that is, not attributing it to individual responsibility, not becoming disillusioned with the leftist path because of it, not giving up. Might this not be truly “ethical living”?

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