초필터를 이용한 티호노프 정리의 증명

티호노프 정리. $I$가 임의의 인덱스 집합이라고 하자. ${X_i}{i \in I}$가 콤팩트 공간들의 모임일 때, 곱 위상이 주어진 위상공간 $\prod{i \in I}X_i$은 콤팩트하다.

Munkres 등의 학부 위상 교재를 참고하면 증명이 꽤 길고 복잡하다. 그런데 최근에 초필터를 사용해서 위 정리를 간단하고 우아하게 증명하는 방법을 알게 되어 이를 소개하고자 한다. 먼저 다음의 보조정리를 증명하자.

보조정리. 위상공간 $X$가 콤팩트할 필요충분조건은 $X$ 위의 모든 초필터가 수렴할 것이다.

여기서 초필터가 수렴한다는 것은