초필터를 사용한 스톤-체흐 콤팩트화

이전 글에서 $X$의 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$를, $[0, 1]^C$에서 $X$의 폐포를 취한 것으로 구성했었다. 그런데 $X$가 이산 공간_{discrete space}인 경우 초필터_ultrafilter를 사용하여 $\beta X$를 구성할 수도 있다. 이에 앞서, 몇 가지 개념을 복습하자.

정의. $X$가 이산 공간이라는 것은, $X$의 모든 부분집합이 열린집합이라는 것이다.

Remark. 이는 $X$의 홑원소 집합들이 열린집합임과 동치이다.

정의. $\mathcal{F}$가 집합 $S$의 필터라는 것은, $\mathcal{F}$가 다음을 만족하는 $S$의 부분집합족이라는 것이다.

1. $S \in \mathcal{F}$
2. $\varnothing \notin \mathcal{F}$
3. $A \in \mathcal{F}, A \subset B \implies B \mathcal{F}$
4. $A, B \in \mathcal{F} \implies A \cap B \in \mathcal{F}$

정의. $\mathcal{F}$가 집합 $S$의 초필터라는 것은, $\mathcal{F}$가 필터이며 추가로 다음을 만족한다는 것이다.

\[\forall A \subset S : A \in \mathcal{F} \lor S \setminus A \in \mathcal{F}\]

초필