ZFC 공리의 목록

18 Nov 2024

공리명	의미	논리식(자유변수는 $\forall$로 양화)
외연 공리	집합은 원소의 모임이다.	$X = Y \leftrightarrow (z \in X \leftrightarrow z \in Y)$
공집합 공리*	공집합이 존재한다.	$\exists Z : z \not\in Z$
짝 공리*	$X, Y$로부터 $Z = \lbrace X, Y \rbrace$를 정의할 수 있다.	$\exists Z : z \in Z \leftrightarrow (z = X \lor z = Y)$
합집합 공리	$X = \lbrace Y_i \rbrace$로부터 $Z = \bigcup Y_i$를 정의할 수 있다.	$\exists Z : z \in Z \leftrightarrow \exists x \in X (z \in x)$
멱집합 공리	$X$로부터 $\mathcal{P}(X)$를 정의할 수 있다.	$\exists Z : z \in Z \leftrightarrow (w \in z \rightarrow w \in X)$
분류 공리꼴**	$X$로부터 $Y = \lbrace y \in X : \phi(y) \rbrace$를 정의할 수 있다. ($\phi$는 1차 논리식)	$\exists Z : z \in Z \leftrightarrow (z \in X \land \phi(z))$
무한 공리	모든 자연수를 포함하는 집합이 존재한다.	$\exists Z : \varnothing \in Z \land (z \in Z \rightarrow z \cup \lbrace z \rbrace \in Z)$
정칙 공리	$\in$은 정렬 순서이다.	$\exists x \in X : \forall y \in X [ y \not\in x]$
치환 공리꼴	$X$로부터 $f[X]$를 정의할 수 있다. ($f$는 class function)	$\displaylines{&[\forall x \in X \; \exists! y :\phi(x, y)] \rightarrow \\ &[\exists Y \; \forall x \in X \; \exists y \in Y : \phi(x, y)]}$
선택 공리	집합족 $\lbrace X_i \rbrace$에 대해 각 $X_i$의 원소를 하나씩 선택할 수 있다.	$\displaylines{&\varnothing \notin X \rightarrow \\&\exists f : X \rightarrow \bigcup X [ f(x) \in x ]}$

Remarks.

• 정칙 공리는 다음과 동치

\[\exists x \in X : x \cap X = \varnothing\]

• (*)로 표시된 공리는 분류 공리꼴로부터 유도할 수 있다.

• (**)로 표시된 공리는 치환 공리꼴로부터 유도할 수 있다.

  • 분류 공리꼴의 내용은 “X가 집합이다 → f[X]가 집합이다(f는 함수)”이라는 것이다. f가 함수임을(즉, f의 정의역이 집합임을) 선결적으로 요구함에 유의하라.

공리의 필요성

정리. 다음의 정리들은 선택 공리를 필요로 한다.

• $f: X → Y$가 전사일 때, 어떤 $X$의 부분집합 $Z$에 대해 $f\vert_Z$는 전단사이다.

• $\varnothing \not\in \lbrace X_i\rbrace$일 때 $\prod X_i \neq \varnothing$이다.

• 정렬 원리: 임의의 집합에 정렬 순서를 줄 수 있다.

• 초른의 보조정리: $(X, <)$의 임의의 체인이 $X$에서 상계를 가진다면, $X$는 극댓값(maximal element)을 가진다.

정리. 다음의 정리들은 치환 공리꼴을 필요로 한다.

• $\omega + \omega$가 존재한다.

• 서수 완전성 정리. 모든 정렬 순서는 서수와 순서 동형이다.