기수 연산의 기본 정리들

16 Sep 2025

이 글에서 모든 집합과 기수는 무한하다.

1. 기수 덧셈

기수 산술_{cardinal arithmetics}을 다룰 때에는 각 연산의 정의를 정확히 아는 것이 중요하다. 정의와 정리를 혼동하기가 쉽기 때문이다. 먼저 기수 덧셈부터 보자.

정의. $A, B$가 각각 기수가 $\kappa, \lambda$인 서로소 집합이라고 하자. $\kappa + \lambda$를 $|A \cup B |$로 정의한다.

정리. 기수의 유한 덧셈은 교환법칙과 결합법칙을 만족한다.

위 정의가 well-defined임을 보이기 위해서는 $\kappa + \lambda$가 $A, B$의 선택에 의존적이지 않음을 보여야 한다. 이는 ZF에서 쉽게 증명 가능하다. 또한 유한한 기수 덧셈은 그저 최대 기수를 구하는 것이기 때문에 계산하기가 상당히 용이하다.

정리. \(\kappa + \lambda = \mathrm{max}(\kappa, \lambda)\)

증명. “2. 기수 곱셈”의 보조정리와 칸토어-베른슈타인 정리에 의해, $\aleph_\alpha = \aleph_\alpha + \aleph_\alpha$이다. 따라서 $|A| \leq |B|$라면 $|B| \leq |A + B| \leq |B + B| = |B|$이다. ■

기수 덧셈의 정의를 무한한 경우로 확장하면,

정의. 각 $i \in I$에 대해 $A_i$가 기수 $\kappa_i$인 쌍으로 서로소인 집합족 $\lbrace A_i \rbrace $가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의한다.

\[\sum_{i \in I} \kappa_i = \left| \bigcup_{i \in I}A_i \right|\]

유의할 점은, 위 정의가 well-defined임을 보이는 데는 선택 공리가 필요하다는 점이다. 각 $i \in I$에 대해 일대일 대응 $A_i \to \kappa_i$을 선택할 수 있어야 하기 때문이다. 그래서 기수 산술을 다룰 때에는 거의 언제나 선택 공리를 전제한다.

$\kappa + \lambda = \mathrm{max}(\kappa, \lambda)$ 관계식으로부터 다음의 관계식을 유도하고 싶을 수 있지만, 성립하는 식이 아님에 주의해야 한다.

주의. $\sum_{i \in I} \kappa_i = \sup \kappa_i$는 일반적으로 성립하지 않는다.

2. 기수 곱셈

그렇다면 무한한 기수 덧셈은 어떻게 계산해야 할까? 이를 알아보기 위해, 먼저 기수 곱셈을 정의하자.

정의. $A, B$가 각각 기수가 $\kappa, \lambda$인 집합이라고 하자. $\kappa \cdot \lambda$를 $| A \times B|$로 정의한다.

정리. 기수의 유한 곱셈은 교환법칙과 결합법칙을 만족한다.

아주 용이하게도 유한 기수 곱셈의 계산은 유한 기수 덧셈의 계산과 같다.

정리. \(\kappa \cdot \lambda = \mathrm{max}(\kappa, \lambda)\)

증명. 다음의 보조정리로부터 따라 나온다. ■

보조정리. 임의의 $\alpha \in \mathrm{Ord}$에 대해, $\aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$

증명 개요는 다음과 같다. 임의의 $\alpha \in \mathrm{Ord}$에 대해, 다음과 같이 정의된 순서 $\prec$가 $\omega_\alpha \times \omega_\alpha$의 정렬 순서임을 보인다. $\hat{x} = \mathrm{max}(x_1, x_2), \hat{y} = \mathrm{max}(y_1, y_2)$일 때,

\[(x_1, x_2) \prec (y_1, y_2) \iff \begin{cases} \hat{x} < \hat{y}\\ x_1 < y_1 \quad (\text{if }\hat{x} < \hat{y}) \\ x_2 < y_2 \quad (\text{if }\hat{x} < \hat{y}, x_1 = y_1) \\ \end{cases}\]

즉, $\prec$은 최댓값 우선 후 사전식 순서이다. 초한귀납법에 따라 모든 $\beta < \alpha$에 대해 $\aleph_\beta \cdot \aleph_\beta = \aleph_\beta$일 때 $\aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$임을 보인다. 이를 위해 $(\omega_\alpha \times \omega_\alpha, \prec)$의 순서형_{order type}이 $\omega_\alpha$를 넘지 않음을 보이면 된다. 이를 위해 임의의 $(\gamma_1, \gamma_2) \in \omega_\alpha \times \omega_\alpha$에 대해

\[X = \{ (\xi_1, \xi_2) : (\xi_1, \xi_2) \prec (\gamma_1, \gamma_2) \}\]

라면 $|X| < \aleph_\alpha$임을 보이면 된다. $\gamma = \mathrm{max}(\gamma_1, \gamma_2) + 1$이라고 하자. $\omega_\alpha$는 극한 서수이므로 $\gamma \in \omega_\alpha$이며, 따라서 $|\gamma| = \aleph_\delta \; (\delta < \alpha)$이다. 한편으로 $X \subseteq \gamma \times \gamma$이므로 $|X| \leq \aleph_\delta \cdot \aleph_\delta$이며 이는 귀납 가정에 의해 $\aleph_\delta$이다. ■

기수 곱셈의 정의는 기수 덧셈과 아무 관련이 없다. 즉, 기수 곱셈의 정의에는 “$\kappa$를 $\lambda$번 더한다”와 같은 의미가 없다. 그럼에도 다음 정리에 의해 기수 곱셈을 기수 덧셈과 연관지을 수 있다.

정리. \(\sum_{i \in I} \kappa = |I| \cdot \kappa\)

증명. $\lbrace A_i \rbrace $가 쌍으로 서로소이며 $|A_i| = \kappa$인 집합족이라고 하자. 좌변은 $\bigcup_{i \in I} A_i$의 기수이고, 우변은 $I \times A$의 기수이다 $(|A| = \kappa)$. 선택 공리에 의해 각 $i \in I$에 대해 일대일 대응 $f_i : A_i \to A$를 정의할 수 있다. 다음의 대응 $f: \bigcup_{i \in I} A_i \to I \times A$을 정의하자.

\[f(x) = (i, f_i(x)) \quad (\text{if } x \in A_i)\]

위 함수가 일대일 대응임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 (좌변) = (우변)이다. ■

이로부터 앞선 언급한 “주의”에 해당되는 올바른 관계식을 증명할 수 있다.

정리. \(\sum_{i \in I} \kappa_i = |I| \cdot \sup \kappa_i\)

증명. $\kappa = \sup \lbrace \kappa_i : i \in I \rbrace $라고 하고, 좌변을 $L$, 우변을 $R$이라고 하자. 앞선 정리에 의해 $|I| \cdot \kappa = \sum_{i \in I} \kappa$이고 $\kappa_i \leq \kappa$이므로 $L ≤ R$이다. 반대로, $| I | = \sum_{i \in I} 1 \leq L$이고, $\kappa = \sup \kappa_i \leq L$이다. 글 하단의 보조정리에 의해 $L = L \cdot L$이므로 $L \geq | I | \cdot \kappa = R$이다. 따라서 칸토어-베른슈타인 정리에 의해 $L = R$이다. (이 증명에는 선택 공리가 암시적으로 많이 사용되었으니 관심 있는 독자는 생략된 논증을 자세히 써 봐도 좋을 것이다) ■

이제 기수 곱셈도 무한 경우로 일반화하자.

정의. 각 $i \in I$에 대해 $A_i$가 기수 $\kappa_i$인 집합족 $\lbrace A_i \rbrace $가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의한다.

\[\prod_{i \in I} \kappa_i = \left| \prod_{i \in I}A_i \right|\]

기수 곱셈을 계산할 때 쾨니히 정리_{König’s Theorem}가 유용하게 사용될 수 있다.

쾨니히 정리. 인덱스 집합 $I$에 대해 $\kappa_i < \lambda_i$라고 하자. 다음이 성립한다.

\[\sum \kappa_i < \prod \lambda_i\]

당연한 거 아니냐고 생각할 수 있겠지만, 일반적으로 1, 2는 고사하고 3도 성립하지 않는다는 사실에 유의하라.

1. $\kappa_i < \lambda_i$라면 $\sum \kappa_i < \sum \lambda_i$
2. $\kappa_i < \lambda_i$라면 $\prod \kappa_i < \prod \lambda_i$
3. $\kappa_i \leq \lambda_i$일 때 $\sum \kappa_i < \prod \lambda_i$

물론 1, 2, 3에서 결론부의 부등호를 $<$에서 $\leq$로 약화하면 모두 성립한다. 쾨니히 정리의 특징은 결론부가 엄격한 부등호라는 것이다.

증명. $\lbrace A_i \rbrace , \lbrace B_i \rbrace $가 각각 기수가 $\kappa_i, \lambda_i$인 (쌍으로 서로소인) 집합들의 모임이라고 하자. 귀류법에 따라, $f: \prod B_i \to \cup A_i$인 단사함수가 존재한다고 하자. 임의의 $i \in I$에 대해, $f$의 단사성으로부터 $|f^{-1}(A_i)| = |A_i|$이다. 그런데 $|A_i| < |B_i|$이므로 $\pi_i (f^{-1}(A_i)) \subset B_i$는 $B_i$보다 크기가 엄격히 작으며, 이에 따라 $b_i \in B_i \setminus \pi_i (f^{-1}(A_i))$가 존재한다. 각 $i$에 대해 그러한 $b_i$를 고른 뒤, $b = (b_i)_{i \in I}$를 생각하면, 임의의 $i \in I$에 대해 $\pi_i(b) = b_i$이므로 $f(b) \notin \cup A_i$가 되어 모순이다. ■

3. 기수 지수

정의. $A, B$가 각각 기수가 $\kappa, \lambda$인 집합이라고 하자. $\kappa^\lambda$를 $|A^B |$로 정의한다. ($A^B$는 $B$에서 $A$로 가는 함수들의 집합이다)

기수 곱셈의 경우와 마찬가지로, 비록 기수 지수의 정의는 기수 곱셈과 아무 관련이 없지만, 다음 정리에 의해 둘 사이에 다리를 놓을 수 있다.

정리. \(\prod_{i \in I} \kappa = \kappa^{|I|}\)

또한 기수 지수는 일반적인 지수의 여러 좋은 성질을 공유한다.

정리. 기수의 지수 연산은 지수법칙을 만족한다. 즉,

• $\kappa^{\lambda + \mu} = \kappa^\lambda \cdot \kappa^\mu$
• $(\kappa^\lambda)^\mu = \kappa^{\lambda \cdot \mu}$
• $(\kappa \cdot \lambda)^{\mu} = \kappa^\mu \cdot \lambda^\mu$

그럼에도 기수 지수를 정확히 계산하기란 굉장히 까다로운데, 일반화된 연속체 가설_{Generalized Continuum Hypothesis}을 전제하지 않으면 얻을 수 있는 결과가 제한적이기 때문이다. 우선 일반화된 연속체 가설 없이 증명할 수 있는 정리들을 보자.

정리.

1. $2^{\aleph_\alpha} > \aleph_\alpha$
2. $\alpha \leq \beta \implies \kappa^{\aleph_\alpha} \leq \kappa^{\aleph_\beta}$
3. $\mathrm{cf}(\kappa^{\aleph_\alpha}) > \aleph_\alpha$

$\mathrm{cf}(\kappa) \leq \kappa$이므로 3이 1을 함의한다는 사실에 주목하라.

증명. 1은 칸토어의 정리이고, 2는 선택 공리를 사용하면 자명하다. 3의 증명은 쾨니히 정리를 사용한다. $\mathrm{cf}(\kappa^{\aleph_\alpha}) = \aleph_\lambda$라고 하자. $\mathrm{cf}$의 정의에 의해 $\xi_i < \kappa^{\aleph_\alpha}$이며 $\sum_{i < \omega_\lambda} \xi_i = \kappa^{\aleph_\alpha}$을 만족하는 $\lbrace \xi_i \rbrace _{i < \omega_\lambda}$가 존재한다. 쾨니히 정리에 의해 다음이 성립한다.

\[\kappa^{\aleph_\alpha} = \sum_{i < \omega_\lambda} \xi_i < \prod_{i < \omega_\lambda} \kappa^{\aleph_\alpha} = \kappa^{\aleph_\alpha \cdot \aleph_\lambda}\]

그런데 만약 $\aleph_\lambda = \aleph_\alpha$라면 $\kappa^{\aleph_\alpha \cdot \aleph_\lambda} = \kappa^{\aleph_\alpha}$이므로 $<$가 성립하지 않는다. 따라서 $\aleph_\lambda > \aleph_\alpha$이다. ■

다음의 두 정리는 특히 유용하다.

정리.

\[\aleph_\alpha^{\aleph_\beta} = \begin{cases} 2^{\aleph_\beta} & (\aleph_\alpha \leq \aleph_\beta) \\ \mathrm{card} \{ A \subseteq \omega_\alpha : |A| = \aleph_\beta \} & (\aleph_\beta < \aleph_\alpha) \end{cases}\]

증명. $\aleph_\alpha \leq \aleph_\beta$인 경우의 증명은 다음과 같다.

\[2^{\aleph_\beta} \leq \aleph_\alpha^{\aleph_\beta} \leq (2^{\aleph_\alpha})^{\aleph_\beta} = 2^{\aleph_\alpha \cdot \aleph_\beta} = 2^{\aleph_\beta}\]

$\aleph_\alpha > \aleph_\beta$인 경우를 증명하자. 좌변의 집합을 $S$라고 하자. 각 $S$의 원소는 $\aleph_\beta$에서 $\aleph_\alpha$로 가는 단사함수로 생각할 수 있으므로 $|S| \leq {\aleph_\alpha}^{\aleph_\beta}$이다. 역방향을 보이기 위해 먼저 $\aleph_\beta < \aleph_\alpha$이므로 $\aleph_\alpha = \aleph_\beta \cdot \aleph_\alpha$임을 관찰하자. 따라서,

\[|S| = |T| \quad \text{where} \quad T = \{ A \subseteq \omega_\beta \times \omega_\alpha : |A| = \aleph_\beta \}\]

그런데 $T$의 각 원소는 $\omega_\alpha$에서 중복을 허용하고 $\aleph_\beta$개의 원소를 뽑는 경우의 수로 생각될 수 있다. 이는 $T$에서 ${\aleph_\alpha}^{\aleph_\beta}$로 가는 전사 관계를 정의한다. 따라서 ${\aleph_\alpha}^{\aleph_\beta} = |S|$이다. ■

이의 따름정리는 하우스도르프 정리이다.

하우스도르프 정리.

\[\aleph_{\alpha+1}^{\aleph_\beta} = \aleph_\alpha^{\aleph_\beta} \cdot \aleph_{\alpha + 1}\]

증명. $\beta > \alpha$라면 앞선 정리에 의해 정리가 자명하게 성립한다. 따라서 $\beta \leq \alpha$라고 하자. $\aleph_{\alpha+1}^{\aleph_\beta} \geq \aleph_\alpha^{\aleph_\beta}, \aleph_{\alpha + 1}$이므로 $\geq$ 방향은 자명하게 성립한다. 따라서 $\leq$ 방향을 보이면 충분하다.

$\aleph_{\alpha + 1}$은 계승자 기수_{successor cardinal}이므로 정칙_regular이며, 이에 따라 $\aleph_\beta < \mathrm{cf}(\aleph_{\alpha + 1})$이다. 따라서 $f \in \omega_\alpha^{\omega_\beta}$는 상계를 가진다. 즉,

\[\aleph_{\alpha+1}^{\aleph_\beta} = \bigcup_{\gamma < \omega_{\alpha + 1}} \gamma^{\omega_\beta}\]

여기서 각 $\gamma$는 기수가 $\aleph_\alpha$ 이하이다. 따라서 다음이 성립한다.

\[\aleph_{\alpha+1}^{\aleph_\beta} \leq \sum_{\gamma < \omega_{\alpha + 1}} |\gamma|^{\aleph_\beta} \leq \sum_{\gamma < \omega_{\alpha + 1}} {\aleph_\alpha}^{\aleph_\beta} = {\aleph_\alpha}^{\aleph_\beta} \cdot \aleph_{\alpha + 1} \quad \blacksquare\]

4. 일반화된 연속체 가설 하에서

일반화된 연속체 가설을 전제하면 훨씬 더 강력한 결과들을 증명할 수 있다.

정리. $\aleph_\alpha$가 정칙 기수인 경우, 다음이 성립한다.

\[\aleph_\alpha^{\aleph_\beta} = \begin{cases} \aleph_{\beta + 1} & \aleph_\alpha \leq \aleph_\beta \\ \aleph_{\alpha} & \aleph_\beta < \aleph_\alpha \end{cases}\]

증명. $\aleph_\alpha \leq \aleph_\beta$인 경우 $\aleph_\alpha^{\aleph_\beta} = 2^{\aleph_\beta}$이므로 GCH에 의해 성립한다. $\aleph_\alpha > \aleph_\beta$인 경우,

\[\aleph_\alpha^{\aleph_\beta} = |S| \quad \text{where} S = \{ A \subseteq \omega_\alpha : |A| = \aleph_\beta \}\]

이다. $\aleph_\alpha$가 정칙이므로 $S$의 각 원소는 유계이다. 따라서,

\[S \subseteq \bigcup_{\lambda \in \omega_\alpha} \mathcal{P}(\lambda)\]

이다. 임의의 $\lambda \in \omega_\alpha$에 대해 $|\lambda| = \aleph_\delta$라고 하면, $\aleph_\delta < \aleph_\alpha$이므로 $2^{|\lambda|} = \aleph_{\delta + 1} < \aleph_\alpha$이다. 따라서 다음이 성립한다.

\[\begin{align} |S| &\leq \sum_{\lambda \in \omega_\alpha} 2^{|\lambda} \\ &\leq \sum_{\lambda \in \omega_\alpha} \aleph_\alpha \\ &= \aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha \quad \blacksquare \end{align}\]

정리. $\aleph_\alpha$가 특이 기수인 경우, 다음이 성립한다.

\[\aleph_\alpha^{\aleph_\beta} = \begin{cases} \aleph_{\beta + 1} & \aleph_\alpha \leq \aleph_\beta \\ \aleph_{\alpha + 1} & \mathrm{cf}(\aleph_\alpha) \leq \aleph_\beta < \aleph_\alpha \\ \aleph_{\alpha} & \aleph_\beta < \mathrm{cf}(\aleph_\alpha) \end{cases}\]

증명. 첫 번째 경우와 세 번째 경우는 이전 정리의 증명과 거의 같으므로, 두 번째 경우만 살펴보자. 다음이 성립한다.

\[\aleph_\alpha \leq \aleph_\alpha^{\aleph_\beta} \leq \aleph_\alpha^{\aleph_\alpha} = 2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}\]

따라서 $\aleph_\alpha < \aleph_\alpha^{\aleph_\beta}$임을 보이면 충분하다. 만약 $\aleph_\alpha = \aleph_\alpha^{\aleph_\beta}$라면 $\mathrm{cf}(\aleph_\alpha) = \mathrm{cf}(\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}) > \aleph_\beta$인데, 가정에 의해 $\mathrm{cf}(\aleph_\alpha) \leq \aleph_\beta$이므로 모순이다. ■