어드조인트에 대한 세 가지 접근
13 Feb 2025본문의 내용은 Tom Leinster, Basic Category Theory에 기반한다.
$\mathcal{A}, \mathcal{B}$가 범주category이고, $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}, G: \mathcal{B} \to \mathcal{A}$가 함자functor라고 하자.
1. 자연성 공리naturality axiom를 이용한 어드조인트의 정의
$F \dashv G$라는 것은 임의의 $A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}$에 대해 일대일대응 $\Psi_{A, B} : \mathrm{Hom}_\mathcal{A}(A, G(B)) \to \mathrm{Hom}_\mathcal{B}(F(A), B)$가 존재하여, 임의의 $p: A’ \to A, q: B \to B’$에 대해 다음 가환 도식commutative diagram을 만족한다는 것이다.
편의를 위해 $f: A \to G(B)$에 대해 $\Psi_{A, B}(f) = \bar{f}$, 그리고 $g: F(A) \to B$에 대해 $\Psi_{A, B}^{-1}(g) = \bar{g}$와 같이 표기한다. 이에 따라 위의 가환 도식을 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[\begin{gather} \overline{A \xrightarrow{f} G(B) \xrightarrow{G(q)} G(B') } = F(A) \xrightarrow{\bar{f}} B \xrightarrow{q} B' \\ \overline{F(A') \xrightarrow{F(p)} F(A) \xrightarrow{g} B} = A' \xrightarrow{p} A \xrightarrow{\bar{g}} G(B) \\\\ \mathrm{i.e.}\\\\ \overline{G(q) \circ f} = q \circ \bar{f}\\ \overline{g \circ F(p)} = \bar{g} \circ p \end{gather}\]위 두 조건을 자연성 공리라고 부른다. 자연성 공리로부터 다음을 증명할 수 있다.
정리 1. $\eta_A := \overline{1_{F(A)}} : A \to GF(A)$와 같이 정의된 변환 $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$는 자연적 변환natural transformation이다. 그리고 $\epsilon_B := \overline{1_{G(B)}} : FG(B) \to B$와 같이 정의된 변환 $\epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}}$ 또한 자연적 변환이다. $\eta$를 단원unit이라고 부르고, $\epsilon$을 쌍단원counit이라고 부른다.
증명. 다음 가환 도식으로부터 얻어진다.
정리 2. $f: A \to G(B), g: F(A) \to B$에 대해 다음이 성립한다.
\[\begin{gather} \bar{f} = \epsilon_B \circ F(f) \\ \bar{g} = G(g) \circ \eta_A \end{gather}\]
증명. 다음 가환 도식으로부터 얻어진다.
2. 단원과 쌍단원을 이용한 어드조인트의 정의
$F \dashv G$라는 것은 어떤 자연적 변환 $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF, \epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}}$가 존재하여, 임의의 $A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}$에 대해 다음 가환 도식을 언제나 만족한다는 것이다.
위 두 조건을 삼각 항등식triangle identity이라고 부른다.
3. 초기 대상initial object을 이용한 어드조인트의 정의
정의. $P: \mathcal{A} \to \mathcal{C}$, $Q: \mathcal{B} \to \mathcal{C}$가 함자일 때, 콤마 범주comma category $(P \Rightarrow Q)$를 다음과 같이 정의한다.
- 대상: $\mathcal{C}$의 사상 $h: P(A) \to Q(B)$에 대해, 삼중쌍triplet $(A, h, B)$
- 사상: 다음의 가환 도식이 성립할 때, $(f, g): (A, h, B) \to (A’, h’, B’)$
$F \dashv G$라는 것은 어떤 자연적 변환 $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$가 존재하여, 각 $A \in \mathcal{A}$에 대해 $A$를 홑원소 범주 $\mathbf{1}$에서 $\mathcal{A}$로 가는 함자 $A: 1 \mapsto A$로 간주했을 때 $\eta_A : A \to GF(A)$가 콤마 범주 $(A \Rightarrow G)$의 초기 대상이라는 것이다.
4. 동치 증명
1, 2, 3의 정의는 모두 동치이다. 구체적으로 다음의 정리가 성립한다.
정리 3. $\mathcal{A}, \mathcal{B}$가 범주이고 $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}, G: \mathcal{B} \to \mathcal{A}$가 함자라고 하자. 1, 2, 3은 서로 일대일 대응된다.
- 자연성 공리를 만족하는 일대일대응 $\Psi$
- 삼각 항등식을 만족하는 자연적 변환의 쌍 $(\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF, \epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}})$
- 각 $A \in \mathcal{A}$에 대해 $\eta_A : A \to GF(A)$가 $(A \Rightarrow G)$의 초기 대상이 되도록 하는 자연적 변환 $\eta: 1_{\mathcal{A}} \to GF$
증명. 1과 2가 일대일 대응됨을 보이고, 2와 3이 일대일 대응됨을 보인다.
1과 2는 일대일 대응된다.
$\Psi$가 주어졌을 때, $\eta$와 $\epsilon$을 각각 단원과 쌍단원으로 정의한다. 이때, $\eta$와 $\epsilon$이 삼각 항등식을 만족함은 정리 2로부터 쉽게 따라 나온다.
역으로 삼각 항등식을 만족하는 자연적 변환의 쌍 $(\eta, \epsilon)$이 주어졌다고 하자. 이로부터 다음과 같이 $\Psi$를 정의한다. $f: A \to G(B), g: F(A) \to B$에 대해,
\[\begin{gather} \Psi_{A, B}(f) = \bar{f} = \epsilon_B \circ F(f) \\ \Psi_{A, B}^{-1} = \bar{g} = G(g) \circ \eta_A \end{gather}\]먼저 $\Psi_{A, B}^{-1}$이 실제로 $\Psi_{A, B}$의 역사상임을, 즉 $\bar{\bar{g}} = g, \bar{\bar{f}} = f$임을 보인다. 전자는 다음 가환 도식으로부터 얻어진다. 후자는 도식에서 $F, G$를 각각 $G, F$로 바꾼 뒤 적절히 쌍대dual을 취하면 된다.
이제 $\Psi$가 자연성 공리를 만족함을 보인다. 한쪽 공리만 보이도록 한다. $f: A \to G(B), q: B \to B’$에 대해 $\overline{G(q) \circ f} = q \circ \bar{f}$임을 보인다. 먼저,
\[\overline{G(q) \circ f} = \epsilon_{B'} \circ FG(q) \circ F(f)\]이고,
\[q \circ \bar{f} = q \circ \epsilon_B \circ F(f)\]이므로, $\epsilon_{B’} \circ FG(q) = q \circ \epsilon_B$임을 보이면 충분하다. 이것은 자연적 변환의 정의에 다름 아니다. 따라서 $\Psi$는 자연성 공리를 만족한다.
2와 3은 일대일 대응된다.
삼각 항등식을 만족하는 자연적 변환의 쌍 $(\eta, \epsilon)$이 주어졌을 때, 각 $A \in \mathcal{A}$에 대해 $\eta_A : A \to GF(A)$가 $(A \Rightarrow G)$의 초기 대상임을 보이자.
역으로 $\eta$가 각 $A \in \mathcal{A}$에 대해 $\eta_A : A \to GF(A)$가 $(A \Rightarrow G)$의 초기 대상이 되도록 하는 자연적 변환일 때, 어떤 $\epsilon: FG \to 1_{\mathcal{B}}$가 유일하게 존재하여 $(\eta, \epsilon)$이 삼각 항등식을 만족함을 보이자.