정칙 기수와 특이 기수, 그리고 도달 불가능 기수
04 May 2025이 글에서 $\kappa$는 무한 기수이다. 또한, 기수를 초기 서수initial ordinal로 정의하는 방식을 택한다(이 글의 3번). 이에 따라 모든 기수는 서수이기도 하다.
정의. $\theta$가 $\kappa$보다 작은 극한 서수라고 하자. 각 $\nu$에 대해 $\alpha_\nu < \kappa$인 증가하는 서수열 $\langle \alpha_\nu : \nu < \theta \rangle$에 대하여, 언제나 $\lim_{\nu \to \theta} \alpha_\nu < \kappa$일 때, $\kappa$를 정칙 기수regular cardinal라고 한다. 정칙 기수가 아닌 기수를 특이 기수singular cardinal라고 한다.
Remark. $\alpha_\nu$와 $\theta$는 일반적으로 기수가 아니라 서수이다.
예를 들어 $\aleph_0$는 정칙 기수이다. $\aleph_0$개보다 적은 개수의 — 즉, 유한한 — $\aleph_0$보다 작은 기수들 — 즉, 자연수 — 의 상한은 $\aleph_0$에 달하지 않기 때문이다.
반면 $\aleph_\omega$는 특이 기수이다. 다음 기수열에서 각각의 기수는 $\aleph_\omega$보다 작고, 기수열의 길이 또한 $\aleph_0 < \aleph_\omega$이지만, 그 상한은 $\aleph_\omega$이기 때문이다.
\[\aleph_0 \quad \aleph_1 \quad \aleph_2 \quad \aleph_3 \quad \cdots\]정리. (특이 기수 판별법) $\kappa$가 특이 기수일 필요충분조건은 $\kappa$가 $\kappa$개보다 적은 개수의 $\kappa$보다 작은 기수들의 합일 것이다. 즉, $|I| < \kappa$, $\kappa_i < \kappa \;(\forall i \in I)$에 대하여,
\[\sum_{i \in I} \kappa_i = \kappa\]
Remark. $\kappa_i$는 일반적인 서수가 아닌 기수이다. 그리고 $\sum$은 서수 덧셈이 아니라 기수 덧셈이다.
증명.
($\Rightarrow$) $\kappa$가 특이 기수라면 어떤 서수열 $\langle \alpha_\nu : \nu < \theta\rangle$이 존재하여,
\[\lim_{\nu \to \theta} \alpha_\nu = \sup \alpha_\nu = \bigcup_{\nu < \theta}\alpha_\nu = \kappa\]이다. 일반적으로 서수 $\alpha$는 자기보다 작은 서수 $\beta < \alpha$들의 합집합이다. 따라서 다음이 성립한다.
\[\kappa = \bigcup_{\nu < \theta}\alpha_\nu = \bigcup_{\nu < \theta}\left( \alpha_\nu - \bigcup_{\xi < \nu} \alpha_\xi \right)\]$A_\nu = \alpha_\nu - \bigcup_{\xi < \nu} \alpha_\xi$라고 하자. $A_\nu$는 더이상 서수가 아니지만 그건 중요하지 않다. 중요한 것은 $\lbrace A_\nu \rbrace $가 쌍으로 서로소라는 것이다. 따라서 $\kappa_\nu = |A_\nu|$라고 하면 기수 덧셈의 정의에 의해,
\[\sum_{\nu < \theta} \kappa_\nu = \left| \bigcup_{\nu < \theta} A_\nu \right| = \kappa\]이다.
($\Leftarrow$) $\kappa = \sum_{i \in I}\kappa_i$라고 하자. $|I| = \lambda$라고 하면 기수 덧셈의 성질에 의해 $\kappa = \lambda \cdot \sup \kappa_i$이다. $\lambda < \kappa$이므로, 기수 곱셈의 성질에 의해 $\kappa = \sup \kappa_i$이다. 각 $i \in I$에 대해 $\kappa_i < \kappa$인데 $\sup \kappa_i = \kappa$이므로, 초한귀납법을 통해 증가하는 기수열
\[\langle \kappa_\nu : \kappa_\nu = \kappa_i \text{ for some } i \in I, \nu < \theta\rangle\]을 구축할 수 있으며, $\theta \leq \lambda$이므로 정리가 보여졌다. ■
정의. 어떤 $\alpha \in \mathrm{Ord}$에 대해 $\kappa = \aleph_{\alpha + 1}$일 때, $\kappa$를 계승 기수successor cardinal라고 한다. 계승 기수가 아닌 기수를 극한 기수limit cardinal라고 한다.
정리. 모든 계승 기수는 정칙이다.
증명. $\kappa = \aleph_{\alpha + 1}$이라고 하자. $\kappa$가 특이 기수라면, 특이 기수 판별법에 의해 $\kappa = \sum_{i \in I} \kappa_i$이며 $\kappa_i, |I| < \kappa$이다. 이는 $\kappa_i , |I| \leq \aleph_\alpha$와 같다. 그런데
\[\sum_{i \in I} \kappa_i \leq \sum_{i \in I} \aleph_\alpha = |I| \cdot \aleph_\alpha \leq \aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha < \kappa\]이므로 모순이다. ■
따라서 모든 특이 기수는 극한 기수이다. 그러나 모든 극한 기수가 특이 기수인 것은 아니다. $\aleph_0$는 정칙인 극한 기수이기 때문이다. 그러나 $\aleph_0$ 이외에 정칙인 극한 기수가 존재할까?
정의. 비가산 정칙 극한 기수를 도달 불가능 기수inaccessible cardinal라고 한다.1
$\aleph_\alpha$가 도달 불가능 기수라고 하자. 다음의 증가 기수열의 극한은 $\aleph_\alpha$이다.
\[\langle \aleph_\beta : \beta < \alpha \rangle : \aleph_0 \quad \aleph_1 \quad \aleph_2 \quad \cdots \quad \to \aleph_\alpha\]따라서 $\aleph_\alpha$가 정칙이기 위해서는 위 기수열의 길이인 $\alpha$가 $\aleph_\alpha$보다 작아서는 안 된다. 그런데 $\alpha \leq \aleph_\alpha$이므로, $\alpha = \aleph_\alpha$임이 따라 나온다.
정리. $\aleph_\alpha$가 도달 불가능할 필요조건은 $\alpha = \aleph_\alpha$인 것이다.
이는 $\alpha$가 무지막지하게 큰 기수임을 시사한다. 일례로 다음의 기수열 $\langle \alpha_n : n \in \omega \rangle$을 보자.
\[\alpha_0 = \aleph_0, \alpha_{n + 1} = \aleph_{\alpha_n}\]위 기수열의 상한을 $\kappa$라고 하자. 상한의 정의에 의해 $\lambda < \kappa$라면 $\alpha_n > \lambda$인 $n$이 존재한다. 따라서 $\aleph_\lambda = \alpha_{n+1} < \kappa$이며,
\[\aleph_\kappa = \sum_{\lambda < \kappa} \aleph_\lambda \leq \sum_{\lambda < \kappa} \kappa = \kappa\]이다. 다시 말해, $\alpha = \aleph_\alpha$를 만족하는 기수는 적어도 다음에 비견되는 크기를 가진다.
\[\kappa = \aleph_{\aleph_{\aleph_{\aleph_{\ddots}}}}\]여기서 집고 넘어갈 점이 있다. 비록 $\kappa$가 $\kappa = \aleph_\kappa$를 보이긴 했지만, $\kappa$가 도달 불가능함을 보인 것은 아니다. 오히려 $\kappa$는 특이 기수이다. 길이가 $\omega$인 기수열 $\alpha_n$의 극한이기 때문이다.
사실 도달 불가능 기수의 존재성은 ZFC와 독립적이다.
정리. 도달 불가능 기수의 존재성은 ZFC와 독립이다.
따라서 도달 불가능 기수의 존재는 공리로서 가정해야 한다. 도달 불가능 기수의 존재를 가정하는 부류의 공리들을 큰 기수 공리large cardinal axioms라고 부르며, 이와 관련된 연구는 집합론의 중요한 부분을 이룬다.
1. 엄밀히 말해 이는 약한 도달 불가능 기수weakly inaccessible cardinal에 해당한다. $\kappa$가 강한 도달 불가능 기수strongly inaccessible cardinal라는 것은 $\kappa$가 약한 도달 불가능 기수이며, 추가로 $\lambda < \kappa$일 때 $2^\lambda < \kappa$인 것이다. 연속체 가설을 인정할 때 약한 도달 불가능성과 강한 도달 불가능성은 동치이다.