수렴하는 부분점렬과 부분그물의 차이

옛날 글에서 점렬을 일반화한 개념인 그물을 알아보고, 이를 콤팩트성과 연관 지었다. 특히 다음의 정리를 환기하자.

정리. 위상공간 $X$가 콤팩트할 필요충분조건은 임의의 그물_net이 수렴하는 부분그물을 가지는 것이다.

이는 점렬 콤팩트의 정의에서 ‘점렬’을 ‘그물’로 치환한 형태다.

정의. 위상공간 $X$가 점렬 콤팩트하다는 것은 임의의 점렬_sequence이 수렴하는 부분점렬을 가지는 것이다.

위 정리와 정의의 유사성에 관해 다음과 같이 언급했었다.

”수렴하는 점렬이 존재한다“는 ”수렴하는 그물이 존재한다“보다 강한 조건이지만, ”임의의 점렬이 수렴하는 부분점렬을 가진다”는 “임의의 그물이 수렴하는 부분그물을 가진다”보다 강하지도, 약하지도 않은 조건임에 유의하라. 주어는 후자가 더 강하고 (임의의 그물은 임의의 점렬보다 외연이 넓다), 술어는 전자가 더 강하다 (부분그물의 존재성은 부분점렬의 존재성보다 약한 조건이다). 따라서 콤팩트성과 점렬 콤팩트성은 일반적으로 시사 관계가 없다.

그러나 막상 수렴하는 부분그물을 가지지만 수렴하는 부분점렬은 가지지 않는 점렬을 구성해 보려고 하면 굉장한 난관에 봉착할 것이다.